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Marianne

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Positions relatives de 2 droites, parralélisme et orthogonilité dans l'espace

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Introduction :

Dans cette leçon, nous allons commencer par faire des rappels sur les droites et les plans puis nous étudierons les propriétés et théorèmes du parallélisme. Enfin, nous aborderons la notion d’orthogonalité.
La partie sur les vecteurs et le repérage dans l’espace sera traitée dans une deuxième leçon et le produit scalaire dans l’espace fera l’objet d’une troisième leçon.

Positions relatives de deux droites

Positions relatives de deux droites

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Définition

Positions relatives de deux droites :

Deux droites de l’espace sont soit coplanaires (elles appartiennent à un même plan) soit non coplanaires.

Et, si elles sont coplanaires, alors elles sont soit parallèles soit sécantes.

Droites colanaires et sécantes-maths-tle

Drites coplanaires et strictement parallèles-maths-tle

Droites coplanaires et confondues-maths-tle

Droites non coplanaires-maths-tle

Positions relatives d’une droite et d’un plan

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Définition

Positions relatives d’une droite et d’un plan :

Une droite et un plan de l’espace sont soit sécants soit parallèles.

Droites et plans sécants-maths-tle

Deux plans de l’espace parallèles-maths-tle

Positions relatives de deux plans

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Définition

Positions relatives de deux plans :

Deux plans de l’espace sont soit sécants soit parallèles.

Plans sécants-maths-tle

Plans strictements parallèles-maths-tle

Plans confondus-maths-tle

Parallélisme dans l’espace

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Propriété

  • Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles.
  • Deux plans parallèles à un même plan sont parallèles entre eux.
  • Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan.
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Exemple

Sur le schéma, (d1)(d1) est parallèle à la droite (d2)(d2) du plan PP donc (d1)(d_1) est parallèle au plan PP.

Plans parallèles et droites d’intersections parallèles-maths-tle

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Propriété

Si deux plans PP et PP' sont parallèles, tout plan qui coupe le plan PP coupe aussi le plan PP' et les droites d’intersection dd et dd' sont parallèles.

Alt texte

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Théorème

Théorème du toit :

Si une droite DD est parallèle à deux plans sécants, alors DD est parallèle à la droite Δ\Delta d’intersection de ces deux plans.

Alt texte

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Propriété

Si un plan PP contient deux droites (d)(d) et (d)(d') sécantes et toutes deux parallèles à un plan P P ', alors les plans PP et PP ' sont parallèles (voir schéma ci-dessus).

Droites sécantes parallèles à d’autres et plans parallèles-maths-tle

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Propriété

Si deux droites sécantes d’un plan PP sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d’un plan PP', alors les plans PP et PP' sont parallèles.

Orthogonalité dans l’espace

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Propriété

Deux droites (d1)(d1) et (d2)(d2) sont dites orthogonales s’il existe une droite (d1)(d'1) parallèle à (d1)(d1) et une droite (d2)(d'2) parallèle à (d2)(d2) telles que (d1)(d'1) et (d2)(d'2) soient perpendiculaires dans le plan qu’elles déterminent.

Droites parallèles et orthogonales-maths-tle

On peut observer sur ce schéma, un cube et deux droites (EH)(EH) et (GC)(GC).

Si on regarde le plan (HDC)(HDC), on constate que (HD)(HD) est une parallèle à (GC)(GC) dans ce plan.

Or (HD)(HD) est perpendiculaire en HH dans le plan (EHD)(EHD). Donc les droites (EH)(EH) et (GC)(GC) sont orthogonales.

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Astuce

On retiendra la différence entre le mot « perpendiculaire » qui s’utilise lorsque les droites sont situées dans le même plan et le mot « orthogonal » sinon.

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Propriété

Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.

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Définition

Orthogonalité dans l’espace :

Dire qu’une droite (d)(d) et un plan PP sont orthogonaux signifie que la droite (d)(d) est orthogonale à deux droites sécantes du plan PP.

Droites et plans orthogonaux-maths-tle

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Théorème

Si une droite (d)(d) est orthogonale à un plan PP, alors elle est orthogonale à toutes les droites du plan PP.

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Propriété

  • Si deux droites (d)(d) et (d)(d') sont orthogonales à un même plan, alors elles sont parallèles entre elles.
  • Et inversement si deux droites (d)(d) et (d)(d') sont parallèles alors tout plan orthogonal à (d)(d) est aussi orthogonal à (d)(d').

Alt texte

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Propriété

  • Si deux plans PP et PP' sont parallèles, toute droite (d)(d) orthogonale à PP est aussi orthogonale à PP'.

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Définition

Le plan médiateur :

Le plan médiateur d’un segment [AB][AB] est le plan passant par le milieu II de [AB][AB] et orthogonal à la droite (AB)(AB).

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Astuce

Ainsi, tous les points MM situés sur le plan médiateur de [AB][AB] sont équidistants de AA et de BB.