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Échantillonnage, intervalle de fluctuation, estimation et prise de décision
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Avant de commencer, regarde les vidéos suivantes
Introduction :
Ce cours est lié à celui sur la loi binomiale donc tu peux, si besoin, revoir la vidéo correspondante.
Nous commencerons cette leçon sur l’échantillonnage en parlant d’intervalle de fluctuation avec la loi binomiale tout d’abord, puis nous le comparerons avec l’intervalle de fluctuation vu en classe de seconde. La deuxième partie de ce cours sera consacrée à la prise de décision.
Intervalle de fluctuation
Avec la loi binomiale
Échantillon :
Un échantillon de taille est obtenu en prélevant au hasard, successivement et avec remise, éléments d’une population.
Intervalle de fluctuation :
Soit une population dans laquelle on suppose que la proportion d’un certain caractère est et dans laquelle on prélève au hasard et avec remise un échantillon de taille .
On considère la variable aléatoire égale au nombre d’apparitions du caractère dans l’échantillon et la variable aléatoire égale à la fréquence du caractère dans l’échantillon.
On détermine :
L’intervalle est appelé intervalle de fluctuation de au seuil de .
Concrètement, la constitution de l’échantillon est une répétition d’expériences identiques et indépendantes. La variable aléatoire suit donc la loi binomiale .
L’intervalle de fluctuation est l’intervalle pour lequel la probabilité que appartienne à est supérieure ou égale à .
On peut schématiser la situation avec le graphique suivant :
Soit une variable aléatoire qui suit la loi binomiale .
La table ci-dessous fournit les données des probabilités , voyons comment nous en servir pour déterminer l’intervalle de fluctuation à
L’écran d’un tableur
Sais-tu ce qui change quand on cherche l’intervalle de fluctuation à ?
Au lieu d’avoir moins de des valeurs avant et moins de des valeurs après (ce qui équivaut à au moins 95 % des valeurs entre ), on aura moins de des valeurs avant et moins de des valeurs après (ce qui équivaut à des valeurs entre ) :
Lien avec l’intervalle de fluctuation vu en 2de
Comparons la définition de l’intervalle de fluctuation que nous venons d’étudier avec celle vue en seconde.
Formule de l’intervalle de fluctuation :
On considère que c’est une bonne approximation de l’intervalle de fluctuation au seuil de .
Le problème est que cette approximation n’est valable que pour certaines valeurs de ( et ) alors qu’avec la loi binomiale on peut déterminer l’intervalle de fluctuation quelles que soient les valeurs de .
Reprenons l’exemple précédent avec et
Il s’agit d’une approximation mais elle n’est pas très bonne car est inférieur à , les conditions d’utilisation de la formule vue en seconde ne sont donc pas respectées. La réponse , donnée grâce à la loi binomiale, est beaucoup plus précise.
Estimation, prise de décision
La règle de décision :
On considère une population dans laquelle on fait l’hypothèse que la proportion d’un caractère est et on souhaite tester la validité de cette hypothèse.
Pour cela, on prélève par hasard et avec remise un échantillon de taille sur lequel on observe la fréquence d’apparition de ce caractère puis on détermine l’intervalle de fluctuation (au seuil de ) correspondant :
Il est normal que et n’aient pas exactement la même valeur. La question qui se pose est de savoir si cette différence est significative ou non.
L’intervalle contient au moins des fréquences des échantillons de taille :
Si la proportion est correcte, il y a peu de chances (moins de ) que la fréquence de l’échantillon soit en dehors de ; c’est pourquoi, si cela se produit, on rejette l’hypothèse et on considère que la différence entre et est significative.
En revanche, si la fréquence de l’échantillon est à l’intérieur de on n’a aucun argument pour rejeter l’hypothèse donc on l’accepte.
« La direction d’une grosse société estime que des salariés qui déjeunent sur place sont satisfaits du restaurant d’entreprise.
Afin de vérifier cette hypothèse, une enquête auprès de 50 salariés est organisée. 21 salariés déclarent que la restauration leur convient. Que penser de l’affirmation de la direction ? »
Ici, on suppose que des salariés sont satisfaits donc .
Ici, l’enquête est organisée auprès de 50 salariés donc .
Ici, parmi les 50 salariés interrogés, 21 déclarent être satisfaits donc .
Comme nous l’avons vu dans la première partie de ce cours, l’intervalle de fluctuation se détermine facilement à l’aide de la loi binomiale.
La variable aléatoire qui compte le nombre de salariés satisfaits dans un échantillon de suit la loi binomiale de paramètres et .
Avec la calculatrice, on détermine :
Ti
Casio
Ici, on trouve :
L’intervalle de fluctuation au seuil de est donc .
donc .
L’affirmation de la direction ne peut donc pas être remise en question.