Les nombres relatifs
Prérequis :
- cours sur les nombres entiers et décimaux [repérage d’un nombre décimal sur une demi-droite graduée].
Introduction :
Au fil des siècles sont apparus les nombres relatifs pour les besoins des hommes dans de nombreux domaines. Prenons deux exemples simples.
- Un avion vole souvent à une altitude d’environ $10\,000\text{ m}$. La plongée, elle, permet d’observer les milieux sous-marins à une profondeur de $-30\text{ m}$, $-100\text{ m}$…
- À partir de la Révolution de 1789, le degré Celsius fut adopté pour mesurer les températures.
En été, elle peut monter $30\,\degree \text{C}$ « au-dessus de zéro », soit $+30\,\degree \text{C}$. Mais, en hiver, la température peut descendre $12\,\degree \text{C}$ « au-dessous de zéro », soit $-12\,\degree \text{C}$.
Pour chacune de ces grandeurs, un zéro a ainsi été fixé : pour l’altitude (et la profondeur), au niveau de la mer ; pour la température, à celle de solidification de l’eau (en dessous, l’eau est solide et, au-dessus, elle est liquide).
Dans ce cours, nous allons donc découvrir les nombres relatifs, qui regroupent les nombres supérieurs et inférieurs à $0$.
Nous verrons également comment utiliser la droite graduée pour comprendre la notion d’opposé, comparer deux nombres relatifs et ranger plusieurs nombres relatifs.
Définition d’un nombre relatif
Définition
Nombres positifs ou strictement positifs :
Les nombres supérieurs ou égaux à $0$ sont appelés nombres positifs. Les nombres strictement supérieurs à $0$ sont appelés nombres strictement positifs.
- Nous pouvons les noter avec le signe $+$, mais, en général, nous ne l’écrivons pas.
Exemple
$+3$ ; $+4,25$ ; $+\frac 12$ sont des nombres positifs.
- Nous pouvons les noter plus simplement : $3$ ; $4,25$ ; $\frac 12$.
Définition
Nombres négatifs ou strictement négatifs :
Les nombres inférieurs ou égaux à $0$ sont appelés nombres négatifs. Les nombres strictement inférieurs à $0$ sont appelés nombres strictement négatifs.
- Nous les notons avec le signe $-$.
Exemple
$-1$ ; $-7,75$ ; $-\frac 94$ sont des nombres négatifs.
À retenir
Les deux définitions précédentes montrent que $0$ fait partie à la fois des nombres positifs et des nombres négatifs.
- C’est le seul nombre à être positif et négatif.
Nous pouvons maintenant définir les nombres relatifs.
Définition
Nombres relatifs :
Ils regroupent l’ensemble des nombres positifs et des nombres négatifs.
- Ils sont donc formés d’un signe $+$ ou $-$ placé avant la valeur numérique.
Repérage sur une droite graduée
Pour savoir repérer un nombre relatif sur une droite graduée n’hésite pas à consulter le cours de 5èmesur le cours « repérage sur une droite et dans le plan ».
Opposé d’un nombre relatif
À l’avenir, vous utiliserez très souvent la notion de nombres opposés.
Définition
Nombre opposé :
Un nombre et son opposé ont la même valeur absolue, mais sont de signes contraires :
- si le nombre est positif, son opposé est négatif ;
- si le nombre est négatif, son opposé est positif.
- On dit que les deux nombres sont opposés.
L’opposé de $0$ est lui-même.
Définition
Valeur absolue :
La valeur absolue d’un nombre relatif correspond à sa distance à zéro sur une droite graduée. Elle est toujours positive ou nulle.
Exemple
Droite graduée
$-3,4$ et $3,4$ ont la même valeur absolue ($OA=OB=3,4$), et ils sont de signes contraires.
- Ce sont des nombres opposés.
- $3,4$ est l’opposé de $-3,4$.
- $-3,4$ est l’opposé de $3,4$.
$-2$ et $2$ ont la même valeur absolue ($OC=OD=2$), et ils sont de signes contraires.
- Ce sont des nombres opposés.
- $-2$ est l’opposé de $2$.
- $2$ est l’opposé de $-2$.
Astuce
Pour obtenir l’opposé d’un nombre donné, il suffit de changer son signe.
Comparer et ranger des nombres relatifs
Comparer deux nombres relatifs
Commençons par une propriété simple.
Propriété
Un nombre strictement négatif est toujours plus petit qu’un nombre positif ou nul.
Comparons maintenant deux nombres qui sont de même signe.
Propriété
- De deux nombres positifs, le plus petit est celui qui a la plus petite valeur absolue.
- De deux nombres négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande valeur absolue.
Attention
Il faut insister sur ce point : quand nous comparons deux nombres négatifs, nous regardons leurs valeurs absolues, et c’est bien celui qui a la plus grande valeur absolue (soit la valeur numérique sans le signe moins) qui est le plus petit des deux nombres.
Une droite graduée est utile pour comparer, ou ranger, deux ou plusieurs nombres.
Si nous y plaçons les points associés à ces nombres, le plus grand sera toujours celui associé au point le plus à droite (si on a orienté la droite vers la droite).
Exemple
Nous souhaitons comparer les nombres relatifs $-2,09$ et $-2,9$.
- Ce sont deux nombres négatifs, nous comparons leurs valeurs absolues : $2,9>2,09$ (car le chiffre des dixièmes de $2,\red 9$ est plus grand que celui de $2,\red 09$).
- Le plus petit nombre est donc $-2,9$ :
$-2,9<-2,09$. - Plaçons les points $A\,(-2,09)$ et $B\,(-2,9)$ sur une droite graduée :
Comparaison de deux nombres sur une droite graduée
- Le point $A$ est plus à droite que $B$, son abscisse ($-2,09$) est donc plus grande que celle de $B$ ($-2,9$) :
$-2,09 > -2,9$, ce qui revient à : $-2,9 < -2,09$.
Ranger des nombres relatifs
Définition
L’ordre croissant :
Ranger une liste de nombres dans l’ordre croissant, c’est les ranger du plus petit au plus grand.
L’ordre décroissant :
Ranger une liste de nombres dans l’ordre décroissant, c’est les ranger du plus grand au plus petit.
Exemple
Ranger dans l’ordre croissant la liste de nombres relatifs suivants : $$7 ; -4 ; 7,5 ; - 3,5 ; - 5,3 ; 5,7$$
Commençons par ranger par ordre croissant les nombres positifs $(7 ; 7,5 ; 5,7)$, c’est-à-dire par ordre croissant de leurs valeurs absolues : $$5,7 < 7 < 7,5$$
Ensuite, rangeons par ordre croissant les nombres négatifs $(-4 ; -3,5 ; -5,3)$, c’est-à-dire par ordre décroissant de leurs valeurs absolues : $$3,5 < 4 < 5,3 \,\,\, \text{donc} \,\,\, -5,3 < -4 < -3,5$$
Finalement, nous obtenons le rangement par ordre croissant suivant : $$-5,3 < -4 < -3,5 < 5,7 < 7 < 7,5$$
Sur une droite graduée, on obtient :
IMG à venir
Exemple
Ranger dans l’ordre décroissant la liste de nombres relatifs suivants : $$6,2 ; -6,14 ; -2,8 ; 6,03 ; -2,9 ; -2,81$$
Pour ranger ces nombres relatifs dans l’ordre décroissant, nous pouvons les ranger dans l’ordre croissant, puis inverser l’ordre de ce rangement.
Commençons par ranger par ordre croissant les nombres positifs $(6,2 \,\,\, \text{et} \,\,\, 6,03)$, c’est-à-dire par ordre croissant de leurs valeurs absolues :
$$6,03 < 6,2$$ car $ 6,2 = 6,20$
et $3 < 20$ (car $0$ dixième est inférieur à $2$ dixièmes.).
Ensuite, rangeons par ordre croissant les nombres négatifs $(-6,14 ; -2,8 ; -2,9 ; -2,81)$, c’est-à-dire par ordre décroissant de leurs valeurs absolues :
$$2,8 < 2,81 < 2,9 < 6,14$$ car $2,8 = 2,80$
et $2,9 = 2,90$,
et $80 < 81 < 90$.
On a donc : $$-6,14 < -2,9 < -2,81 < -2,8$$
Nous obtenons le rangement par ordre croissant suivant : $$-6,14 < -2,9 < -2,81 < -2,8 < 6,03 < 6,2$$
Et finalement, le rangement par ordre décroissant suivant : $$6,2 > 6,03 > -2,8 > -2,81 > -2,9 > -6,14$$
Conclusion :
Nous avons découvert les nombres relatifs et défini les notions de nombre positif, de nombre négatif, de valeur absolue et d’opposé. Nous avons également appris à comparer deux nombres relatifs et à ranger plusieurs nombres relatifs dans l’ordre croissant ou décroissant, notamment en nous appuyant sur une droite graduée.
