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Critère de divisibilité

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Introduction :

Dans les cours précédents, nous avons parlé de division euclidienne, de diviseurs et de multiples. Afin de bien appréhender ces notions, il est nécessaire de connaitre quelques critères de divisibilité, c'est-à-dire des méthodes qui permettent de savoir rapidement si un nombre entier est divisible ou non par un autre nombre entier.

Nous commencerons donc ce cours par un bref rappel sur les notions de diviseurs et de divisibilité, puis nous listerons les critères de divisibilité d'un nombre que nous illustrerons par un exemple.

Rappels

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Rappel

Soient deux entiers $a$ et $b$, avec $b$ non nul.
On dit que $b$ est un diviseur de $a$ si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul, c'est-à-dire si $a\div b = n$ ou $a = b \times n$, avec $n$ entier.

On dit exactement de la même manière que $a$ est divisible par $b$.

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Astuce

$n$ est aussi un diviseur de $a$ puisque $a = b \times n$ d'où $a\div n = b$
Donc $a$ est aussi divisible par $n$.

Quel que soit le nombre entier $a$, on a toujours $a = a \times 1$ donc $a$ est divisible par $1$ et par lui-même.

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Exemple

$20 = 4 \times 5$ donc $4$ et $5$ sont des diviseurs de $20$, et $20$ est divisible par $4$ et $5$.
Mais on sait que $20$ est aussi divisible par $1$ et par $20$.

Ces rappels étant faits, nous allons maintenant voir quelles sont les règles quant à la divisibilité d'un nombre entier positif.

Critères de divisibilité

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Définition

Divisibilité :

La divisibilité d'un nombre est sa capacité à être divisible par tel ou tel nombre.

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Propriété

Un nombre entier :

  • n'est jamais divisible par $0$ ;
  • est toujours divisible par $1$ et par lui-même ;
  • est divisible par $2$ si son chiffre des unités est pair ;
  • est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$ ;
  • est divisible par $10$ si son chiffre des unités est $0$ ;
  • est divisible par $3$ si la somme des chiffres qui le composent est divisible par $3$ ;
  • est divisible par $9$ si la somme des chiffres qui le composent est divisible par $9$ ;
  • est divisible par $4$ si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par $4$ ;
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Exemple

Ainsi, $7812$ :

  • est divisible par $1$ et par $7812$,
  • est divisible par $2$ car il est pair,
  • est divisible par $3$ car la somme des chiffres qui le composent $(7+8+1+2=18)$ est divisible par $3$ $(18\div 3=6)$,
  • est divisible par $4$ car ses deux derniers chiffres forment le nombre $12$ qui est divisible par $4$.
  • est divisible par $9$ car la somme des chiffres qui le composent $(7+8+1+2=18)$ est divisible par $9$ $(18\div 9 = 2)$.

En revanche, $7812$ :

  • n'est pas divisible par $5$ car il ne se termine pas par $0$ ou $5$,
  • n'est pas divisible par $10$ car il ne se termine pas par $0$.

Grâce aux critères de divisibilité, nous avons trouvé rapidement que $7812$ est au moins divisible par $1$, $2$, $3$, $4$, $9$ et $7812$.
Pour déterminer d'autres diviseurs de $7812$, on peut effectuer les divisions de $7812$ par $2$, $3$, $4$ et $9$ et on obtient ainsi de nouveaux diviseurs : $3906$, $2604$, $1953$ et $868$.

  • Nous avons ainsi rapidement trouvé dix diviseurs de $7812$.
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Astuce

Il existe d'autres critères de divisibilité mais ceux donnés ici sont les plus courants et les plus simples à mettre en œuvre.

Conclusion :

Connaitre les critères de divisibilité, c'est savoir déterminer rapidement des diviseurs d'un nombre, chose qui nous est déjà bien utile pour décomposer numérateur et dénominateur d'une fraction en produits de facteurs pour simplifier une fraction ou des calculs entre fractions.

Il est donc tout à fait indispensable de connaître au moins les critères de divisibilité que nous avons présentés ici.