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Connaître le parallélépipède rectangle

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Introduction :

L’objectif de ce cours est de connaître le parallélépipède rectangle.
Dans un premier temps, nous représenterons en perspective cavalière un parallélépipède rectangle pour observer ses propriétés. Dans un deuxième temps, nous verrons les patrons de parallélépipède rectangle et, enfin, nous donnerons la formule permettant d’obtenir le volume d’un parallélépipède rectangle.

Représentation d’un parallélépipède rectangle en perspective cavalière

Qu’est-ce que la perspective cavalière ?

Dans une représentation en perspective cavalière :

  • les faces avant et arrière sont représentées en vraie grandeur ;
  • les segments (ou droites) et plans parallèles restent parallèles ;
  • les segments parallèles et de même longueur restent parallèles et de même longueur ;
  • seuls les angles droits des faces avant et arrière sont représentés par des angles droits ;
  • les longueurs des arêtes qui n’appartiennent pas aux faces avant et arrière sont réduites ;
  • les arêtes cachées sont représentées en pointillés.
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Définition

Face :

Une face est une surface plane d’un solide.

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Définition

Arête :

Une arête est un segment commun à deux faces d’un solide.

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Définition

Sommet :

Un sommet est une extrémité d’une arête d’un solide.

solide parallélépipède rectangle

Qu’est-ce qu’un parallélépipède rectangle ?

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Définition

Parallélépipède rectangle :

Un parallélépipède rectangle est un solide dont les 66 faces sont des rectangles et dont les faces opposées sont des rectangles de mêmes dimensions.

Le solide ABCDEFGHABCDEFGH représenté ci-dessous en perspective cavalière est un parallélépipède rectangle : toutes ses faces sont rectangulaires et ses faces opposées sont des rectangles de mêmes dimensions.

parallélépipède rectangle

Le parallélépipède rectangle ABCDEFGHABCDEFGH a :

  • 88 sommets : ce sont les points AA, BB, CC, DD, EE, FF, GG et HH ;
  • 66 faces : les rectangles ABCDABCD, EFGHEFGH, ABFEABFE, DCGHDCGH, AEHDAEHD et BFGCBFGC ;
  • 1212 arêtes : les segments [AB][AB], [EF][EF], [HG][HG], [DC][DC], [AD][AD], [EH][EH], [BC][BC], [FG][FG], [AE][AE], [BF][BF], [CG][CG] et [DH][DH].
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À retenir

Un parallélépipède rectangle a 33 dimensions qui sont les longueurs de 33 arêtes qui ont un sommet commun.

Pour le parallélépipède rectangle ABCDEFGHABCDEFGH, ce pourrait être les longueurs ABAB, ADAD et AEAE.

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Astuce

Un parallélépipède rectangle est aussi appelé pavé droit.

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À retenir

Si les 66 faces d’un parallélépipède rectangle sont des carrés, alors c’est un cube.

cube parallélépipède rectangle

Propriétés du parallélépipède rectangle

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Propriété

Un parallélépipède rectangle a ses faces opposées superposables et parallèles.

parallélépipède rectangle

  • Par exemple, les faces ABFEABFE et DCGHDCGH sont superposables et parallèles.
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Propriété

Un parallélépipède rectangle a ses faces consécutives perpendiculaires.

parallélépipède rectangle

  • Par exemple, les faces ABFEABFE et EFGHEFGH sont perpendiculaires.
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Propriété

Un parallélépipède rectangle a des arêtes opposées parallèles et de même longueur puisque les faces sont des rectangles.

parallélépipède rectangle

  • Par exemple, les arêtes [AB][AB] et [EF][EF] sont parallèles et de même longueur.
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Propriété

Un parallélépipède rectangle a des arêtes issues d’un même sommet perpendiculaires puisque les faces sont des rectangles.

parallélépipède rectangle

  • Par exemple, les arêtes [CG][CG] et [GH][GH] sont perpendiculaires.

Patron d’un parallélépipède rectangle

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Définition

Patron d’un solide :

Un patron d’un solide est une figure plane qui permet, après pliage, de fabriquer exactement, sans superposition, ce solide.

Patron d’un parallélépipède rectangle

Patron d’un parallélépipède rectangle

Patron d’un cube

patron d’un cube

Volume d’un parallélépipède rectangle

parallélépipède rectangle

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À retenir

  • Les longueurs ABAB, ADAD et AEAE sont les 33 dimensions du parallélépipède rectangle ABCDEFGHABCDEFGH.
  • Si AD=aAD = a, AB=bAB = b et AE=cAE = c (aa, bb et cc exprimées dans les mêmes unités), le volume VV du parallélépipède rectangle est : V=a×b×cV = a\times b\times c
  • Si ABCDEFGHABCDEFGH est un cube, et donc que AD=AB=AE=aAD = AB = AE = a, alors le volume de ce cube est : V=a×a×a=a3V = a\times a\times a = a^3

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons vu une façon simple de représenter un parallélépipède rectangle qui est la représentation en perspective cavalière. À l’aide de cette représentation, nous avons pu observer qu’un parallélépipède rectangle a 88 sommets, 66 faces rectangulaires et 1212 arêtes.
Si les 66 faces de ce parallélépipède rectangle sont des carrés, alors c’est un cube.

Nous avons ensuite vu que nous pouvions tracer un patron d’un parallélépipède rectangle, c'est-à-dire tracer une figure plane qui permet, après pliage, d’obtenir ce solide sans superposition des faces.

Nous avons enfin vu la formule donnant le volume d’un parallélépipède rectangle qui est le produit de ses trois dimensions.