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Connaître les fonctions affines
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Introduction :
L’objectif de ce cours est d’étudier les fonctions affines.
Nous donnerons d’abord la définition d’une fonction affine que nous accompagnerons de quelques remarques et exemples. Nous nous intéresserons ensuite à sa représentation graphique dont nous énumèrerons propriétés, vocabulaire et méthode de construction également illustrés d’exemples. Nous aborderons également la notion de proportionnalité des accroissements puis terminerons ce chapitre par quelques applications.
Les fonctions affines
Fonction affine :
Une fonction affine est une fonction qui à un nombre associe le nombre . On la note ou avec et deux nombres donnés.
Soit la fonction définie par
Soit la fonction définie par
Soit la fonction définie par
Soit la fonction affine
On recherche pour
On remplace par dans ce qui donne :
On recherche la valeur de pour
On sait que donc est la solution de l’équation
D’où :
Passons maintenant à la représentation graphique d’une fonction affine.
Représentation graphique
Propriété et vocabulaire
Soit une fonction affine
Construction
Soit le point d’abscisse appartenant à la droite d’équation , alors a pour coordonnées .
Pour construire la représentation graphique d’une fonction affine , il suffit de connaitre les coordonnées d’un seul autre point appartenant à la droite et de tracer la droite .
Types de représentations possibles
Construisons la représentation graphique de
est une fonction affine. Sa représentation graphique est la droite d’équation
L’ordonnée à l’origine de la fonction est donc cette droite passe par le point
Comme autre point, on peut choisir le point d’abscisse dont on a calculé l’ordonnée un peu plus haut
Donc la droite d’équation passe par les points et .
On peut maintenant tracer sa représentation graphique :
Représentation graphique de la droite
Sur l’exemple ci-dessus, on voit que :
Notion de proportionnalité des accroissements
Pour toute fonction affine , il y a proportionnalité des accroissements, c'est-à-dire que les accroissements de et de sont proportionnels, le coefficient de proportionnalité étant le coefficient directeur .
Quels que soient les nombres et , avec , on peut donc écrire :
ou
D’où la propriété suivante.
Soit une fonction affine
Soient deux points et appartenant à sa représentation graphique.
Alors le coefficient directeur est égal à :
Soient et deux points de la droite
On a et
Donc :
D’où :
Calculons le coefficient directeur dans les cas deux suivants.
Concluons quant à la direction de la représentation graphique de la fonction.
est affine donc sa représentation graphique est une droite et il y a proportionnalité des accroissements d’où le coefficient directeur :
est affine donc sa représentation graphique est une droite et il y a proportionnalité des accroissements d’où le coefficient directeur :
Applications
Voyons maintenant deux types d’exercices auxquels on peut s’attendre sur les fonctions linéaires.
Expression algébrique d’une fonction affine en connaissant deux points de sa représentation graphique
Le résultat attendu ici est de la forme
Il s’agit de déterminer les valeurs de et par le calcul.
Déterminons l’expression algébrique de la fonction affine dont la représentation graphique passe par les points et .
est une fonction affine donc son expression algébrique est de type
Sa représentation graphique est une droite passant par les points et donc le coefficient directeur est :
est tel que les coordonnées du point , par exemple, vérifient l’expression algébrique de la fonction
Soit : D’où :
L’expression algébrique de la fonction est donc
Équation d’une droite par lecture graphique
Le résultat attendu ici est de la forme
Il s’agit de déterminer les valeurs de et par la lecture d’un graphique.
Déterminons l’équation de la droite dans les deux cas suivants.
L’équation de cette droite est
L’équation de cette droite est