Les fonctions affines

Les fonctions affines

Fonction affine :

Une fonction affine est une fonction qui à un nombre $x$ associe le nombre $\red ax+\blue b$. On la note $f: x\rightarrow \red ax+\blue b$ ou $f(x)=\red ax+\blue b$ avec $a$ et $\blue b$ deux nombres donnés.

• Une fonction affine où $\blue b$ est nul est une fonction linéaire.
• Le coefficient de la fonction linéaire vaut alors $\red a$.
• Une fonction affine où $\red a$ est nul est une fonction constante.
• Par une fonction constante, tous les nombres ont la même image, égale à $\blue b$.

Coefficient directeur et ordonnée à l’origine :

Soit $f$ une fonction affine définie par $f(x)=\red ax+\blue b$, avec $a$ et $b$ deux nombres.
On note $\mathscr D$ sa représentation graphique, qui est une droite.

• $\red a$ est appelé coefficient directeur, ou pente, de $\mathscr D$;
• $\blue b$ est appelé ordonnée à l’origine de $\mathscr D$.

Représentation graphique

Représenter graphiquement une fonction affine :

Soit $f$ une fonction affine définie par $f(x)=\red ax+\blue b$, avec $a$ et $b$ deux nombres donnés. Dans un repère, pour construire sa représentation graphique, qui est une droite, il suffit de connaître les coordonnées de deux points.

• L’ordonnée à l’origine $\blue b$ permet de trouver rapidement les coordonnées du premier point : $(0\ ;\, \blue b)$ (il est sur l’axe des ordonnées).
• Pour en trouver un second, on se sert de l’expression algébrique pour trouver l’image $f(c)$ d’un nombre $c$, que l’on choisit assez éloigné du premier point pour un tracé plus précis, et avec une valeur qui facilite le calcul.
• Ce second point aura alors pour coordonnées $\big(c\ ;\, f(c)\big)$.
• En traçant la droite qui passe par les deux points, on obtient la représentation graphique de $f$.

Déterminer graphiquement les paramètres $a$ et $b$ d’une fonction affine :

Soit $f$ une fonction affine dont on connaît la représentation graphique dans un repère.
$f$, comme fonction affine, est définie par $f(x)=\red ax+\blue b$, avec $a$ et $b$ deux nombres que l’on cherche à déterminer.

• Pour déterminer $\blue b$, on lit l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.
• On détermine ainsi l’ordonnée à l’origine de la droite, qui est égale à $\blue b$.
• On choisit un point de la droite, et on regarde, quand on « avance » de $1$ en abscisse, de combien on « monte » ou « descend » en ordonnée.
• Cette valeur donne le coefficient directeur de la droite (positif si on est « monté », négatif si on est « descendu »), qui est égal à $\red a$.

Proportionnalité des accroissements (approfondissement)

Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x)=\red ax+\blue b$, avec $a$ et $b$ deux nombres.
Quels que soient les nombres $x_1$ et $x_2$, avec $x_1\neq x_2$, on a :

$$\red a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$

On a aussi : $\red a=\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$.

Cette propriété permet notamment de déterminer l’expression algébrique qui définit une fonction affine en connaissant les images de deux nombres différents.