Cours : Connaître le parallélépipède rectangle

Représentation d’un parallélépipède rectangle en perspective cavalière

Qu’est-ce que la perspective cavalière ?

Dans une représentation en perspective cavalière :

• les faces avant et arrière sont représentées en vraie grandeur ;
• les segments (ou droites) et plans parallèles restent parallèles ;
• les segments parallèles et de même longueur restent parallèles et de même longueur ;
• seuls les angles droits des faces avant et arrière sont représentés par des angles droits ;
• les longueurs des arêtes qui n’appartiennent pas aux faces avant et arrière sont réduites ;
• les arêtes cachées sont représentées en pointillés.

Définition

Face :

Une face est une surface plane d’un solide.

Définition

Arête :

Une arête est un segment commun à deux faces d’un solide.

Définition

Sommet :

Un sommet est une extrémité d’une arête d’un solide.

Qu’est-ce qu’un parallélépipède rectangle ?

Définition

Parallélépipède rectangle :

Un parallélépipède rectangle est un solide dont les $6$ faces sont des rectangles et dont les faces opposées sont des rectangles de mêmes dimensions.

Le solide $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous en perspective cavalière est un parallélépipède rectangle : toutes ses faces sont rectangulaires et ses faces opposées sont des rectangles de mêmes dimensions.

Le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ a :

• $8$ sommets : ce sont les points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$ et $H$ ;
• $6$ faces : les rectangles $ABCD$, $EFGH$, $ABFE$, $DCGH$, $AEHD$ et $BFGC$ ;
• $12$ arêtes : les segments $[AB]$, $[EF]$, $[HG]$, $[DC]$, $[AD]$, $[EH]$, $[BC]$, $[FG]$, $[AE]$, $[BF]$, $[CG]$ et $[DH]$.

À retenir

Un parallélépipède rectangle a $3$ dimensions qui sont les longueurs de $3$ arêtes qui ont un sommet commun.

Pour le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$, ce pourrait être les longueurs $AB$, $AD$ et $AE$.

Astuce

Un parallélépipède rectangle est aussi appelé pavé droit.

À retenir

Si les $6$ faces d’un parallélépipède rectangle sont des carrés, alors c’est un cube.

Propriétés du parallélépipède rectangle

Propriété

Un parallélépipède rectangle a ses faces opposées superposables et parallèles.

• Par exemple, les faces $ABFE$ et $DCGH$ sont superposables et parallèles.

Propriété

Un parallélépipède rectangle a ses faces consécutives perpendiculaires.

• Par exemple, les faces $ABFE$ et $EFGH$ sont perpendiculaires.

Propriété

Un parallélépipède rectangle a des arêtes opposées parallèles et de même longueur puisque les faces sont des rectangles.

• Par exemple, les arêtes $[AB]$ et $[EF]$ sont parallèles et de même longueur.

Propriété

Un parallélépipède rectangle a des arêtes issues d’un même sommet perpendiculaires puisque les faces sont des rectangles.

• Par exemple, les arêtes $[CG]$ et $[GH]$ sont perpendiculaires.

Patron d’un parallélépipède rectangle

Définition

Patron d’un solide :

Un patron d’un solide est une figure plane qui permet, après pliage, de fabriquer exactement, sans superposition, ce solide.

Volume d’un parallélépipède rectangle

À retenir

• Les longueurs $AB$, $AD$ et $AE$ sont les $3$ dimensions du parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$.
• Si $AD = a$, $AB = b$ et $AE = c$ ($a$, $b$ et $c$ exprimées dans les mêmes unités), le volume $V$ du parallélépipède rectangle est : $V = a\times b\times c$
• Si $ABCDEFGH$ est un cube, et donc que $AD = AB = AE = a$, alors le volume de ce cube est : $V = a\times a\times a = a^3$