Connaître la symétrie axiale

Introduction :

L'objectif de ce cours est d'approfondir les notions de symétrie axiale et d'axe de symétrie.
Dans un premier temps, nous définirons ce qu'est le symétrique d'une figure ainsi qu'un axe de symétrie puis, dans un deuxième temps, nous verrons les différentes méthodes qui existent pour construire le symétrique d'une figure. Enfin, dans un troisième temps, nous rappellerons les axes de symétrie que possèdent les figures usuelles.

Définitions

Définition

Figures symétriques :

Deux figures sont symétriques par rapport à une droite $(d)$ si, lorsque nous plions la feuille le long de la droite $(d)$, les figures se superposent.

Exemple

$symétrie axiale$

Les deux figures sont symétriques par rapport à la droite $(d)$.

À retenir

Si une figure est son propre symétrique par rapport à une droite $(d)$, on dit que la droite $(d)$ est un axe de symétrie de la figure.

Une figure peut avoir un, plusieurs ou aucun axe(s) de symétrie.

Exemple

$symétrie axiale$

La droite $(d)$ est un axe de symétrie de la figure (et c'est le seul).

Construire le symétrique d'une figure

Symétrique d'un point

MÉTHODE

Pour construire le point $A'$ symétrique du point $A$ par rapport à la droite $(d)$, il faut que la droite $(d)$ soit perpendiculaire au segment $[AA']$ et qu'elle passe par son milieu, c'est-à-dire que la droite $(d)$ soit la médiatrice du segment $[AA']$.

On souhaite placer le point $A'$ symétrique du point $A$ par rapport à la droite $(d)$.

$symétrie axiale$

On commence par tracer la droite perpendiculaire à la droite $(d)$ passant par le point $A$. Elle coupe la droite $(d)$ en un point $I$.

$symétrie axiale$

On prolonge la demi-droite $[AI)$.

$symétrie axiale$

On place le point $A'$ sur la demi-droite $[AI)$ de sorte que $I$ soit le milieu du segment $[AA']$, donc que $IA' = IA$.

$symétrie axiale$

Propriété

Réciproquement, si la droite $(d)$ est la médiatrice d'un segment $[AA']$, alors les points $A$ et $A'$ sont symétriques par rapport la droite $(d)$.

Un point de la droite $(d)$ est son propre symétrique par rapport à cette droite.

Symétrique d'une figure

MÉTHODES

Symétrique d'un segment, d'une demi-droite ou d'une droite par rapport à une droite

Pour tracer le symétrique d'un segment, d'une demi-droite ou d'une droite par rapport à une droite $(d)$, on trace les symétriques de deux points de ce segment, de cette demi-droite ou de cette droite par rapport à la droite $(d)$ et on les relie.

$symétrique d’un segment$

Symétrique d'un cercle par rapport à une droite

Pour tracer le symétrique d'un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ par rapport à une droite $(d)$, on trace le cercle de centre $O'$, symétrique du point $O$ par rapport à cette droite, et de rayon $r$.

$symétrique d'un cercle$

Symétrique d'un angle par rapport à une droite

Pour tracer le symétrique d'un angle par rapport à une droite $(d)$, on trace le symétrique du sommet de cet angle et d'un point de chaque côté de l'angle par rapport à la droite $(d)$. On trace ensuite l'angle en reliant le sommet aux autres points.

$symétrique d'un angle$

Symétrique d'une figure polygonale par rapport à une droite

Pour tracer le symétrique d'une figure polygonale par rapport à une droite $(d)$, on trace le symétrique de chaque point par rapport à la droite $(d)$ puis on relie ces points.

$Symétrique d'une figure polygonale$

Propriétés de la symétrie axiale

Propriété

La symétrie axiale conserve les distances : le symétrique d'un segment est un segment de même longueur.

$symétrique d’un segment$

Ici, on a $A'B' = AB$.

Propriété

La symétrie axiale conserve l'alignement : le symétrique d'une droite est une droite.

Propriété

La symétrie axiale conserve les angles : le symétrique d'un angle est un angle de même mesure.

$symétrique d'un angle$

Ici, on $\widehat{AOB} = \widehat{A'O'B'}$.

Propriété

La symétrie axiale conserve les aires : une figure et son symétrique ont la même aire.

$Symétrique d'une figure polygonale$

Ici, l'aire de la figure $ABCD$ est égale à l'aire de la figure $A'B'C'D'$.

Axe(s) de symétrie des figures usuelles

Triangle isocèle	$triangle équilatérial axe de symétrie médiatrice$	Un triangle isocèle a un axe de symétrie qui est la médiatrice de la base (et qui est aussi la hauteur issue du sommet principal).
Triangle équilatéral	$tirangle équilatéral axe de symétrie médiatrice hauteur$	Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie qui sont les médiatrices de ses côtés (qui sont aussi ses trois hauteurs).
Rectangle	$rectangle axe de symétrie$	Un rectangle a deux axes de symétrie qui sont les médiatrices de ses côtés.
Losange	$losange axe de symétrie diagonales$	Un losange a deux axes de symétrie qui sont ses diagonales.
Carré	$carré axe de symétrie$	Un carré a quatre axes de symétrie qui sont les médiatrices de ses côtés et ses diagonales.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons montré comment construire le symétrique d'un point en utilisant la notion de médiatrice.
Nous avons ensuite vu que pour construire le symétrique d'une figure ou d'un angle par rapport à une droite $(d)$, nous devons tracer le symétrique de chaque point par rapport à la droite $(d)$ puis relier ces points.
Enfin, nous avons vu les propriétés de la symétrie axiale : elle conserve les distances, l'alignement, les angles et les aires.

Cours : Connaître la symétrie axiale

Définitions

Construire le symétrique d'une figure

Symétrique d'un point

Symétrique d'une figure

Propriétés de la symétrie axiale

Axe(s) de symétrie des figures usuelles