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Critère de divisibilité

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Introduction :

Dans les cours précédents, nous avons parlé de division euclidienne, de diviseurs et de multiples. Afin de bien appréhender ces notions, il est nécessaire de connaitre quelques critères de divisibilité, c'est-à-dire des méthodes qui permettent de savoir rapidement si un nombre entier est divisible ou non par un autre nombre entier.

Nous commencerons donc ce cours par un bref rappel sur les notions de diviseurs et de divisibilité, puis nous listerons les critères de divisibilité d'un nombre que nous illustrerons par un exemple.

Rappels

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Rappel

Soient deux entiers aa et bb, avec bb non nul.
On dit que bb est un diviseur de aa si le reste de la division euclidienne de aa par bb est nul, c'est-à-dire si a÷b=na\div b = n ou a=b×na = b \times n, avec nn entier.

On dit exactement de la même manière que aa est divisible par bb.

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Astuce

nn est aussi un diviseur de aa puisque a=b×na = b \times n d'où a÷n=ba\div n = b
Donc aa est aussi divisible par nn.

Quel que soit le nombre entier aa, on a toujours a=a×1a = a \times 1 donc aa est divisible par 11 et par lui-même.

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Exemple

20=4×520 = 4 \times 5 donc 44 et 55 sont des diviseurs de 2020, et 2020 est divisible par 44 et 55.
Mais on sait que 2020 est aussi divisible par 11 et par 2020.

Ces rappels étant faits, nous allons maintenant voir quelles sont les règles quant à la divisibilité d'un nombre entier positif.

Critères de divisibilité

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Définition

Divisibilité :

La divisibilité d'un nombre est sa capacité à être divisible par tel ou tel nombre.

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Propriété

Un nombre entier :

  • n'est jamais divisible par 00 ;
  • est toujours divisible par 11 et par lui-même ;
  • est divisible par 22 si son chiffre des unités est pair ;
  • est divisible par 55 si son chiffre des unités est 00 ou 55 ;
  • est divisible par 1010 si son chiffre des unités est 00 ;
  • est divisible par 33 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 33 ;
  • est divisible par 99 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 99 ;
  • est divisible par 44 si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 44 ;
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Exemple

Ainsi, 78127812 :

  • est divisible par 11 et par 78127812,
  • est divisible par 22 car il est pair,
  • est divisible par 33 car la somme des chiffres qui le composent (7+8+1+2=18)(7+8+1+2=18) est divisible par 33 (18÷3=6)(18\div 3=6),
  • est divisible par 44 car ses deux derniers chiffres forment le nombre 1212 qui est divisible par 44.
  • est divisible par 99 car la somme des chiffres qui le composent (7+8+1+2=18)(7+8+1+2=18) est divisible par 99 (18÷9=2)(18\div 9 = 2).

En revanche, 78127812 :

  • n'est pas divisible par 55 car il ne se termine pas par 00 ou 55,
  • n'est pas divisible par 1010 car il ne se termine pas par 00.

Grâce aux critères de divisibilité, nous avons trouvé rapidement que 78127812 est au moins divisible par 11, 22, 33, 44, 99 et 78127812.
Pour déterminer d'autres diviseurs de 78127812, on peut effectuer les divisions de 78127812 par 22, 33, 44 et 99 et on obtient ainsi de nouveaux diviseurs : 39063906, 26042604, 19531953 et 868868.

  • Nous avons ainsi rapidement trouvé dix diviseurs de 78127812.
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Astuce

Il existe d'autres critères de divisibilité mais ceux donnés ici sont les plus courants et les plus simples à mettre en œuvre.

Conclusion :

Connaitre les critères de divisibilité, c'est savoir déterminer rapidement des diviseurs d'un nombre, chose qui nous est déjà bien utile pour décomposer numérateur et dénominateur d'une fraction en produits de facteurs pour simplifier une fraction ou des calculs entre fractions.

Il est donc tout à fait indispensable de connaître au moins les critères de divisibilité que nous avons présentés ici.