Division euclidienne et divisibilité
Introduction :
L’objectif de ce cours est de revoir la notion de division euclidienne qui a déjà été abordée à l’école primaire et ensuite d’introduire la notion de divisibilité entre des nombres entiers.
Dans ce cours, nous travaillerons dans un premier temps sur la division euclidienne qui concerne les nombres entiers. Dans un deuxième temps, nous donnerons les définitions des termes « diviseur », « multiple » et « divisible » et enfin, nous verrons qu’il existe des critères assez simples pour savoir si un nombre entier est divisible par $2$, $3$, $4$, $5$, $9$ ou $10$.
Division euclidienne
Division euclidienne
Définition
Définition
Définition
Division euclidienne :
Pour $a$ et $b$ deux nombres entiers (avec $b$ différent de $0$), effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$ revient à trouver deux nombres entiers $q$ et $r$ qui vérifient l’égalité $a = b \times q + r$ et que $r < b$.
$\blue{a}$ est le dividende.
$\green{b}$ est le diviseur.
$\purple{q}$ est le quotient.
$\orange{r}$ est le reste.
Astuce
Le mot « dividende » vient du latin dividendus qui signifie « qui doit être partagé, divisé ».
Le mot « quotient » vient du latin quotiens qui signifie « combien de fois ».
Exemple
- Effectuons la division euclidienne de $\blue{89}$ par $\green{12}$.
$7 \times \green{12} = 84 < \blue{89} < 8 \times \green{12} = 96$
Il y a donc $\purple 7$ fois $\green {12}$ dans $\blue {89}$ et il reste $\blue {89} - 84 = \orange{5}$
- Dans la division euclidienne de $\blue {89}$ par $\green{12}$, le quotient est $\purple{7}$ et le reste $\orange{5}$ :
$\blue{89} =\green{12} \times \purple{7}+\orange{5}$ et $\orange{5} < \green{12}$
- Effectuons la division euclidienne de $\blue{195}$ par $\green{8}$.
Dans $\blue{19}$, il y a $\purple{2}$ fois $\green{8}$ et il reste $\red{3}$. On abaisse ensuite le $\red{5}$.
Dans $\red{35}$, il y a $\purple{4}$ fois $\green{8}$ et il reste $\orange{3}$.
- Dans la division euclidienne de $\blue{195}$ par $\green{8}$, le quotient est $\purple{24}$ et le reste $\orange{3}$ :
$\blue{195} = \green{8} \times \purple{24} + \orange{3}$ et $\orange{3} < \green{8}$
Attention
Dans l’égalité $\blue{a} =\green{b} \times \purple{q} + \orange{r}$, il faut bien vérifier que $\orange{r} < \green{b}$.
Si ce n’est pas le cas, l’égalité ne sera pas celle d’une division euclidienne et il faudra chercher un quotient $\purple{q}$ (qui est le nombre de fois où $\green{b}$ est présent dans $\blue{a}$) plus grand, pour que le reste soit bien inférieur à $\green{b}$.
Exemples d’application
Exemples d’application
La division euclidienne est utilisée pour effectuer un partage équitable comme nous allons le voir dans les exemples suivants.
Exemple
Une personne souhaite ranger $\blue{89}$ œufs dans des boîtes de $\green{12}$ œufs. Elle se pose deux questions.
- Combien y aura-t-il de boîtes pleines de $12$ œufs ?
- Si toutes les boîtes ne sont pas pleines, combien y aura-t-il d’œufs dans la dernière boîte qui n’est pas pleine ?
Pour répondre à ces questions, nous allons utiliser la division euclidienne.
Comme nous l’avons vu précédemment, la division euclidienne de $\blue{89}$ par $\green{12}$ permet d’obtenir la relation suivante :
$\blue{89} = \green{12} \times \purple{7} + \orange{5}$
- Cette personne obtiendra donc $\purple 7$ boîtes pleines de $\green {12}$ œufs ($84$ œufs) et il restera $\orange 5$ œufs dans une huitième boîte.
Lors d’un anniversaire, $\green 7$ amis veulent se partager équitablement $\blue{115}$ bonbons.
- Combien de bonbons chaque ami aura-t-il ?
- Combien restera-t-il de bonbons après le partage équitable ?
Pour répondre à ces questions, nous allons ici aussi utiliser la division euclidienne.
La division euclidienne nous permet d’obtenir la relation suivante :
$\blue{115} = \green{7} \times \purple{16} + \orange{3}$
- Dans ce partage équitable, chacun des $\green 7$ amis aura donc $\purple{16}$ bonbons et il restera $\orange{3}$ bonbons.
Lors d’une récolte, un agriculteur bio a obtenu $\blue{830}$ bouteilles de 2 L de jus de pomme qu’il souhaite ranger et vendre par carton de $\green 6$ bouteilles.
- De combien de cartons de $6$ bouteilles aura-t-il besoin pour ranger ces $830$ bouteilles ?
Nous devons ici effectuer la division euclidienne de $\blue{830}$ par $\green{6}$. On obtient l’égalité suivante :
$\blue{830} = \green{6} \times \purple{138} + \orange{2}$
- Avec les $\blue{830}$ bouteilles de sa récolte, cet agriculteur bio pourra remplir $\purple{138}$ cartons de $\green{6}$ bouteilles et il lui restera $\orange{2}$ bouteilles.
Il aura donc besoin de $139$ cartons de $6$ bouteilles pour toutes les ranger.
Divisibilité
Divisibilité
Notion de divisibilité
Notion de divisibilité
Définition
Multiple :
Dans la division euclidienne d’un nombre entier $a$ par un nombre entier $b$ non nul, si le reste $r$ est nul, on a : $a = b \times q$
On dit alors que $a$ est un multiple de $b$ et de $q$.
Définition
Diviseur :
Dans la division euclidienne d’un nombre entier $a$ par un nombre entier $b$ non nul, si le reste $r$ est nul, on a : $a = b \times q$
On dit alors que $b$ et $q$ sont des diviseurs de $a$.
Définition
Divisible :
Dans la division euclidienne d’un nombre entier $a$ par un nombre entier $b$ non nul, si le reste $r$ est nul, on a : $a = b \times q$
On dit alors que $a$ est divisible par $b$ et par $q$.
Exemple
$105 = 7 \times 15$ donc :
- $105$ est un multiple de $7$ et de $15$ ;
- $7$ et $15$ sont des diviseurs de $105$ ;
- $105$ est divisible par $7$ et par $15$.
Nous avons effectué la division euclidienne de $153$ par $9$ :
Le reste de cette division euclidienne est nul donc :
- $153$ est un multiple de $9$ et $17$ ;
- $9$ et $17$ sont des diviseurs de $153$ ;
- $153$ est divisible par $9$ et $17$.
Critères de divisibilité
Critères de divisibilité
Propriété
- Un nombre est divisible par $2$ si et seulement si son chiffre des unités est $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$.
- Un nombre est divisible par $5$ si et seulement si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
- Un nombre est divisible par $10$ si et seulement si son chiffre des unités est $0$.
Exemple
$56\red{4}$ est divisible par $2$ car son chiffre des unités est $\red{4}$.
$31\red{5}$ est divisible par $5$ car son chiffre des unités est $\red{5}$ mais il n’est pas divisible par $10$ car son chiffre des unités n’est pas $0$.
Propriété
- Un nombre est divisible par $3$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.
- Un nombre est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.
Exemple
$3 + 1 + 5 = 9$ qui est divisible par $3$ et par $9$, donc $315$ est divisible par $3$ et par $9$.
$2 + 0 + 4 = 6$ est divisible par $3$ mais pas par $9$, donc $204$ est divisible par $3$ mais pas par $9$.
Propriété
- Un nombre est divisible par $4$ si et seulement si le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des unités est divisible par $4$.
Exemple
$5\red{64}$ est divisible par $4$ car $\red{64}$ l’est : $64 = 4 \times 16$.
$3\red{22}$ n’est pas divisible par $4$ car $\red{22}$ ne l’est pas.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons abordé la division euclidienne et nous avons pu remarquer qu’elle est utilisée dans des exercices où il est question de partage équitable.
Nous avons ensuite vu le cas particulier de la division euclidienne dont le reste est nul qui mène à la notion de divisibilité entre les nombres entiers.
Enfin, nous avons vu les critères de divisibilité par $2$, $3$, $4$, $5$, $9$ et $10$ qu’il faut retenir car ils permettent de savoir, en effectuant un calcul « de tête », si un nombre entier est divisible ou non par un de ces nombres.