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Positions relatives de 2 droites, parralélisme et orthogonilité dans l'espace

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Positions relatives

  • Deux droites de l’espace sont soit coplanaires (elles appartiennent à un même plan) soit non coplanaires. Et, si elles sont coplanaires, alors elles sont soit parallèles, soit sécantes, soit confondues.
  • Une droite et un plan de l’espace sont soit sécants soit parallèles.
  • Deux plans de l’espace sont soit sécants soit parallèles.

Parallélisme dans l’espace

  • Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles.
  • Deux plans parallèles à un même plan sont parallèles entre eux.
  • Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan.

Propriété :

Si deux plans PP et PP' sont parallèles, tout plan qui coupe le plan PP coupe aussi le plan PP' et les droites d’intersection dd et dd' sont parallèles.

Théorème du toit :

Si une droite DD est parallèle à deux plans sécants, alors DD est parallèle à la droite Δ\Delta d’intersection de ces deux plans.

Alt texte

Propriété :

Si un plan PP contient deux droites (d)(d) et (d)(d') sécantes et toutes deux parallèles à un plan PP', alors les plans PP et PP' sont parallèles (voir schéma ci-dessus à gauche).

Propriété :

Si deux droites sécantes d’un plan PP sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d’un plan PP', alors les plans PP et PP' sont parallèles.

Orthogonalité dans l’espace

Propriété :

Deux droites (d1)(d1) et (d2)(d2) sont dites orthogonales s’il existe une droite (d1)(d'1) parallèle à (d1)(d1) et une droite (d2)(d'2) parallèle à (d2)(d2) telles que (d1)(d'1) et (d2)(d'2) soient perpendiculaires dans le plan qu’elles déterminent.

Propriété :

Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.

Propriété :

Dire qu’une droite (d)(d) et un plan PP sont orthogonaux signifie que la droite (d)(d) est orthogonale à deux droites sécantes du plan PP.

Théorème :

Si une droite (d)(d) est orthogonale à un plan PP, alors elle est orthogonale à toutes les droites du plan PP.

Propriété :

Si deux droites (d)(d) et (d)(d') sont orthogonales à un même plan, alors elles sont parallèles entre elles. Et inversement si deux droites (d)(d) et (d)(d') sont parallèles alors tout plan orthogonal à (d)(d) est aussi orthogonal à (d)(d').

Propriété :

Si deux plans PP et PP' sont parallèles, toute droite (d)(d) orthogonale à PP est aussi orthogonale à PP'.

Définition : plan médiateur

Le plan médiateur d’un segment [AB][AB] est le plan passant par le milieu II de [AB][AB] et orthogonal à la droite (AB)(AB).