Connaître les triangles isocèles, équilatéraux et rectangles
Introduction :
L’objectif de ce cours est d’étudier trois triangles particuliers et de donner les propriétés des longueurs des côtés, des mesures des angles et des axes de symétrie de chacun.
Dans ce cours, nous reverrons dans un premier temps le vocabulaire des triangles, puis nous donnerons des propriétés du triangle isocèle, du triangle équilatéral et du triangle rectangle.
Généralités sur le triangle
Généralités sur le triangle
Rappel
Un triangle est un polygone formé par trois angles. Il a donc trois côtés.
À retenir
Le triangle $ABC$ a :
- $3$ sommets : les points $A$, $B$ et $C$ ;
- $3$ côtés : les segments $[AB]$, $[BC]$ et $[AC]$ ;
- $3$ angles : $\widehat{A}$, $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$.
Le sommet opposé au côté $[AB]$ est le point $C$.
Le côté opposé au sommet $B$ est le côté $[AC]$.
L’angle opposé au côté $[BC]$ est l’angle $\widehat{A}$.
Le triangle isocèle
Le triangle isocèle
Définition
Définition
Définition
Triangle isocèle :
Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur.
Dans le triangle isocèle $ABC$ ci-dessous, nous avons $CA = CB$.
Propriétés des angles du triangle isocèle
Propriétés des angles du triangle isocèle
Propriété
Dans un triangle isocèle, les deux angles de la base ont la même mesure.
Dans le triangle $ABC$ ci-dessous, nous avons $\widehat{A} = \widehat{B}$.
Axe de symétrie du triangle isocèle
Axe de symétrie du triangle isocèle
Propriété
Un triangle isocèle a un axe de symétrie qui est la médiatrice de la base.
Rappel
La médiatrice d’un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui est perpendiculaire à ce segment.
À retenir
Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base est aussi la hauteur issue du sommet principal.
En effet, le sommet principal $C$ est équidistant des points $A$ et $B$, donc il appartient à la médiatrice de la base $[AB]$. La médiatrice de la base $[AB]$ est perpendiculaire au segment $[AB]$ et passe par le sommet $C$, donc c’est aussi la hauteur issue du sommet principal $C$.
Rappel
Une hauteur d’un triangle est une droite qui passe par un de ses sommets et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Le triangle équilatéral
Le triangle équilatéral
Définition
Définition
Définition
Triangle équilatéral :
Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de même longueur.
Dans le triangle équilatéral $ABC$ ci-dessous, nous avons $AB = AC = BC$.
Propriétés des angles du triangle équilatéral
Propriétés des angles du triangle équilatéral
Propriété
Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent $60\degree$.
Dans le triangle $ABC$ ci-dessous, nous avons $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = 60\degree$.
Axes de symétrie du triangle équilatéral
Axes de symétrie du triangle équilatéral
Propriété
Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie qui sont les médiatrices de ses côtés.
À retenir
Dans un triangle équilatéral, la médiatrice d’un côté et la hauteur issue du sommet opposé sont les mêmes droites.
Le triangle rectangle
Le triangle rectangle
Définition
Définition
Définition
Triangle rectangle :
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit (c'est-à-dire dont la mesure est $90\degree$).
Dans le triangle rectangle $ABC$ ci-dessous, nous avons $\widehat{B} = 90\degree$.
On dit que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
Définition
Hypoténuse :
Le côté opposé à l’angle droit est appelé hypoténuse du triangle rectangle.
Propriétés des angles du triangle rectangle
Propriétés des angles du triangle rectangle
Propriété
Un triangle rectangle possède un angle droit (c’est-à-dire un angle qui mesure $90\degree$).
Si un triangle $ABC$ rectangle en $B$ est également isocèle en $B$ (c'est-à-dire que $BA = BC$), alors $\widehat{A} = \widehat{C} = 45\degree$.
Axe de symétrie du triangle rectangle
Axe de symétrie du triangle rectangle
Un triangle rectangle n’a aucun axe de symétrie, sauf si le triangle est à la fois rectangle et isocèle.
Dans ce cas, l’axe de symétrie sera la médiatrice de l’hypoténuse $[AC]$ qui passera par le point $B$, qui est donc également la hauteur issue du point $B$.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons vu les propriétés de trois triangles particuliers :
- le triangle isocèle, qui a $2$ côtés de même longueur, ses $2$ angles à la base de même mesure et un axe de symétrie ;
- le triangle équilatéral, qui a $3$ côtés de même longueur, ses $3$ angles de mesure $60\degree$ et $3$ axes de symétrie ;
- et le triangle rectangle qui a un angle droit ($90\degree$) et aucun axe de symétrie, sauf s’il est aussi isocèle. Dans ce cas, il vérifie aussi les propriétés des triangles isocèles.