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Marianne

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Division décimale

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Introduction :

L’objectif de ce cours est de revoir la division décimale qui a déjà été abordée à l’école primaire et de découvrir quelques propriétés de la division.

Dans un premier temps, nous allons revoir la méthode qui permet d’effectuer une division décimale en montrant quelques exemples. Dans un deuxième temps, nous verrons les propriétés des divisions particulières que sont celles par 1010, 100100 ou 1 0001\ 000. Enfin, dans un troisième temps, nous verrons des exemples d’exercices dont la résolution nécessite une division décimale.

La division décimale

Méthode

  • La division d’un nombre décimal par un nombre entier commence comme la division euclidienne : on doit diviser la partie entière du nombre décimal par le nombre entier.
  • Une fois qu’on a trouvé le dernier reste de cette division euclidienne et qu’on est au niveau de la virgule du nombre décimal, on ajoute une virgule au quotient et on abaisse le chiffre après la virgule du dividende.
  • On calcule ensuite chaque chiffre après la virgule du quotient en abaissant à chaque fois le nombre suivant du dividende au reste trouvé, ou un 00 s’il n’y en a pas.
bannière exemple

Exemple

Effectuons la division décimale du nombre décimal 21,6\blue {21,6} par 5\green 5.

  • On effectue d’abord la division euclidienne de 21\blue {21} par 5\green 5.
  • On obtient le quotient 4\purple 4 et le reste est 1\orange 1.
  • On note maintenant la virgule après le quotient 4\purple 4 et on abaisse le chiffre 6\blue 6 après le reste 1\orange 1.
  • Dans 1616, il y a 3\purple 3 fois 5\green 5 et il reste 1\orange 1.
  • On abaisse maintenant le chiffre 0\blue 0 après le reste 1\orange 1.
  • Dans 1010, il y a 2\purple 2 fois 5\green 5 et il reste 0\orange 0.

division décimale mathématiques sixième

bannière à retenir

À retenir

La division décimale d’un nombre a\blue a (dividende) par un nombre b\green b non nul (diviseur) permet de calculer le nombre qui, multiplié par b\green b, donne a\blue a : c’est le quotient de a\blue a par b\green b.

a÷b=?\blue {a} \div \green {b} = \purple {?} signifie la même chose que b×?=a\green{b} \times \purple{?}= \blue{a}

On peut obtenir une valeur exacte de ce quotient ou une valeur approchée.

  • Dans l’exemple précédent, 21,60÷5=4,32\blue{21,60} \div \green{5} = \purple{4,32} signifie la même chose que 5×4,32=21,60\green {5} \times \purple{4,32} = \blue{21,60}.
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Exemple

Effectuons la division décimale du nombre décimal 34,91\blue{34,91} par 7\green{7}.

  • On effectue d’abord la division euclidienne de 34\blue {34} par 7\green 7.
  • On obtient le quotient 4\purple 4 et le reste est 6\orange 6.
  • On note maintenant la virgule après le quotient 4\purple 4 et on abaisse le chiffre 9\blue 9 après le reste 6\orange 6.
  • Dans 6969, il y a 9\purple 9 fois 7\green 7 (9×7=639 \times 7 = 63) et il reste 6\orange 6.
  • On abaisse ensuite le chiffre 1\blue 1 après le reste 6\orange 6.
  • Dans 6161, il y a 8\purple 8 fois 7\green 7 (8×7=568\times 7 = 56) et il reste 5\orange 5.
  • On abaisse maintenant un 0\blue 0 après le reste 5\orange 5.
  • Dans 5050, il y a 7\purple 7 fois 7\green 7 (7×7=497\times 7 = 49) et il reste 1\orange 1.
  • On abaisse un autre 0\blue 0 après le reste 1\orange 1.
  • Dans 1010, il y a 1\purple 1 fois 7\green 7 et il reste 3\orange 3.

division décimale mathématiques sixième

On s’aperçoit que la division ne s’arrête pas.

  • On ne peut donc obtenir ici qu’une valeur approchée du résultat.
  • La valeur approchée au millième près par défaut est 4,9874,98\green{7} et celle par excès est 4,9884,98\green{8}.
  • La valeur approchée au centième près par défaut est 4,984,9\green{8} et celle par excès est 4,994,9\green{9}.
  • La valeur approchée au dixième près par défaut est 4,94,\green{9} et celle par excès est 5,05,\green{0} (=5= 5).

Résoudre une division décimale à l’aide du calcul mental

Certaines divisions peuvent être calculées mentalement. On a donc intérêt à les calculer de tête plutôt que de poser l’opération.

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Exemple

26÷4=24÷4+2÷4=6+0,5=6,5\blue{26} \div \green{4} = \blue{24} \div \green{4}+ \blue{2} \div \green{4} = 6 + 0,5 = 6,5

  • Diviser 2626 par 44 revient à diviser 2424 par 44 (ce qui donne 66) et 22 par 44 (ce qui donne 0,50,5).

15÷6=12÷6+3÷6=2+0,5=2,5\blue{15} \div \green{6} = \blue{12} \div \green{6} + \blue{3} \div \green{6} = 2 + 0,5 = 2,5

  • Diviser 1515 par 66 revient à diviser 1212 par 66 (ce qui donne 22) et 33 par 66 (ce qui donne 0,50,5).

33÷4=32÷4+1÷4=8+0,25=8,25\blue{33} \div \green{4} = \blue{32} \div \green{4} + \blue{1} \div \green{4} = 8 + 0,25 = 8,25

  • Diviser 3333 par 44 revient à diviser 3232 par 44 (ce qui donne 88) et 11 par 44 (ce qui donne 0,250,25).

24,8÷2=24÷2+0,8÷2=12+0,4=12,4\blue{24,8} \div \green{2} = \blue{24} \div \green{2} + \blue{0,8} \div \green{2} = 12 + 0,4 = 12,4

  • Diviser 24,824,8 revient à diviser 2424 par 22 (ce qui donne 1212) et 0,80,8 par 22 (ce qui donne 0,40,4).
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Astuce

Pour les divisions décimales du type 7,8÷67,8 \div 6, on peut diviser 7878 par 66 (ce qui donne 1212), puis diviser cette valeur par 1010 car 7,87,8 est 1010 fois plus petit que 7878.
On obtient ainsi : 7,8÷6=1,27,8 \div 6 = 1,2

Résoudre une division décimale à la calculatrice

Il faut aussi savoir calculer le résultat d’une division à la calculatrice.

On pourra obtenir :

  • un résultat exact : 21,60÷5=4,3221,60\div 5=4,32
  • ou un résultat approché : 34,91÷7=4,98714285734,91\div 7=4,987142857

Divisions par 1010, 100100 et 1 0001\ 000

Propriété

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Propriété

  • Diviser un nombre décimal par 1010 revient à décaler la virgule de ce nombre d’un rang vers la gauche.
  • Diviser un nombre décimal par 100100 revient à décaler la virgule de ce nombre de deux rangs vers la gauche.
  • Diviser un nombre décimal par 1 0001\ 000 revient à décaler la virgule de ce nombre de trois rangs vers la gauche.
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Attention

Pour appliquer cette règle, on peut avoir besoin de rajouter des zéros au nombre de départ.

Exemples

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Exemple

  • 24,6÷10=2,4624,6 \div \red{10} = 2,46 → Il faut décaler la virgule d’un rang vers la gauche.
  • 192,7÷100=1,927192,7 \div \red{100} = 1,927 → Il faut décaler la virgule de deux rangs vers la gauche.
  • 38,5÷1 000=0,038538,5 \div \red{1\ 000} = 0,0385 → Il faut décaler la virgule de trois rangs vers la gauche en rajoutant des 00.

Exercices utilisant la division décimale

Nous allons voir maintenant quelques exemples dans lesquels une division décimale est nécessaire pour résoudre l’exercice. Ici, nous utiliserons la calculatrice pour effectuer le calcul.

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Exemple

Pour des travaux chez un particulier, un artisan a facturé 975975 € de main d’œuvre.
Sachant qu’il a travaillé 3030 heures pour ces travaux, quel est son tarif horaire ?

Pour 3030 heures de travail, l’artisan a facturé 975975 €.
Son tarif horaire en euros est donc de 975÷30975 \div 30
À la calculatrice, on trouve : 975÷30=32,5975 \div 30=32,5
Le résultat peut aussi être trouvé de tête en remarquant que :
975÷30=900÷30+60÷30+15÷30=30+2+0,5=32,5975 \div 30 = 900 \div 30 + 60 \div 30 + 15 \div 30=30+2+0,5=32,5

  • Le tarif horaire de cet artisan est donc de 32,5032,50 €.

Ce même artisan fait un plein d’essence. Il paye 79,7579,75 € pour 5555 litres de gasoil.
Quel prix paye-t-il au litre de gasoil ?

Pour 5555 litres de gasoil, il paye 79,7579,75 €.
Un litre de gasoil coûte donc, en euros, 79,75÷5579,75 \div 55
À la calculatrice, on trouve : 79,75÷55=1,4579,75 \div 55 = 1,45

  • Le prix du gasoil est donc de 1,451,45 €/L.

Ce même artisan s’arrête acheter des pêches dans une supérette. Il paye 3,253,25 € pour 1,2501,250 kilos de pêches.
Quel est le prix au kilogramme de ces pêches ?

Pour 1,2501,250 kilos de pêches, il paye 3,253,25 €.
Un kilogramme de pêches coûte donc, en euros, 3,25÷1,2503,25 \div 1,250
À la calculatrice, on trouve : 3,25÷1,25=2,603,25\div 1,25=2,60

  • Le prix au kilogramme des pêches est donc de 2,602,60 €.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons vu la méthode pour poser et effectuer une division décimale, puis le cas particulier des divisions décimales par 1010, 100100 ou 1 0001\ 000 où il s’agit de décaler la virgule du dividende de 11, 22 ou 33 rangs vers la gauche pour obtenir le résultat.
Nous avons également vu que certaines divisions décimales pouvaient être calculées de tête, et donc ne nécessitaient pas de poser la division.
Concernant le résultat d’une division décimale, nous avons pu remarquer qu’elle pouvait « tomber juste » ou que nous pouvions donner une valeur approchée du résultat.