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Construction de l'image d'un objet

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Introduction :

Dans le cours précédent, la lentille convergente et ses propriétés optiques ont été introduites. Cependant, utiliser une lentille convergente dans un circuit n’est intéressant que si la forme et la taille de l’image peuvent être calculée ou déduites. Ce cours permet dans une première partie d’introduire la notion de grandissement avant de détailler la méthode mathématique pour la calculer dans le cas d’une lentille convergente. Finalement, la troisième partie de ce cours porte sur l’application la plus ancienne et la plus intéressante des lentilles convergentes : l’œil.

La notion de grandissement

Tout objet projette une image à travers une lentille. Cependant, il est intéressant de connaître la dimension de l’image par rapport à l’objet.

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Définition

Le grandissement :

Le grandissement, noté γ\gamma, est le rapport de la taille de l’image sur la taille de l’objet.
γ=taille de l’imagetaille de l’objet\gamma= \dfrac{\text{taille de l’image}}{\text{taille de l’objet}}

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À retenir

La taille de l’objet et de l’image ont la même unité et par conséquence, le grandissement est une grandeur physique sans dimension.

L’axe optique, dit normé, dirige une source lumineuse jusqu’à après la lentille et les distances sont notées avec une barre horizontale placée au-dessus des lettres, AB\overline{AB} par exemple.

  • Cette mesure algébrique est une longueur dont on affecte un signe.

Donc toute distance mesurée dans le sens de propagation de la lumière est comptée comme positive et toute distance mesurée dans le sens inverse de la propagation de la lumière est comptée comme négative.

La taille de l’image par rapport à l’objet dépend de la valeur absolue du grandissement :

  • Si γ>1\vert\gamma\vert > 1 l’image est donc plus grande que l’objet ;
  • Si γ<1\vert\gamma\vert < 1 l’image est donc plus petite que l’objet.

Le sens de l’image par rapport à l’objet dépend aussi de la valeur du grandissement :

  • Si γ>0\gamma>0 l’image est donc dans le même sens que l’objet ;
  • Si γ<0\gamma<0 l’image est donc dans le sens inverse de l’objet.

Le grandissement Le grandissement

Calcul du grandissement

Dans le cas d’une lentille convergente, un objet placé avant le point focal objet a une image réelle renversée de l’autre côté de la lentille.

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Rappel

Une image est dite réelle si elle est projetable sur un écran. C’est le cas lorsque les rayons convergent vers un point d’intersection situé après la lentille. L’image est alors obtenue après la lentille.
L’image donnée par une lentille convergente est réelle si l’objet est situé avant le foyer objet.

lentille convergente, grandissment

bannière propriete

Propriété

Le grandissement est : γ=ABAB\gamma=\dfrac{\overline{A^\prime B^\prime}}{\overline{AB}}

Or (AB)(AB)(AB) \vert\vert( A^\prime B^\prime).
Donc d’après le théorème de Thalès :

ABAB=OAOA=OBOB\begin{aligned} \dfrac{\overline{A^\prime B^\prime}}{\overline{AB}} =\dfrac{\overline{OA^\prime}}{\overline{OA}} =\dfrac{\overline{OB^\prime}}{\overline{OB}} \end{aligned}

Donc : γ=ABAB=OAOA=OBOB\begin{aligned} \gamma=\dfrac{\overline{A^\prime B^\prime}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{OA^\prime}}{\overline{OA}} =\dfrac{\overline{OB^\prime}}{\overline{OB}} \end{aligned}

Une particularité est quand l’objet se trouve à une distance de deux fois la distance focale, l’image se trouvera de l’autre côté de la lentille inversée et à la même distance et ainsi OA=OA=2f\vert OA\vert =\vert OA^{\prime} \vert = 2f et donc γ=1γ=-1.

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Exemple

Soit l’objet ABAB mesurant 2cm2\,\text{cm} placé à une distance de 4cm4\,\text{cm} d’une lentille convergente. L’image ABA^\prime B^\prime se forme à 1,3cm1,3\,\text{cm} après la lentille convergente. Calculer le grandissement et déduire la forme et la taille de son image ?

lentille convergente, grandissment

Tout abord comme l’objet est placé à une distance supérieure à la distance focale, l’image sera alors renversée donc γ<0γ<0.
D’après le théorème de Thalès : γ=ABAB=OAOA=1,3-4=0,32\begin{aligned} \gamma=\dfrac{\overline{A^\prime B^\prime}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{OA^\prime}}{\overline{OA}} =\dfrac{1,3}{-4}=-0,32 \end{aligned}

Donc, AB=OA×ABOA=1,3×2-4=0,65cm\begin{aligned} \overline{A^\prime B^\prime}&=\overline{OA^\prime}\times\dfrac{\overline{AB}}{\overline{OA}}=1,3\times\dfrac{2}{-4}=-0,65\,\text{cm} \end{aligned}

Ainsi, γ=0,32γ= - 0,32 et l’image ABA^\prime B^\prime sera renversée par rapport à ABAB et mesurera 0,65cm0,65\,\text{cm}.

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À retenir

Plus un objet s’éloigne de la lentille plus son image est petite et inversement plus un objet se rapproche de la lentille (en restant à une distance supérieure à la distance focale) plus l’image s’agrandit.

En effet, le grandissement dépend de la taille de l’objet mais aussi de la position : γ=ABAB=OAOA\gamma=\dfrac{\overline{A^\prime B^\prime}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{OA^\prime}}{\overline{OA}}

Donc quand la distance entre la lentille et l’objet (valeur absolue de OAOA) augmente le grandissement diminue et ainsi la taille de l’image diminue pour la même taille d’objet.

Le modèle de l’œil

Afin de nous permettre de voir les objets, l’œil est doté d’un mécanisme optique basé sur une lentille convergente.

Tout abord, la lumière naturelle ou artificielle illumine un objet qui la réfléchit jusqu’à nos yeux. Une fois que les faisceaux lumineux ont atteint nos yeux, l’iris ajuste l’ouverture pour réguler l’intensité lumineuse atteignant le cristallin. Ce dernier se comporte comme une lentille convergente ajustable.

En effet, le cristallin est capable d’ajuster sa convergence en se bombant pour faire varier sa distance focale et ainsi permettre la formation d’une image nette sur la rétine, on dit que l’œil accommode. Cela est nécessaire puisque dans l’œil, la distance cristallin-rétine est fixe (en moyenne 17mm17\,\text{mm} séparent le cristallin de la rétine). L’image formée sur la rétine est ensuite transmise au cerveau.

  • L’image ci-dessous montre l’œil et sa modélisation optique.

modélisation optique de l’œil

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À retenir

Le fonctionnement de l’œil est assimilé à une lentille convergente ajustable (le cristallin) et à un écran (la rétine) sur lequel se forme l’image.

Dans le cas de la myopie, l’image se forme avant la rétine, c’est-à-dire que l’œil myope est trop convergent et l’image est donc floue. Pour corriger cela, il faut donc placer une lentille divergente devant l’œil et l’image sera plus nette.

Et dans le cas de l’hypermétropie, l’image se forme après la rétine, c’est-à-dire que l’œil hypermétrope n’est pas assez convergent et l’image est donc aussi floue. Pour corriger cela, il faut donc placer une lentille convergente devant l’œil et l’image sera plus nette.

Conclusion :

Le grandissement (γ)(\gamma) est le rapport de la taille de l’image sur la taille de l’objet. Il dépend expérimentalement du type de lentille, de la distance focale de la lentille et de la distance de l’objet par rapport à la lentille. En connaissant le grandissement, l’application du théorème de Thalès permet de déduire la taille de l’image.
Le fonctionnement de l’œil est basé sur une lentille convergente. Le cristallin de l’œil est une lentille convergente qui ajuste sa convergence afin de permettre le traçage d’une image nette sur la rétine.