Une fonction affine où a est nul est une fonction constante x→b
Tous les nombres x ont pour image le nombre b.
Par une fonction affine, l’antécédent d’un nombre est unique, sauf dans le cas d’une fonction constante où le nombre b admet pour antécédents tous les nombres x.
Représentation graphique
Soit une fonction affine f:x→ax+b :
la représentation graphique de f est une droite ;
l’équation de cette droite est y=ax+b
a est appelé coefficient directeur de la droite y=ax+b
Il indique la direction de la droite.
b est appelé ordonnée à l’origine. C’est la valeur de f(x) pour x=0, valeur de l’intersection de la droite y=ax+b avec l’axe des ordonnées.
Soit le point N d’abscisse x=0 appartenant à la droite d’équation y=ax+b, alors N a pour coordonnées (0;b). Pour construire la représentation graphique d’une fonction affine f, il suffit de connaitre les coordonnées d’un seul autre point M(x;y) appartenant à la droite et de tracer la droite (NM).
Pour toute fonction affine f:x→ax+b, il y a proportionnalité des accroissements, c'est-à-dire que les accroissements de x et de f(x) sont proportionnels, le coefficient de proportionnalité étant le coefficient directeur a.
Soit une fonction affine f:x→ax+b et deux points M(xM;yM) et P(xP;yP) appartenant à sa représentation graphique. Alors le coefficient directeur a est égal à :
a=xP−xMyP−yM=xP−xMf(xP)−f(xM)
Si a est positif, les deux accroissements ont le même signe. La droite « monte ».
Si a est négatif, les deux accroissements sont de signes opposés. La droite « descend ».
Si a est nul, la droite est parallèle à l’axe des abscisses (fonction constante).
Plus a est grand, plus l’accroissement de y est grand par rapport à celui de x, donc plus la droite « monte ».
Applications
Expression algébrique d’une fonction affine en connaissant deux points de sa représentation graphique
Le résultat attendu ici est de la forme f(x)=ax+b
Il s’agit de déterminer les valeurs de a et b par le calcul.
Pour calculer a, on utilise la proportionnalité des accroissements entre les deux points connus de la droite.
Pour calculer b, on applique l’expression algébrique d’une fonction affine à un des deux points connus de la droite.
Équation d’une droite par lecture graphique
Le résultat attendu ici est de la forme y=ax+b
Il s’agit de déterminer les valeurs de a et b par la lecture d’un graphique.
Pour déterminer a, on lit les accroissements de x et de y entre deux points de la droite où la lecture est facilitée. a est le quotient de l’accroissement de y par l’accroissement de x.
b est l’ordonnée à l’origine. C’est l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.
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