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Marianne

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Connaître les fonctions affines

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Introduction :

L’objectif de ce cours est d’étudier les fonctions affines.

Nous donnerons d’abord la définition d’une fonction affine que nous accompagnerons de quelques remarques et exemples. Nous nous intéresserons ensuite à sa représentation graphique dont nous énumèrerons propriétés, vocabulaire et méthode de construction également illustrés d’exemples. Nous aborderons également la notion de proportionnalité des accroissements puis terminerons ce chapitre par quelques applications.

Les fonctions affines

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Définition

Fonction affine :

Une fonction affine est une fonction qui à un nombre xx associe le nombre ax+bax+b. On la note f:xax+bf: x\rightarrow ax+b ou f(x)=ax+bf(x)=ax+b avec aa et bb deux nombres donnés.

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Exemple

Soit la fonction ff définie par f:x34x1f:x\rightarrow \dfrac 34 x-1

  • ff est une fonction affine où a=34a=\dfrac34 et b=1b=-1

Soit la fonction gg définie par g(x)=2x2+3g(x)=2x^2+3

  • gg n’est pas une fonction affine en raison du carré.

Soit la fonction hh définie par h(x)=5xh(x)=5x

  • hh est une fonction affine où a=5a=5 et b=0b = 0
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À retenir

  • Une fonction affine où bb est nul est une fonction linéaire xaxx\rightarrow ax
  • Une fonction affine où aa est nul est une fonction constante xbx\rightarrow b
    Tous les nombres xx ont pour image le nombre bb.
  • Par une fonction affine, l’antécédent d’un nombre est unique sauf dans le cas d’une fonction constante où le nombre bb admet pour antécédents tous les nombres xx.
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Exemple

Soit la fonction affine f:x34x1f : x\rightarrow \dfrac34 x-1

  • Déterminer l’image de 22 par la fonction ff

On recherche f(x)f(x) pour x=2x=2

On remplace xx par 22 dans f(x)=34x1f(x)=\dfrac34 x-1 ce qui donne : f(2)=34×21=641=3222=12f(2)=\dfrac34 \times 2-1=\dfrac64-1=\dfrac32- \dfrac22=\dfrac12

  • L’image de 22 par la fonction affine ff est 12\dfrac12.
  • Déterminer l’antécédent de 88 par la fonction ff

On recherche la valeur de xx pour f(x)=8f(x)=8

On sait que f(x)=34x1f(x)=\dfrac34 x-1 donc xx est la solution de l’équation 34x1=8\dfrac34 x-1=8

D’où : 34x1+1=8+1\dfrac34x-1+1=8+1

34x=934x×43=9×43x=363x=12\begin {aligned} \dfrac34 x &=9 \ \dfrac 34 x \times \dfrac43&=9 \times \dfrac43 \ x&=\dfrac{36}{3} \ x&=12 \end {aligned}

  • L’antécédent de 88 par la fonction affine ff est 1212.

Passons maintenant à la représentation graphique d’une fonction affine.

Représentation graphique

Propriété et vocabulaire

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Propriété

Soit une fonction affine f:xax+bf :x \rightarrow ax+b

  • La représentation graphique de ff est une droite.
  • L’équation de cette droite est y=ax+by=ax+b
  • aa est appelé coefficient directeur de la droite y=ax+by=ax+b
    Il indique la direction de la droite.
  • bb est appelé ordonnée à l’origine. C’est la valeur de f(x)f(x) pour x=0x=0, valeur de l’intersection de la droite y=ax+by=ax+b avec l’axe des ordonnées.

Construction

Soit le point NN d’abscisse x=0x=0 appartenant à la droite d’équation y=ax+by=ax+b, alors NN a pour coordonnées (0 ;b)(0\ ;b).
Pour construire la représentation graphique d’une fonction affine ff, il suffit de connaitre les coordonnées d’un seul autre point M(x ;y)M(x\ ;y) appartenant à la droite et de tracer la droite (NM)(NM).

Types de représentations possibles

Connaître les fonctions affines mathématiques troisième

  • ff fonction affine définie par f(x)=ax+bf(x)=ax+b
  • Sa représentation graphique est la droite (NM)(NM). Elle a pour équation y=ax+by=ax+b
  • gg fonction constante définie par g(x)=bg(x)=b
  • Sa représentation graphique est la parallèle à l’axe des abscisses passant par le point NN. Elle a pour équation y=by=b
  • hh fonction linéaire définie par h(x)=axh(x)=ax
  • Sa représentation graphique est une droite parallèle à la droite (NM)(NM) (elle a le même coefficient directeur) passant par l’origine du repère. Elle a pour équation y=axy=ax
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Exemple

Construisons la représentation graphique de f(x)=34x1f(x)=\dfrac34 x-1

ff est une fonction affine. Sa représentation graphique est la droite d’équation y=34x1y=\dfrac34x-1

L’ordonnée à l’origine de la fonction ff est 1-1 donc cette droite passe par le point N(0;1)N(0\ ; -1)

Comme autre point, on peut choisir le point d’abscisse 22 dont on a calculé l’ordonnée un peu plus haut f(2)=12=0,5f(2)=\dfrac12=0,5

Donc la droite d’équation y=34x1y=\dfrac34 x-1 passe par les points N(0 ;1)N(0\ ; -1) et M(2 ;0,5)M(2\ ; 0,5).

On peut maintenant tracer sa représentation graphique :

Connaître les fonctions affines mathématiques troisième

Sur l’exemple ci-dessus, on voit que :

  • l’image de 66 est 3,53,5 ;
  • l’antécédent de 4-4 est 4-4.

Notion de proportionnalité des accroissements

Pour toute fonction affine f:xax+bf : x \rightarrow ax+b, il y a proportionnalité des accroissements, c'est-à-dire que les accroissements de xx et de f(x)f(x) sont proportionnels, le coefficient de proportionnalité étant le coefficient directeur aa.

Quels que soient les nombres x1x1 et x2x2 , avec x2x1x2 \neq x1, on peut donc écrire : f(x2)f(x1)=a×(x2x1)f(x2)-f(x1)=a \times (x2-x1)

ou

a=f(x2)f(x1)x2x1a=\dfrac{f(x2)-f(x1)}{x2-x1}

D’où la propriété suivante.

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Propriété

Soit une fonction affine f:xax+bf : x \rightarrow ax+b
Soient deux points M(xM ;yM)M(xM\ ;yM) et P(xP ;yP)P(xP\ ;yP) appartenant à sa représentation graphique.
Alors le coefficient directeur aa est égal à : a=yPyMxPxM=f(xP)f(xM)xPxMa=\dfrac{yP-yM}{xP-xM}=\dfrac{f(xP)-f(xM)}{xP-xM}

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Démonstration

Soient M(xM ;yM)M(xM\ ;yM) et P(xP ;yP)P(xP\ ;yP) deux points de la droite y=ax+by=ax+b

Connaître les fonctions affines mathématiques troisième

On a yM=axM+byM=axM+b et yP=axP+b yP= axP+b

Donc : yPyM=(axP+b)(axM+b)=axPaxM+bb=axPaxM=a(xPxM)\begin {aligned} yP-yM&=(axP+b)-(axM+b)\&=axP-axM+b-b \ &=axP-axM\&=a(xP-xM) \end{aligned}

D’où : a=yPyMxPxMa=\dfrac{yP-yM}{xP-xM}

  • Si aa est positif, les deux accroissements ont le même signe. La droite « monte ».
  • Si aa est négatif, les deux accroissements sont de signes opposés. La droite « descend ».
  • Si aa est nul, la droite est parallèle à l’axe des abscisses (fonction constante).
  • Plus aa est grand, plus l’accroissement de yy est grand par rapport à celui de xx, donc plus la droite « monte ».
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Exemple

Calculons le coefficient directeur dans les cas deux suivants.
Concluons quant à la direction de la représentation graphique de la fonction.

  • ff fonction affine telle que f(1)=4f(-1)=4 et f(3)=9f (3)=9

ff est affine donc sa représentation graphique est une droite et il y a proportionnalité des accroissements d’où le coefficient directeur : a=943(1)=54a=\dfrac{9-4}{3-(-1)}=\dfrac54

  • aa est positif donc la droite « monte ».
  • gg fonction affine dont la représentation graphique passe par les points A(2 ;1)A(-2\ ; 1) et B(4 ;6)B(4\ ; -6).

gg est affine donc sa représentation graphique est une droite et il y a proportionnalité des accroissements d’où le coefficient directeur : a=614(2)=76a=\dfrac{-6-1}{4-(-2)}=\dfrac{-7}{6}

  • aa est négatif donc la droite « descend ».

Applications

Voyons maintenant deux types d’exercices auxquels on peut s’attendre sur les fonctions linéaires.

Expression algébrique d’une fonction affine en connaissant deux points de sa représentation graphique

Le résultat attendu ici est de la forme f(x)=ax+bf(x)=ax+b

Il s’agit de déterminer les valeurs de aa et bb par le calcul.

  • Pour calculer aa, on utilise la proportionnalité des accroissements entre les deux points connus de la droite.
  • Pour calculer bb, on applique l’expression algébrique d’une fonction affine à un des deux points connus de la droite.
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Exemple

Déterminons l’expression algébrique de la fonction affine ff dont la représentation graphique passe par les points A(1 ;1)A(1\ ; 1) et B(4 ;3)B(4\ ; -3).

  • Calcul de aa

ff est une fonction affine donc son expression algébrique est de type f(x)=ax+bf(x)=ax+b

Sa représentation graphique est une droite passant par les points A(1 ;1)A(1\ ; 1) et B(4 ;3)B(4\ ; -3) donc le coefficient directeur est : a=f(xB)f(xA)xBxA=3141=43a=\dfrac{f(xB)-f(xA)}{xB-xA}=\dfrac{-3-1}{4-1}=-\dfrac43

  • Calcul de bb

bb est tel que les coordonnées du point B(4 ;3)B(4\ ; -3), par exemple, vérifient l’expression algébrique de la fonction f(x)=ax+bf(x)=ax+b

Soit : 3=43×4+b-3=\dfrac{-4}{3} \times 4+b D’où : b=3+163=9+163=73b=-3 +\dfrac{16}{3}=\dfrac{-9+16}{3}=\dfrac73

L’expression algébrique de la fonction ff est donc f(x)=43x+73f(x)=-\dfrac43 x +\dfrac73

Équation d’une droite par lecture graphique

Le résultat attendu ici est de la forme y=ax+by=ax+b

Il s’agit de déterminer les valeurs de aa et bb par la lecture d’un graphique.

  • Pour déterminer aa, on lit les accroissements de xx et de yy entre deux points de la droite où la lecture est facilitée. aa est le quotient de l’accroissement de yy par l’accroissement de xx.
  • bb est l’ordonnée à l’origine. C’est l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.
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Exemple

Déterminons l’équation de la droite dans les deux cas suivants.

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a=+3+2=32a=\dfrac{+3}{+2}=\dfrac32

b=1b=-1

L’équation de cette droite est y=32x1y=\dfrac32 x-1

Connaître les fonctions affines mathématiques troisième

a=3+4=34a=\dfrac{-3}{+4}=-\dfrac34

b=3b=3

L’équation de cette droite est y=34x+3y=-\dfrac 34 x+3