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Marianne

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Connaître les triangles isocèles, équilatéraux et rectangles

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Introduction :

L’objectif de ce cours est d’étudier trois triangles particuliers et de donner les propriétés des longueurs des côtés, des mesures des angles et des axes de symétrie de chacun.
Dans ce cours, nous reverrons dans un premier temps le vocabulaire des triangles, puis nous donnerons des propriétés du triangle isocèle, du triangle équilatéral et du triangle rectangle.

Généralités sur le triangle

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Rappel

Un triangle est un polygone formé par trois angles. Il a donc trois côtés.

triangle isocèle triangle équilatéral triangle rectangle

bannière à retenir

À retenir

Le triangle ABCABC a :

  • 33 sommets : les points AA, BB et CC ;
  • 33 côtés : les segments [AB][AB], [BC][BC] et [AC][AC] ;
  • 33 angles : A^\widehat{A}, B^\widehat{B} et C^\widehat{C}.

Le sommet opposé au côté [AB][AB] est le point CC.
Le côté opposé au sommet BB est le côté [AC][AC].
L’angle opposé au côté [BC][BC] est l’angle A^\widehat{A}.

Le triangle isocèle

Définition

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Définition

Triangle isocèle :

Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur.

Dans le triangle isocèle ABCABC ci-dessous, nous avons CA=CBCA = CB.

triangle isocèle triangle équilatéral triangle rectangle

Propriétés des angles du triangle isocèle

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Propriété

Dans un triangle isocèle, les deux angles de la base ont la même mesure.

Dans le triangle ABCABC ci-dessous, nous avons A^=B^\widehat{A} = \widehat{B}.

triangle isocèle triangle équilatéral triangle rectangle

Axe de symétrie du triangle isocèle

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Propriété

Un triangle isocèle a un axe de symétrie qui est la médiatrice de la base.

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Rappel

La médiatrice d’un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui est perpendiculaire à ce segment.

triangle isocèle triangle équilatéral triangle rectangle

bannière à retenir

À retenir

Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base est aussi la hauteur issue du sommet principal.
En effet, le sommet principal CC est équidistant des points AA et BB, donc il appartient à la médiatrice de la base [AB][AB]. La médiatrice de la base [AB][AB] est perpendiculaire au segment [AB][AB] et passe par le sommet CC, donc c’est aussi la hauteur issue du sommet principal CC.

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Rappel

Une hauteur d’un triangle est une droite qui passe par un de ses sommets et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Le triangle équilatéral

Définition

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Définition

Triangle équilatéral :

Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de même longueur.

Dans le triangle équilatéral ABCABC ci-dessous, nous avons AB=AC=BCAB = AC = BC.

triangle isocèle triangle équilatéral triangle rectangle

Propriétés des angles du triangle équilatéral

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Propriété

Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent 60°60\degree.

Dans le triangle ABCABC ci-dessous, nous avons A^=B^=C^=60°\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = 60\degree.

triangle isocèle triangle équilatéral triangle rectangle

Axes de symétrie du triangle équilatéral

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Propriété

Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie qui sont les médiatrices de ses côtés.

triangle isocèle triangle équilatéral triangle rectangle

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À retenir

Dans un triangle équilatéral, la médiatrice d’un côté et la hauteur issue du sommet opposé sont les mêmes droites.

Le triangle rectangle

Définition

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Définition

Triangle rectangle :

Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit (c'est-à-dire dont la mesure est 90°90\degree).

Dans le triangle rectangle ABCABC ci-dessous, nous avons B^=90°\widehat{B} = 90\degree.
On dit que le triangle ABCABC est rectangle en BB.

triangle isocèle triangle équilatéral triangle rectangle

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Définition

Hypoténuse :

Le côté opposé à l’angle droit est appelé hypoténuse du triangle rectangle.

Propriétés des angles du triangle rectangle

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Propriété

Un triangle rectangle possède un angle droit (c’est-à-dire un angle qui mesure 90°90\degree).

Si un triangle ABCABC rectangle en BB est également isocèle en BB (c'est-à-dire que BA=BCBA = BC), alors A^=C^=45°\widehat{A} = \widehat{C} = 45\degree.

Axe de symétrie du triangle rectangle

Un triangle rectangle n’a aucun axe de symétrie, sauf si le triangle est à la fois rectangle et isocèle.
Dans ce cas, l’axe de symétrie sera la médiatrice de l’hypoténuse [AC][AC] qui passera par le point BB, qui est donc également la hauteur issue du point BB.

triangle isocèle triangle équilatéral triangle rectangle

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons vu les propriétés de trois triangles particuliers :

  • le triangle isocèle, qui a 22 côtés de même longueur, ses 22 angles à la base de même mesure et un axe de symétrie ;
  • le triangle équilatéral, qui a 33 côtés de même longueur, ses 33 angles de mesure 60°60\degree et 33 axes de symétrie ;
  • et le triangle rectangle qui a un angle droit (90°90\degree) et aucun axe de symétrie, sauf s’il est aussi isocèle. Dans ce cas, il vérifie aussi les propriétés des triangles isocèles.