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Connaître les fonctions affines

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Les fonctions affines

  • Une fonction affine est une fonction qui à un nombre xx associe le nombre ax+bax+b. On la note f:xax+bf: x\rightarrow ax+b ou f(x)=ax+bf(x)=ax+b avec aa et bb deux nombres donnés.
  • Une fonction affine où bb est nul est une fonction linéaire xaxx\rightarrow ax
  • Une fonction affine où aa est nul est une fonction constante xbx\rightarrow b
    Tous les nombres xx ont pour image le nombre bb.
  • Par une fonction affine, l’antécédent d’un nombre est unique, sauf dans le cas d’une fonction constante où le nombre bb admet pour antécédents tous les nombres xx.

Représentation graphique

  • Soit une fonction affine f:xax+bf :x \rightarrow ax+b :
  • la représentation graphique de ff est une droite ;
  • l’équation de cette droite est y=ax+by=ax+b
  • aa est appelé coefficient directeur de la droite y=ax+by=ax+b
    Il indique la direction de la droite.
  • bb est appelé ordonnée à l’origine. C’est la valeur de f(x)f(x) pour x=0x=0, valeur de l’intersection de la droite y=ax+by=ax+b avec l’axe des ordonnées.
  • Soit le point NN d’abscisse x=0x=0 appartenant à la droite d’équation y=ax+by=ax+b, alors NN a pour coordonnées (0 ;b)(0\ ;b). Pour construire la représentation graphique d’une fonction affine ff, il suffit de connaitre les coordonnées d’un seul autre point M(x ;y)M(x\ ;y) appartenant à la droite et de tracer la droite (NM)(NM).
  • Pour toute fonction affine f:xax+bf : x \rightarrow ax+b, il y a proportionnalité des accroissements, c'est-à-dire que les accroissements de xx et de f(x)f(x) sont proportionnels, le coefficient de proportionnalité étant le coefficient directeur aa.
  • Soit une fonction affine f:xax+bf : x \rightarrow ax+b et deux points M(xM ;yM)M(xM\ ;yM) et P(xP ;yP)P(xP\ ;yP) appartenant à sa représentation graphique. Alors le coefficient directeur aa est égal à : a=yPyMxPxM=f(xP)f(xM)xPxMa=\dfrac{yP-yM}{xP-xM}=\dfrac{f(xP)-f(xM)}{xP-xM}
  • Si aa est positif, les deux accroissements ont le même signe. La droite « monte ».
  • Si aa est négatif, les deux accroissements sont de signes opposés. La droite « descend ».
  • Si aa est nul, la droite est parallèle à l’axe des abscisses (fonction constante).
  • Plus aa est grand, plus l’accroissement de yy est grand par rapport à celui de xx, donc plus la droite « monte ».

Applications

  • Expression algébrique d’une fonction affine en connaissant deux points de sa représentation graphique
  • Le résultat attendu ici est de la forme f(x)=ax+bf(x)=ax+b
    Il s’agit de déterminer les valeurs de aa et bb par le calcul.
  • Pour calculer aa, on utilise la proportionnalité des accroissements entre les deux points connus de la droite.
  • Pour calculer bb, on applique l’expression algébrique d’une fonction affine à un des deux points connus de la droite.
  • Équation d’une droite par lecture graphique
  • Le résultat attendu ici est de la forme y=ax+by=ax+b
    Il s’agit de déterminer les valeurs de aa et bb par la lecture d’un graphique.
  • Pour déterminer aa, on lit les accroissements de xx et de yy entre deux points de la droite où la lecture est facilitée. aa est le quotient de l’accroissement de yy par l’accroissement de xx.
  • bb est l’ordonnée à l’origine. C’est l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.