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Équations de droites
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Introduction :
Une équation de droite permet de mettre en relation les coordonnées et de tous les points appartenant à cette droite.
Par exemple :
On a exprimé ici l'ordonnée des points de la droite en fonction des abscisses de ces points.
Dans ce cours, nous allons nous pencher sur les équations de droites et plus précisément sur la façon de les déterminer, de trouver une représentation graphique à partir d'une équation et de résoudre un système d'équations.
Déterminer l'équation d'une droite
Il y a 3 types de droites :
Droites verticales
Équation réduite d'une droite verticale :
L'équation réduite d'une droite verticale s'écrit où est un nombre réel constant.
Cette équation de droite signifie que tous les points qui ont pour abscisse décrivent cette droite quelle que soit la valeur de leur ordonnée.
Les points ; ; et appartiennent tous à la droite d'équation .
Pour trouver l'équation réduite d'une droite verticale, il suffit de connaître un point qui appartient à cette droite et de prendre son abscisse.
Le point appartient à la droite verticale .
Droites horizontales
Équation réduite d'une droite horizontale :
L'équation réduite d'une droite horizontale s'écrit où est un nombre réel constant.
Cette équation de droite signifie que tous les points qui ont pour ordonnée décrivent cette droite quelle que soit la valeur de leur abscisse.
Les points ; ; et appartiennent tous à la droite d'équation .
Pour trouver l'équation réduite d'une droite horizontale, il suffit de connaître un point qui appartient à cette droite et de prendre son ordonnée.
Le point appartient à la droite horizontale .
Droites obliques
Équation réduite d'une droite oblique :
L'équation réduite d'une droite oblique s'écrit où et sont deux nombres réels constants.
est le coefficient directeur. C'est le nombre qui multiplie l'abscisse des points de la droite.
est l'ordonnée à l'origine. C'est le nombre qui est additionné ou soustrait.
Ensuite, il suffit d'appliquer la formule :
Pour trouver l'ordonnée à l'origine, on utilise à nouveau l'un des deux points, par exemple le point .
Comme il appartient à la droite cherchée, on peut écrire l'équation :
Dans l'équation , comme on connaît le calculé juste avant ainsi que et qui sont les coordonnées du point , on peut résoudre l'équation pour trouver le .
Le coefficient directeur de est
Le point donc :
Donc la droite a pour équation réduite
Représentation graphique d'une droite
Droites verticales
On sait que est une droite verticale car son équation est de la forme avec réel.
On place donc le point de coordonnées et on trace une droite parallèle à l'axe des ordonnées qui passe par ce point.
La droite d'équation x = -2
Droites horizontales
On sait que est une droite horizontale car son équation est de la forme avec réel.
On place donc le point de coordonnées et on trace une droite parallèle à l'axe des abscisses qui passe par ce point.
La droite d'équation y = 5
Droites obliques
Il faut trouver deux points qui appartiennent à cette droite, puis tracer la droite qui passe par ces deux points. Pour cela, on donne à deux valeurs particulières et on calcule les valeurs de correspondantes.
Donc la droite passe par les points et .
La droite d'équation y = 3x + 1
Résolution de système d'équations
Résolution d'un système :
Les nombres , , , , et sont des réels avec , , et .
Soit le système
Résoudre le système revient à déterminer le couple de réels vérifiant simultanément les deux équations.
On remarque que ces 2 équations sont en fait des équations de droites.
revient à écrire ce qui est l'équation réduite d'une droite oblique avec le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine.
Résolution graphique d'un système :
Soit le système
Résoudre graphiquement un système revient à déterminer le point d'intersection des droites d'équation et
Pour qu'un système de deux équations ait une solution, il faut que les droites ne soient pas parallèles.
Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.
Pour résoudre un système d'équations, on peut utiliser la méthode par substitution ou la méthode par combinaison.
Méthode par substitution
Cette méthode est utilisée lorsqu'une des inconnues a pour coefficient .
Faire le calcul dans les deux équations permet de s'assurer que l'on n'a pas commis d'erreur.
À l'aide de l'une des équations, on exprime une inconnue en fonction de l'autre. On reporte cette expression dans la seconde équation qui ne comporte plus qu'une inconnue, équation que l'on sait résoudre. Il suffit ensuite de calculer la seconde inconnue.
Méthode par combinaison
Cette méthode est utilisée lorsqu'aucune des inconnues n'a pour coefficient .
On multiplie chacune des équations par un réel approprié de telle façon qu'en additionnant les deux nouvelles équations, l'une des inconnues est éliminée. On peut alors déterminer l'autre inconnue et résoudre le système.