Démonstration de la dérivabilité de la fonction logarithme népérien

Nous nous sommes intéressés aux propriétés de la fonction logarithme népérien, en montrant par exemple la relation $ln(ab) = ln(a) + ln(b)$, pour tout $a$ et $b$, réels strictement positifs. Dans cette démonstration, nous allons nous intéresser à la dérivée de la fonction logarithme.

Théorème :
La fonction logarithme népérien est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et : $(ln\ x)'=\dfrac1x$

Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces deux propriétés pré-requises :

• La fonction exponentielle est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(\text{exp}\ x)'= \text{exp}\ x$
• La fonction logarithme népérien est continue sur $]0 ;+\infty[$

On sait que la fonction $ln$ est continue sur $]0 ;+\infty[$.

On commence par chercher le domaine de définition de la dérivée de la fonction logarithme.
On revient à la définition de la dérivée, c'est à dire on cherche tout réel $a \in ]0 ;+\infty[$ pour lesquels la limite suivante est finie :

$\large \lim\limits_{\stackrel{x \to a}{\frac{\text{ln}\ x-\text{ln}\ (a)}{x-a}}}$

Pour déterminer cette limite, on fait un changement de variable.

On pose $X=\text{ln}\ x$ et $A=\text{ln}\ a$. On a alors $x=e^X$ et $a=e^A$, car la fonction exponentielle est la fonction inverse de la fonction $ln$.

Aussi, si $x$ tend vers $a$ alors $\text{ln}\ x$ tend vers $\text{ln}\ a$, car la fonction $ln$ est continue sur $]0 ;+\infty[$.

La limite devient alors :
$\large \lim\limits_{\stackrel{X \to \text{ln}\ a}{\frac{\text{ln}\ e^X- \text{ln}\ e^a}{e^x-e^a}}}=\lim\limits_{\stackrel{X \to \text{ln}\ a}{\frac{X-A}{e^{X}-e^{A}}}}$

Or la fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée en $ln a$ est elle-même, on peut en déduire que :

$$\large \lim\limits_{\stackrel{X \to \text{ln}\ a}{\frac{e^X-e^A}{X-A}}}=(e^A)'=e^A$$

On revient à la définition de la dérivée, cette fois pour la fonction logarithme :

$$\large \lim\limits_{\stackrel{X \to \text{ln}\ a}{\frac{X-A}{e^X-e^A}}}=\dfrac{1}{e^A}=\dfrac 1a$$

Cette limite est donc strictement positive pour $a \in ]0 ;+\infty[$.

On en déduit que la limite existe pour tout $a \in ]0 ;+\infty[$ et :

$$\large \lim\limits_{\stackrel{X \to \text{ln}\ a}{\frac{X-A}{e^X-e^A}}}=\dfrac 1a$$

La fonction $\text{ln}$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et $(ln\ x)'=\dfrac1x$.