Fiche de révision : Connaître les fonctions affines

Les fonctions affines

• Une fonction affine est une fonction qui à un nombre $x$ associe le nombre $ax+b$. On la note $f: x\rightarrow ax+b$ ou $f(x)=ax+b$ avec $a$ et $b$ deux nombres donnés.
• Une fonction affine où $b$ est nul est une fonction linéaire $x\rightarrow ax$
• Une fonction affine où $a$ est nul est une fonction constante $x\rightarrow b$
  Tous les nombres $x$ ont pour image le nombre $b$.
• Par une fonction affine, l’antécédent d’un nombre est unique, sauf dans le cas d’une fonction constante où le nombre $b$ admet pour antécédents tous les nombres $x$.

Représentation graphique

• Soit une fonction affine $f :x \rightarrow ax+b$ :
• la représentation graphique de $f$ est une droite ;
• l’équation de cette droite est $y=ax+b$
• $a$ est appelé coefficient directeur de la droite $y=ax+b$
  Il indique la direction de la droite.
• $b$ est appelé ordonnée à l’origine. C’est la valeur de $f(x)$ pour $x=0$, valeur de l’intersection de la droite $y=ax+b$ avec l’axe des ordonnées.
• Soit le point $N$ d’abscisse $x=0$ appartenant à la droite d’équation $y=ax+b$, alors $N$ a pour coordonnées $(0\ ;b)$. Pour construire la représentation graphique d’une fonction affine $f$, il suffit de connaitre les coordonnées d’un seul autre point $M(x\ ;y)$ appartenant à la droite et de tracer la droite $(NM)$.
• Pour toute fonction affine $f : x \rightarrow ax+b$, il y a proportionnalité des accroissements, c'est-à-dire que les accroissements de $x$ et de $f(x)$ sont proportionnels, le coefficient de proportionnalité étant le coefficient directeur $a$.
• Soit une fonction affine $f : x \rightarrow ax+b$ et deux points $M(x_M\ ;y_M)$ et $P(x_P\ ;y_P)$ appartenant à sa représentation graphique. Alors le coefficient directeur $a$ est égal à : $$a=\dfrac{y_P-y_M}{x_P-x_M}=\dfrac{f(x_P)-f(x_M)}{x_P-x_M}$$
• Si $a$ est positif, les deux accroissements ont le même signe. La droite « monte ».
• Si $a$ est négatif, les deux accroissements sont de signes opposés. La droite « descend ».
• Si $a$ est nul, la droite est parallèle à l’axe des abscisses (fonction constante).
• Plus $a$ est grand, plus l’accroissement de $y$ est grand par rapport à celui de $x$, donc plus la droite « monte ».

Applications

• Expression algébrique d’une fonction affine en connaissant deux points de sa représentation graphique
• Le résultat attendu ici est de la forme $f(x)=ax+b$
  Il s’agit de déterminer les valeurs de $a$ et $b$ par le calcul.
• Pour calculer $a$, on utilise la proportionnalité des accroissements entre les deux points connus de la droite.
• Pour calculer $b$, on applique l’expression algébrique d’une fonction affine à un des deux points connus de la droite.
• Équation d’une droite par lecture graphique
• Le résultat attendu ici est de la forme $y=ax+b$
  Il s’agit de déterminer les valeurs de $a$ et $b$ par la lecture d’un graphique.
• Pour déterminer $a$, on lit les accroissements de $x$ et de $y$ entre deux points de la droite où la lecture est facilitée. $a$ est le quotient de l’accroissement de $y$ par l’accroissement de $x$.
• $b$ est l’ordonnée à l’origine. C’est l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.