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Division euclidienne et divisibilité

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Introduction :

L’objectif de ce cours est de revoir la notion de division euclidienne qui a déjà été abordée à l’école primaire et ensuite d’introduire la notion de divisibilité entre des nombres entiers.

Dans ce cours, nous travaillerons dans un premier temps sur la division euclidienne qui concerne les nombres entiers. Dans un deuxième temps, nous donnerons les définitions des termes « diviseur », « multiple » et « divisible » et enfin, nous verrons qu’il existe des critères assez simples pour savoir si un nombre entier est divisible par 22, 33, 44, 55, 99 ou 1010.

Division euclidienne

Définition

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Définition

Division euclidienne :

Pour aa et bb deux nombres entiers (avec bb différent de 00), effectuer la division euclidienne de aa par bb revient à trouver deux nombres entiers qq et rr qui vérifient l’égalité a=b×q+ra = b \times q + r et que r<br < b.

a\blue{a} est le dividende.
b\green{b} est le diviseur.
q\purple{q} est le quotient.
r\orange{r} est le reste.

division euclidienne mathématiques sixième

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Astuce

Le mot « dividende » vient du latin dividendus qui signifie « qui doit être partagé, divisé ».
Le mot « quotient » vient du latin quotiens qui signifie « combien de fois ».

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Exemple

  • Effectuons la division euclidienne de 89\blue{89} par 12\green{12}.

7×12=84<89<8×12=967 \times \green{12} = 84 < \blue{89} < 8 \times \green{12} = 96

Il y a donc 7\purple 7 fois 12\green {12} dans 89\blue {89} et il reste 8984=5\blue {89} - 84 = \orange{5}

division euclidienne mathématiques sixième

  • Dans la division euclidienne de 89\blue {89} par 12\green{12}, le quotient est 7\purple{7} et le reste 5\orange{5} :

89=12×7+5\blue{89} =\green{12} \times \purple{7}+\orange{5} et 5<12\orange{5} < \green{12}

  • Effectuons la division euclidienne de 195\blue{195} par 8\green{8}.

Dans 19\blue{19}, il y a 2\purple{2} fois 8\green{8} et il reste 3\red{3}. On abaisse ensuite le 5\red{5}.

Dans 35\red{35}, il y a 4\purple{4} fois 8\green{8} et il reste 3\orange{3}.

division euclidienne mathématiques sixième

  • Dans la division euclidienne de 195\blue{195} par 8\green{8}, le quotient est 24\purple{24} et le reste 3\orange{3} :

195=8×24+3\blue{195} = \green{8} \times \purple{24} + \orange{3} et 3<8\orange{3} < \green{8}

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Attention

Dans l’égalité a=b×q+r\blue{a} =\green{b} \times \purple{q} + \orange{r}, il faut bien vérifier que r<b\orange{r} < \green{b}.
Si ce n’est pas le cas, l’égalité ne sera pas celle d’une division euclidienne et il faudra chercher un quotient q\purple{q} (qui est le nombre de fois où b\green{b} est présent dans a\blue{a}) plus grand, pour que le reste soit bien inférieur à b\green{b}.

Exemples d’application

La division euclidienne est utilisée pour effectuer un partage équitable comme nous allons le voir dans les exemples suivants.

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Exemple

Une personne souhaite ranger 89\blue{89} œufs dans des boîtes de 12\green{12} œufs. Elle se pose deux questions.

  • Combien y aura-t-il de boîtes pleines de 1212 œufs ?
  • Si toutes les boîtes ne sont pas pleines, combien y aura-t-il d’œufs dans la dernière boîte qui n’est pas pleine ?

Pour répondre à ces questions, nous allons utiliser la division euclidienne.

Comme nous l’avons vu précédemment, la division euclidienne de 89\blue{89} par 12\green{12} permet d’obtenir la relation suivante :

89=12×7+5\blue{89} = \green{12} \times \purple{7} + \orange{5}

division euclidienne mathématiques sixième

  • Cette personne obtiendra donc 7\purple 7 boîtes pleines de 12\green {12} œufs (8484 œufs) et il restera 5\orange 5 œufs dans une huitième boîte.

Lors d’un anniversaire, 7\green 7 amis veulent se partager équitablement 115\blue{115} bonbons.

  • Combien de bonbons chaque ami aura-t-il ?
  • Combien restera-t-il de bonbons après le partage équitable ?

Pour répondre à ces questions, nous allons ici aussi utiliser la division euclidienne.

La division euclidienne nous permet d’obtenir la relation suivante :

115=7×16+3\blue{115} = \green{7} \times \purple{16} + \orange{3}

division euclidienne mathématiques sixième

  • Dans ce partage équitable, chacun des 7\green 7 amis aura donc 16\purple{16} bonbons et il restera 3\orange{3} bonbons.

Lors d’une récolte, un agriculteur bio a obtenu 830\blue{830} bouteilles de 2 L de jus de pomme qu’il souhaite ranger et vendre par carton de 6\green 6 bouteilles.

  • De combien de cartons de 66 bouteilles aura-t-il besoin pour ranger ces 830830 bouteilles ?

Nous devons ici effectuer la division euclidienne de 830\blue{830} par 6\green{6}. On obtient l’égalité suivante :

830=6×138+2\blue{830} = \green{6} \times \purple{138} + \orange{2}

division euclidienne mathématiques sixième

  • Avec les 830\blue{830} bouteilles de sa récolte, cet agriculteur bio pourra remplir 138\purple{138} cartons de 6\green{6} bouteilles et il lui restera 2\orange{2} bouteilles.
    Il aura donc besoin de 139139 cartons de 66 bouteilles pour toutes les ranger.

Divisibilité

Notion de divisibilité

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Définition

Multiple :

Dans la division euclidienne d’un nombre entier aa par un nombre entier bb non nul, si le reste rr est nul, on a : a=b×qa = b \times q

On dit alors que aa est un multiple de bb et de qq.

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Définition

Diviseur :

Dans la division euclidienne d’un nombre entier aa par un nombre entier bb non nul, si le reste rr est nul, on a : a=b×qa = b \times q

On dit alors que bb et qq sont des diviseurs de aa.

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Définition

Divisible :

Dans la division euclidienne d’un nombre entier aa par un nombre entier bb non nul, si le reste rr est nul, on a : a=b×qa = b \times q

On dit alors que aa est divisible par bb et par qq.

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Exemple

105=7×15105 = 7 \times 15 donc :

  • 105105 est un multiple de 77 et de 1515 ;
  • 77 et 1515 sont des diviseurs de 105105 ;
  • 105105 est divisible par 77 et par 1515.

Nous avons effectué la division euclidienne de 153153 par 99 :

division euclidienne mathématiques sixième

Le reste de cette division euclidienne est nul donc :

  • 153153 est un multiple de 99 et 1717 ;
  • 99 et 1717 sont des diviseurs de 153153 ;
  • 153153 est divisible par 99 et 1717.

Critères de divisibilité

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Propriété

  • Un nombre est divisible par 22 si et seulement si son chiffre des unités est 00, 22, 44, 66 ou 88.
  • Un nombre est divisible par 55 si et seulement si son chiffre des unités est 00 ou 55.
  • Un nombre est divisible par 1010 si et seulement si son chiffre des unités est 00.
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Exemple

56456\red{4} est divisible par 22 car son chiffre des unités est 4\red{4}.

31531\red{5} est divisible par 55 car son chiffre des unités est 5\red{5} mais il n’est pas divisible par 1010 car son chiffre des unités n’est pas 00.

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Propriété

  • Un nombre est divisible par 33 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 33.
  • Un nombre est divisible par 99 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 99.
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Exemple

3+1+5=93 + 1 + 5 = 9 qui est divisible par 33 et par 99, donc 315315 est divisible par 33 et par 99.

2+0+4=62 + 0 + 4 = 6 est divisible par 33 mais pas par 99, donc 204204 est divisible par 33 mais pas par 99.

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Propriété

  • Un nombre est divisible par 44 si et seulement si le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des unités est divisible par 44.
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Exemple

5645\red{64} est divisible par 44 car 64\red{64} l’est : 64=4×1664 = 4 \times 16.

3223\red{22} n’est pas divisible par 44 car 22\red{22} ne l’est pas.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons abordé la division euclidienne et nous avons pu remarquer qu’elle est utilisée dans des exercices où il est question de partage équitable.

Nous avons ensuite vu le cas particulier de la division euclidienne dont le reste est nul qui mène à la notion de divisibilité entre les nombres entiers.

Enfin, nous avons vu les critères de divisibilité par 22, 33, 44, 55, 99 et 1010 qu’il faut retenir car ils permettent de savoir, en effectuant un calcul « de tête », si un nombre entier est divisible ou non par un de ces nombres.