Équations de droites : cours Ex Seconde

Introduction :

Une équation de droite permet de mettre en relation les coordonnées $x$ et $y$ de tous les points appartenant à cette droite.
Par exemple : $y=2x-3$
On a exprimé ici l'ordonnée $y$ des points de la droite en fonction des abscisses $x$ de ces points.

Dans ce cours, nous allons nous pencher sur les équations de droites et plus précisément sur la façon de les déterminer, de trouver une représentation graphique à partir d'une équation et de résoudre un système d'équations.

Déterminer l'équation d'une droite

Il y a 3 types de droites :

les droites parallèles à l'axe des ordonnées : les droites verticales,
les droites parallèles à l'axe des abscisses : les droites horizontales,
les droites non parallèles aux axes du repère : les droites obliques.

Droites verticales

Définition

Équation réduite d'une droite verticale :

L'équation réduite d'une droite verticale s'écrit $x=k$ où $k$ est un nombre réel constant.

Exemple

Soit $x=-2$

Cette équation de droite signifie que tous les points qui ont pour abscisse $-2$ décrivent cette droite quelle que soit la valeur de leur ordonnée.

Les points $A(-2\ ; 0)$ ; $B(-2\ ; 26)$ ; $C(-2\ ; 36)$ et $D(-2\ ; \dfrac{\sqrt{5}}{6})$ appartiennent tous à la droite d'équation $x=-2$ .

À retenir

Pour trouver l'équation réduite d'une droite verticale, il suffit de connaître un point qui appartient à cette droite et de prendre son abscisse.

Exemple

Le point $(-3\ ;-8)$ appartient à la droite verticale $d$ .

Donc $d:x=-3$

Droites horizontales

Définition

Équation réduite d'une droite horizontale :

L'équation réduite d'une droite horizontale s'écrit $y=k$ où $k$ est un nombre réel constant.

Exemple

Soit $y=7$

Cette équation de droite signifie que tous les points qui ont pour ordonnée $7$ décrivent cette droite quelle que soit la valeur de leur abscisse.

Les points $A(86\ ;7)$ ; $B(-\dfrac{2}{3}\ ;7)$ ; $C(-2\ ;7)$ et $D(0\ ;7)$ appartiennent tous à la droite d'équation $y=7$ .

À retenir

Pour trouver l'équation réduite d'une droite horizontale, il suffit de connaître un point qui appartient à cette droite et de prendre son ordonnée.

Exemple

Le point $(-3\ ;-8)$ appartient à la droite horizontale $d$ .

Donc $d:y=-8$

Droites obliques

Définition

Équation réduite d'une droite oblique :

L'équation réduite d'une droite oblique s'écrit $y=ax+b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels constants.

$a$ est le coefficient directeur. C'est le nombre qui multiplie l'abscisse $x$ des points de la droite.

$b$ est l'ordonnée à l'origine. C'est le nombre qui est additionné ou soustrait.

Exemple

Soit $y=5x-3$
$5$ est le coefficient directeur.
$-3$ est l'ordonnée à l'origine.

À retenir

Pour trouver le coefficient directeur d'une droite, on a besoin de connaître deux points $A(x$ et $B(x$ qui appartiennent à la droite dont on cherche l'équation réduite.

Ensuite, il suffit d'appliquer la formule : $a=\dfrac{y$

Pour trouver l'ordonnée à l'origine, on utilise à nouveau l'un des deux points, par exemple le point $A(x$ .

Comme il appartient à la droite cherchée, on peut écrire l'équation : $y$

Astuce

Dans l'équation $y$ , comme on connaît le $a$ calculé juste avant ainsi que $x$ et $y$ A $y_{A}$ qui sont les coordonnées du point $A$ , on peut résoudre l'équation pour trouver le $b$ .

Exemple

Soient $A(2\ ;5)$ et $B(3\ ;4)$ deux points appartenant à la droite $d$ .

Le coefficient directeur de $d$ est $a=\dfrac{4-5}{3-2}=-1$

Le point $A(2\ ;5)\in d$ donc :

$\begin{aligned} y$

Donc la droite $d$ a pour équation réduite $y=-x+7$