Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Marianne

Conforme au programme
officiel 2018 - 2019

Dérivation

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Introduction :

Dans ce cours, il sera question des nombres dérivés et des fonctions dérivées.

Nous aborderons dans un premier temps la notion de taux d’accroissement qui amène au nombre dérivé et à la tangente à une courbe. Nous verrons ensuite les fonctions dérivées sur les fonctions usuelles. Enfin nous verrons les formules de dérivation pour les fonctions plus complexes.

Nombre dérivé et tangente à une courbe

Nombre dérivé

bannière definition

Définition

Taux d'accroissement :

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et aa un réel de cet intervalle ;

Soit hh un nombre réel tel que a+ha+h appartienne à II ;

On appelle taux d’accroissement de ff en aa le nombre : f(a+h)f(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.

bannière demonstration

Démonstration

Interprétation géométrique du taux d’accroissement :

  • on considère les points AA et MM d’abscisses respectives aa et a+ha+h de la courbe représentative de ff.
  • Le coefficient directeur de la droite (AM)(AM) est : yMyAxMxA\dfrac{yM-yA}{xM-xA}.
  • En l’appliquant au cas schématisé, on obtient : f(a+h)f(a)(a+h)a=f(a+h)f(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
  • Autrement dit, le taux d’accroissement de ff en aa représente le coefficient directeur de la droite (AM)(AM).
bannière definition

Définition

Nombre dérivé :

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et aa un réel de cet intervalle.

Soit hh un nombre réel tel que a+ha+h appartienne à II.

On dit que ff est dérivable en aa si le taux d’accroissement de ff en aa admet pour limite un nombre réel lorsque hh tend vers zéro.

Ce nombre, noté f(a)f'(a) est appelé nombre dérivé de ff en aa.

Lorsque ff est dérivable en aa on a ainsi : f(a)=limh0f(a+h)f(a)hf'(a)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.

bannière exemple

Exemple

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3x22x+1f(x)=3x^2-2x+1. On cherche, par exemple, le nombre dérivé de ff en a=1a=1 :

  • Calcul du taux d’accroissement :

f(1+h)=3×(1+h)22(1+h)+1=3×(1+2h+h2)22h+1=3+6h+3h222h+1\begin{aligned} f(1+h)&=3\times(1+h)^2-2(1+h)+1 \ &=3\times(1+2h+h^2)-2-2h+1 \ &=3+6h+3h^2-2-2h+1\end{aligned}

f(1+h)=3h2+4h+2f(1+h)=3h^2+4h+2

f(1)=3×122×1+1=32+1f(1)=2\begin{aligned} f(1)&=3\times1^2-2\times1+1\ &=3-2+1\ f(1)&=2 \end{aligned}

f(1+h)f(1)h=3h2+4h+22h=3h2+4hh=3h2h+4hh=3h+4\begin{aligned} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}&=\dfrac{3h^2+4h+2-2}{h} \ &=\dfrac{3h^2+4h}{h} \ &=\dfrac{3h^2}{h}+\dfrac{4h}{h} \ &=3h+4\end{aligned}

  • Calcul de la limite de ce taux d’accroissement quand hh tend vers 00 :

limh0(3h+4)=4\lim\limits_{h\rightarrow0}(3h+4)=4

En effet, si hh tend vers 00, alors 3h3h tend vers 00, et donc 3h+43h+4 tend vers 44.

  • On en déduit que ff est dérivable en 11 et que le nombre dérivé de ff en 11 est f(1)=4f'(1)=4.

Tangente à une courbe

Ces shémas permettent de faire le lien entre nombre dérivé et tangente à une courbe

bannière à retenir

À retenir

Le coefficient directeur de la droite (AM)(AM) représente le taux d’accroissement de ff en aa.

La tangente à la courbe C\mathscr{C} en AA est la position limite de la droite (AM)(AM) quand le point MM (d’abscisse a+ha+h) se rapproche du point AA (d’abscisse aa) tout en restant sur la courbe, c’est-à-dire quand hh tend vers zéro.

Or, la limite du taux d’accroissement quand hh tend vers zéro est le nombre dérivé f(a)f'(a).

  • On en déduit la définition suivante :
bannière definition

Définition

Tangente à une courbe :

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et aa un réel de cet intervalle.

Soit C\mathscr{C} la courbe représentative de ff dans un repère (O ;I ;J)(O\ ;I\ ;J) du plan.

Si ff est dérivable en aa, la tangente à C\mathscr{C} au point A(a ;f(a))A\big(a\ ;f(a)\big) est la droite passant par AA et de coefficient directeur f(a)f'(a).

bannière propriete

Propriété

Au point d’abscisse aa la tangente à la courbe représentative de ff a pour équation : y=f(a)(xa)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a)

Nous avons déjà vu dans la première partie comment déterminer par le calcul un nombre dérivé.

  • Il s’agissait de la fonction f(x)=3x22x+1f(x)=3x^2-2x+1 et nous avions trouvé f(1)=4f'(1)=4.

Pour écrire l’équation de la tangente au point d’abscisse a=1a=1, il ne nous reste plus qu’à remplacer dans la formule précédente : y=f(1)(x1)+f(1)y=f'(1)(x-1)+f(1)

  • on avait f(1)=4f'(1)=4 et f(1)=2f(1)=2 ;
  • donc : y=4(x1)+2=4x4+2=4x2y=4(x-1)+2=4x-4+2=4x-2 ;
  • l’équation de la tangente en 11 est y=4x2y=4x-2.
bannière attention

Attention

Parfois, l’expression de la fonction n’est pas donnée mais en général, l’énoncé donne sa représentation graphique. Il faut alors lire graphiquement le nombre dérivé pour trouver l’équation de la tangente.

bannière exemple

Exemple

Ce graphique représente la courbe d’une fonction ff et ses tangentes en A,BA,B et CC.

Nous allons chercher l’équation de la tangente en A(2 ;3)A(-2\ ;3) et pour cela nous devons tout d’abord lire f(2)f'(-2).

f(2)f'(-2) est le coefficient directeur de la tangente à C\mathscr{C} au point de la courbe d’abscisse 2-2 c’est-à-dire en AA.

Graphiquement, à partir de AA pour atteindre un autre point de la tangente, on « monte » de 2 unités quand on « avance » de 1 unité.

On a donc f(2)=21=2f'(-2)=\dfrac{2}{1}=2.

bannière astuce

Astuce

Si tu n’es pas à l’aise avec la lecture graphique d’un coefficient directeur, n’hésite pas à regarder notre vidéo de 2de sur les équations de droites.

Il reste à écrire l’équation de la tangente en AA avec f(2)=2f'(-2)=2 et f(2)=3f(-2)=3 :

y=f(2)(x(2))+f(2)=2(x+2)+3=2x+4+3y=2x+7\begin{aligned} y&=f'(-2)\big(x-(-2)\big)+f(-2)\ &=2(x+2)+3\ &=2x+4+3\ y&=2x+7 \end{aligned}

bannière à retenir

À retenir

Les tangentes horizontales ont pour coefficient directeur zéro.

  • La tangente au point CC d’abscisse 3 est horizontale donc f(3)=0f'(3)=0.

Fonction dérivée

Définition

bannière definition

Définition

Fonction dérivée :

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II. On dit que ff est dérivable sur II si elle est dérivable en tout réel xx de II.

La fonction qui, à tout réel xx de II associe le nombre dérivé f(x)f'(x) est appelée fonction dérivée de ff. Cette fonction est notée ff' et est définie sur II.

Dérivées des fonctions usuelles

bannière attention

Attention

En règle générale les fonctions ont le même domaine de dérivabilité que leur domaine de définition, exceptée la fonction racine carrée qui est définie sur [0  +][0\;+\infty] (zéro inclus) mais qui n’est dérivable que sur ]0  +]]0\;+\infty] (zéro exclu).

Dérivées et opérations

Dérivée d’une somme et d’un produit par un réel

bannière propriete

Propriété

Soient uu et vv deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle II.

La fonction somme u+vu+v définie sur II par f(x)=u(x)+v(x)f(x)=u(x)+v(x) est dérivable sur II et, pour tout réel xx de II on a : (u+v)(x)=u(x)+v(x)(u+v)'(x)=u'(x)+v'(x)

bannière à retenir

À retenir

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées :

(u+v)=u+v(u+v)'=u'+v'

bannière exemple

Exemple

La dérivée de la fonction f(x)=x2+3x8f(x)=x^2+3x-8 est la somme des dérivées de x2x^2, de 3x3x et de 8-8.

Ainsi : f(x)=2x+3f'(x)=2x+3.

Dérivée d’un produit d’une fonction par un réel

bannière propriete

Propriété

Soit uu une fonction définie et dérivable sur II et soit kk un réel constant.

La fonction kuku définie sur II par f(x)=k×u(x)f(x)=k\times u(x) est dérivable sur II et, pour tout réel xx de II on a :

(ku)(x)=k×u(x)(ku)'(x)=k\times u'(x)

bannière à retenir

À retenir

La dérivée d’un produit de fonction par un réel est :

(ku)=ku(ku)'=ku'

bannière exemple

Exemple

La dérivée de la fonction f(x)=2x3f(x)=2x^3 est le produit de la constante 22 par la dérivée de la fonction x3x^3 ;

Ainsi f(x)=2×3x2=6x2f'(x)=2\times3x^2=6x^2

Dérivée d’un produit de deux fonctions

bannière propriete

Propriété

Soient uu et vv deux fonctions définies et dérivables sur le même intervalle II.

La fonction produit u×vu\times v définie sur II par f(x)=u(x)×v(x)f(x)=u(x)\times v(x) est dérivable sur II et, pour tout réel xx de II on a :

(u×v)(x)=u(x)×v(x)+u(x)×v(x)(u\times v)'(x)=u'(x)\times v(x)+u(x)\times v'(x)

bannière à retenir

À retenir

La dérivée d’une fonction produit est :

(uv)=uv+uv(uv)'=u'v+uv'

bannière exemple

Exemple

La fonction f(x)=(x1)xf(x)=(x-1)\sqrt x définie sur [0 ;+[\big[0\ ;+\infty\big[ et dérivable sur ]0 ;+[\big]0\ ;+\infty\big[ ; on note u(x)=x1u(x)=x-1 donc u(x)=1u'(x)=1.

Et v(x)=xv(x)=\sqrt x donc v(x)=12xv'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}.

  • On a alors :

f(x)=1×x+(x1)×12xf(x)=x+x12x\begin{aligned} f'(x)&=1\times\sqrt x+(x-1)\times\dfrac{1}{2\sqrt x}\ f'(x)&=\sqrt x+\dfrac{x-1}{2\sqrt x} \end {aligned}

  • Le calcul de la dérivée est terminé mais nous pouvons simplifier cette expression en mettant au même dénominateur :

f(x)=x×2x2xf(x)=2x2x+x12xf(x) =3x12x\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{\sqrt x\times 2\sqrt x}{2\sqrt x}\ f'(x)&=\dfrac{2x}{2\sqrt x}+\dfrac{x-1}{2\sqrt x}\ f'(x)\ &=\dfrac{3x-1}{2\sqrt x} \end{aligned}

  • Nous obtenons donc une expression simplifiée de notre dérivée mais nous pouvons encore l’améliorer en l’écrivant sans la racine au dénominateur :

f(x)=3x12x×xxf(x)=(3x1)x2x\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{3x-1}{2\sqrt x}\times \dfrac{\sqrt x}{\sqrt x}\ f'(x)&=\dfrac{(3x-1)\sqrt x}{2x} \end{aligned}

Dérivée de l’inverse d’une fonction

Soit vv une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur un intervalle II.

La fonction 1x\dfrac{1}{x} définie sur II par f(x)=1v(x)f(x)=\dfrac{1}{v(x)} est dérivable sur II et, pour tout réel xx de II on a :

(1v)(x)=v(x)(v(x))2\big(\dfrac{1}{v}\big)'(x)=-\dfrac{v'(x)}{\big(v(x)\big)^2}

bannière à retenir

À retenir

La dérivée de l’inverse d’une fonction est :

(1v)=vv2\big(\dfrac{1}{v}\big)'=-\dfrac{v'}{v^2}

bannière exemple

Exemple

La fonction f(x)=12x28f(x)=\dfrac{1}{2x^2-8} et I=]2;2[I=\big]-2 ; 2\big[ ; on note v(x)=2x28v(x)=2x^2-8 donc v(x)=4xv'(x)=4x.

On a alors f(x)=4x(2x28)2f'(x)=-\dfrac{4x}{(2x^2-8)^2}

Dérivée d’un quotient de deux fonctions

bannière propriete

Propriété

Soit uu et vv deux fonctions définies et dérivables sur le même intervalle II. On suppose que vv ne s’annule pas sur II.

La fonction quotient uv\dfrac{u}{v} définie sur II par f(x)=u(x)v(x)f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} est dérivable sur II et, pour tout réel xx de II on a :

(uv)(x)=u(x)×v(x)  u(x)×v(x)(v(x))2\big(\dfrac{u}{v}\big)'(x)=\dfrac{u'(x)\times v(x)\ -\ u(x)\times v'(x)}{\big(v(x)\big)^2}

bannière à retenir

À retenir

La dérivée d’un quotient de deux fonctions est :

(uv)=uv  uvv2\big(\dfrac{u}{v}\big)'=\dfrac{u'v\ -\ uv'}{v^2}

bannière exemple

Exemple

Soit la fonction f(x)=10x3x+12f(x)=\dfrac{10x-3}{x+12} et I=]12  +[I=\big]-12\;+\infty\big[

On note u(x)=10x3u(x)=10x-3 donc u(x)=10u'(x)=10.

Et v(x)=x+12v(x)=x+12 donc v(x)=1v'(x)=1.

  • On a alors :

f(x)=10×(x+12)(10x3)×1(x+12)2f(x)=10x+12010x+3(x+12)2f(x)=123(x+12)2\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{10\times (x+12)-(10x-3)\times 1}{(x+12)^2}\ f'(x)&=\dfrac{10x+120-10x+3}{(x+12)^2}\ f'(x)&=\dfrac{123}{(x+12)^2} \end{aligned}