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Échantillonnage, intervalle de fluctuation, estimation et prise de décision

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​Introduction :

Ce cours est lié à celui sur la loi binomiale donc tu peux, si besoin, revoir la vidéo correspondante.

Nous commencerons cette leçon sur l’échantillonnage en parlant d’intervalle de fluctuation avec la loi binomiale tout d’abord, puis nous le comparerons avec l’intervalle de fluctuation vu en classe de seconde. La deuxième partie de ce cours sera consacrée à la prise de décision.

Intervalle de fluctuation

Avec la loi binomiale

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Définition

Échantillon :

Un échantillon de taille nn est obtenu en prélevant au hasard, successivement et avec remise, nn éléments d’une population.

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Exemple

  • Prélever des pièces dans une production de manière identique et indépendante, noter à chaque fois si la pièce présente un défaut ou non, et la remettre dans la production
  • Lancer plusieurs fois un dé et noter à chaque fois si la face supérieure est un 66 ou non.
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Définition

Intervalle de fluctuation :

Soit une population dans laquelle on suppose que la proportion d’un certain caractère est pp et dans laquelle on prélève au hasard et avec remise un échantillon de taille nn.

On considère la variable aléatoire XX égale au nombre d’apparitions du caractère dans l’échantillon et la variable aléatoire F=XnF=\dfrac Xn égale à la fréquence du caractère dans l’échantillon.

On détermine :

  • le plus petit entier aa tel que p(Xa)>0,025p(X≤a)>0,025
  • le plus petit entier bb tel que p(Xb)0,975p(X≤b)≥0,975

L’intervalle In=[an;bn]I_n=\left[\dfrac an ; \dfrac bn\right] est appelé intervalle de fluctuation de FF au seuil de 95 %95\ \%.

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À retenir

Concrètement, la constitution de l’échantillon est une répétition d’expériences identiques et indépendantes. La variable aléatoire XX suit donc la loi binomiale B(n ; p)B(n\ ;\ p).

L’intervalle de fluctuation InIn est l’intervalle pour lequel la probabilité que FF appartienne à InIn est supérieure ou égale à 0,950,95.

On peut schématiser la situation avec le graphique suivant :

Graphique

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Exemple

Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(20 ; 0,65)B\big(20\ ;\ 0,65\big).

La table ci-dessous fournit les données des probabilités p(Xk)p(X≤k), voyons comment nous en servir pour déterminer l’intervalle de fluctuation à 95 %:95\ \%:

  • p(Xa)>0,025a=9p(X≤a)>0,025\rightarrow a=9
  • p(Xb)0,975b=17p(X≤b)≥0,975\rightarrow b=17
  • I=[920 ; 1720]=[0,45 ; 0,85]I=\left[\dfrac{9}{20}\ ;\ \dfrac{17}{20}\right]=\left[0,45\ ;\ 0,85\right] au seuil de 95 %95\ \%

L’écran d’un tableur L’écran d’un tableur

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Astuce

Sais-tu ce qui change quand on cherche l’intervalle de fluctuation à 90 %90\ \% ?

Au lieu d’avoir moins de 2,5 %2,5\ \% des valeurs avant aa et moins de 2,5 %2,5\ \% des valeurs après bb (ce qui équivaut à au moins 95 % des valeurs entre a et ba\text{ et }b), on aura moins de 5 %5\ \% des valeurs avant aa et moins de 5 %5\ \% des valeurs après bb (ce qui équivaut à 90 %90\ \% des valeurs entre a et ba\text{ et }b) :

  • p(Xa)>0,05a=9p(X≤a)>0,05\rightarrow a=9
  • p(Xb)0,95b=16p(X≤b)≥0,95\rightarrow b=16
  • I=[920 ; 1620]=[0,45 ; 0,8]I=\left[\dfrac{9}{20}\ ;\ \dfrac{16}{20}\right]=\big[0,45\ ;\ 0,8\big] au seuil de 90 %90\ \%

Lien avec l’intervalle de fluctuation vu en 2de

Comparons la définition de l’intervalle de fluctuation que nous venons d’étudier avec celle vue en seconde.

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Rappel

Formule de l’intervalle de fluctuation :

I=[p1n ; p+1n]I=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt n}\ ;\ p+\dfrac{1}{\sqrt n}\right]

On considère que c’est une bonne approximation de l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %95\ \%.

Le problème est que cette approximation n’est valable que pour certaines valeurs de n et pn\text{ et }p (n30n≥30 et 0,2p0,80,2≤p≤0,8) alors qu’avec la loi binomiale on peut déterminer l’intervalle de fluctuation quelles que soient les valeurs de n et pn\text{ et }p.

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Exemple

Reprenons l’exemple précédent avec n=20n=20 et p=0,65:p=0,65 :

I=[p1n ; p+1n]=[0,65120 ; 0,65+120]I=[0,42 ; 0,88]\begin{aligned} I&=\left[p-\dfrac1{\sqrt n}\ ;\ p+\dfrac1{\sqrt n}\right]\ &=\left[0,65-\dfrac1{\sqrt {20}}\ ;\ 0,65+\dfrac1{\sqrt {20}}\right]\ I&=\big[0,42\ ;\ 0,88\big] \end{aligned}

Il s’agit d’une approximation mais elle n’est pas très bonne car nn est inférieur à 3030, les conditions d’utilisation de la formule vue en seconde ne sont donc pas respectées. La réponse I=[0,45 ; 0,85]I=\big[0,45\ ;\ 0,85\big], donnée grâce à la loi binomiale, est beaucoup plus précise.

Estimation, prise de décision

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Définition

La règle de décision :

On considère une population dans laquelle on fait l’hypothèse que la proportion d’un caractère est pp et on souhaite tester la validité de cette hypothèse.

Pour cela, on prélève par hasard et avec remise un échantillon de taille nn sur lequel on observe la fréquence ff d’apparition de ce caractère puis on détermine l’intervalle de fluctuation (au seuil de 95 %95\ \%) InI_n correspondant :

  • Si fInf∈I_n on accepte l’hypothèse ;
  • Si fInf∉I_n on rejette l’hypothèse avec un risque d’erreur de 5 %5\ \%.

Il est normal que ff et pp n’aient pas exactement la même valeur. La question qui se pose est de savoir si cette différence est significative ou non.

L’intervalle InI_n contient au moins 95 %95\ \% des fréquences des échantillons de taille nn :

Si la proportion pp est correcte, il y a peu de chances (moins de 5 %5\ \%) que la fréquence ff de l’échantillon soit en dehors de InI_n ; c’est pourquoi, si cela se produit, on rejette l’hypothèse et on considère que la différence entre ff et pp est significative.

En revanche, si la fréquence ff de l’échantillon est à l’intérieur de InI_n on n’a aucun argument pour rejeter l’hypothèse donc on l’accepte.

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Exemple

« La direction d’une grosse société estime que 54 %54\ \% des salariés qui déjeunent sur place sont satisfaits du restaurant d’entreprise.

Afin de vérifier cette hypothèse, une enquête auprès de 50 salariés est organisée. 21 salariés déclarent que la restauration leur convient. Que penser de l’affirmation de la direction ? »

  • Repérer l’hypothèse sur la proportion.

Ici, on suppose que 54 %54\ \% des salariés sont satisfaits donc p=0,54p=0,54.

  • Repérer la taille de l’échantillon.

Ici, l’enquête est organisée auprès de 50 salariés donc n=50n=50.

  • Repérer (ou calculer) la fréquence ff.

Ici, parmi les 50 salariés interrogés, 21 déclarent être satisfaits donc f=2150=0,42f=\dfrac{21}{50}=0,42.

  • Déterminer l’intervalle de fluctuation InI_n correspondant.

Comme nous l’avons vu dans la première partie de ce cours, l’intervalle de fluctuation se détermine facilement à l’aide de la loi binomiale.

La variable aléatoire XX qui compte le nombre de salariés satisfaits dans un échantillon de 5050 suit la loi binomiale de paramètres n=50n=50 et p=0,54p=0,54.

Avec la calculatrice, on détermine :

  • le plus petit entier aa tel que p(Xa)>0,025p(X≤a)>0,025
  • le plus petit entier bb tel que p(Xb)0,975p(X≤b)≥0,975
  • Calculer p(Xk)p(X≤k)avec la calculatrice :

Ti

  • 2de
  • →distrib
  • →binomFRép (ou binomCDF en fonction de la langue de la calculatrice)
  • → n, p, k

Casio

  • Menu Stat
  • → DIST (avec F5)
  • → BINM (avec F5)
  • → Bcd
  • → Dans Data, mettre Variable ;
  • pour x entrer la valeur de k ;
  • pour Numtrial entrer la valeur de n ;
  • enfin, entrer la valeur de p → EXE

Ici, on trouve :

et{p(X19)=0,017<0,025p(X20)=0,032>0,025donc a=20p(X33)=0,969<0,975p(X34)=0,984>0,975donc b=34\small\text{et} \left\lbrace \begin{array}{rcl} p(X≤19)=0,017<0,025& &p(X≤20)=0,032>0,025 &\text{donc }a=20\ p(X≤33)=0,969<0,975& &p(X≤34)=0,984>0,975 &\text{donc } b=34\ \end{array} \right.

L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %95\ \% est donc In=[an;bn]=[2050;3450]=[0,4 ; 0,68]I_n=\left[\dfrac an ; \dfrac bn\right]=\left[\dfrac{20}{50} ; \dfrac{34}{50}\right]=\big[0,4\ ;\ 0,68\big].

  • Vérifier si ff appartient ou non à InI_n.

0,42[0,4 ; 0,68]0,42\in\big[0,4\ ;\ 0,68\big] donc fInf\in I_n.

  • Conclure

L’affirmation de la direction ne peut donc pas être remise en question.