Connaître le parallélépipède rectangle : Fiche de cours - Mathématiques

Introduction :

L’objectif de ce cours est de connaître le parallélépipède rectangle.
Dans un premier temps, nous représenterons en perspective cavalière un parallélépipède rectangle pour observer ses propriétés. Dans un deuxième temps, nous verrons les patrons de parallélépipède rectangle et, enfin, nous donnerons la formule permettant d’obtenir le volume d’un parallélépipède rectangle.

Représentation d’un parallélépipède rectangle en perspective cavalière

Qu’est-ce que la perspective cavalière ?

Dans une représentation en perspective cavalière :

les faces avant et arrière sont représentées en vraie grandeur ;
les segments (ou droites) et plans parallèles restent parallèles ;
les segments parallèles et de même longueur restent parallèles et de même longueur ;
seuls les angles droits des faces avant et arrière sont représentés par des angles droits ;
les longueurs des arêtes qui n’appartiennent pas aux faces avant et arrière sont réduites ;
les arêtes cachées sont représentées en pointillés.

Définition

Face :

Une face est une surface plane d’un solide.

Définition

Arête :

Une arête est un segment commun à deux faces d’un solide.

Définition

Sommet :

Un sommet est une extrémité d’une arête d’un solide.

$solide parallélépipède rectangle$

Qu’est-ce qu’un parallélépipède rectangle ?

Définition

Parallélépipède rectangle :

Un parallélépipède rectangle est un solide dont les $6$ faces sont des rectangles et dont les faces opposées sont des rectangles de mêmes dimensions.

Le solide $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous en perspective cavalière est un parallélépipède rectangle : toutes ses faces sont rectangulaires et ses faces opposées sont des rectangles de mêmes dimensions.

$parallélépipède rectangle$

Le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ a :

$8$ sommets : ce sont les points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ , $G$ et $H$ ;
$6$ faces : les rectangles $ABCD$ , $EFGH$ , $ABFE$ , $DCGH$ , $AEHD$ et $BFGC$ ;
$12$ arêtes : les segments $[AB]$ , $[EF]$ , $[HG]$ , $[DC]$ , $[AD]$ , $[EH]$ , $[BC]$ , $[FG]$ , $[AE]$ , $[BF]$ , $[CG]$ et $[DH]$ .

À retenir

Un parallélépipède rectangle a $3$ dimensions qui sont les longueurs de $3$ arêtes qui ont un sommet commun.

Pour le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ , ce pourrait être les longueurs $AB$ , $AD$ et $AE$ .

Astuce

Un parallélépipède rectangle est aussi appelé pavé droit.

À retenir

Si les $6$ faces d’un parallélépipède rectangle sont des carrés, alors c’est un cube.

$cube parallélépipède rectangle$

Propriétés du parallélépipède rectangle

Propriété

Un parallélépipède rectangle a ses faces opposées superposables et parallèles.

$parallélépipède rectangle$

Par exemple, les faces $ABFE$ et $DCGH$ sont superposables et parallèles.

Propriété

Un parallélépipède rectangle a ses faces consécutives perpendiculaires.

$parallélépipède rectangle$

Par exemple, les faces $ABFE$ et $EFGH$ sont perpendiculaires.

Propriété

Un parallélépipède rectangle a des arêtes opposées parallèles et de même longueur puisque les faces sont des rectangles.

$parallélépipède rectangle$

Par exemple, les arêtes $[AB]$ et $[EF]$ sont parallèles et de même longueur.

Propriété

Un parallélépipède rectangle a des arêtes issues d’un même sommet perpendiculaires puisque les faces sont des rectangles.

$parallélépipède rectangle$

Par exemple, les arêtes $[CG]$ et $[GH]$ sont perpendiculaires.

Patron d’un parallélépipède rectangle

Définition

Patron d’un solide :

Un patron d’un solide est une figure plane qui permet, après pliage, de fabriquer exactement, sans superposition, ce solide.

Patron d’un parallélépipède rectangle

$Patron d’un parallélépipède rectangle$

Patron d’un cube

patron d’un cube

Volume d’un parallélépipède rectangle

$parallélépipède rectangle$

À retenir

Les longueurs $AB$ , $AD$ et $AE$ sont les $3$ dimensions du parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ .
Si $AD = a$ , $AB = b$ et $AE = c$ ( $a$ , $b$ et $c$ exprimées dans les mêmes unités), le volume $V$ du parallélépipède rectangle est : $V = a\times b\times c$
Si $ABCDEFGH$ est un cube, et donc que $AD = AB = AE = a$ , alors le volume de ce cube est : $V = a\times a\times a = a^3$

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons vu une façon simple de représenter un parallélépipède rectangle qui est la représentation en perspective cavalière. À l’aide de cette représentation, nous avons pu observer qu’un parallélépipède rectangle a $8$ sommets, $6$ faces rectangulaires et $12$ arêtes.
Si les $6$ faces de ce parallélépipède rectangle sont des carrés, alors c’est un cube.

Nous avons ensuite vu que nous pouvions tracer un patron d’un parallélépipède rectangle, c'est-à-dire tracer une figure plane qui permet, après pliage, d’obtenir ce solide sans superposition des faces.

Nous avons enfin vu la formule donnant le volume d’un parallélépipède rectangle qui est le produit de ses trois dimensions.