__Prérequis :__ * cours de 4^^e^^ sur les puissances et la notation scientifique. [IN] Introduction : En quatrième, nous avons découvert une nouvelle notation, pour le produit de plusieurs facteurs égaux à un même nombre : la puissance d’un nombre. Nous avons surtout travaillé sur les puissances de $10$, d’exposant positif et négatif. Puis nous avons généralisé la notation de puissance d’exposant positif à un nombre relatif. Dans ce chapitre, nous définirons la puissance d’un nombre relatif d’exposant négatif. Puis nous verrons comment calculer avec des puissances. Nous reviendrons, pour terminer, sur les puissances de $10$. [/IN] ## Puissances d’un nombre relatif/1 ### Puissances d’exposant positif (rappel)/a. [DEF] **Puissance d’exposant positif d’un nombre relatif :** Soit $a$ un nombre relatif, et $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. Le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ se note $a^n$ : $$a^{\red n}=\underbrace{a\times a\times …\times a\times a}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red n$ facteurs égaux à $a$}}}}$$ * On lit : « $a$ exposant $n$ », ou « $a$ (à la) puissance $n$ ».((fleche)) On a aussi, par convention : * $a^1=a$ ; * pour $a \neq 0$, $a^0=1$. [/DEF] [RETENIR] **Cas particuliers** * Pour $n \neq 0$, $0^n=0$ ; * $1^n=1$. [/RETENIR] [EX] * Calculons $2^5$ : $$2^\red 5=\underbrace{2\times2\times2\times2\times2}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red 5$ facteurs égaux à $2$}}}}=32$$ * Calculons $(-3)^3$ : $$(-3)^ \red 3=\underbrace{ (-3)\times(-3)\times(-3) }_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red 3$ facteurs égaux à $(-3)$}}}}=-27$$ * Calculons $(-5)^4$ : $$(-5)^ \red 4=\underbrace{ (-5)\times(-5)\times(-5)\times(-5) }_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red 4$ facteurs égaux à $(-5)$}}}}=625$$ * Calculons $\left(\frac 25\right)^3$ : $$\left(\dfrac25\right)^ \red 3=\underbrace{\dfrac25\times\dfrac25\times\dfrac25}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red 3$ facteurs égaux à $\frac 25$}}}}=\dfrac{8}{125}$$ * Calculons $\left(-\frac34\right)^2$ : $$\left(-\dfrac34\right)^ \red 2=\underbrace{\left(-\dfrac34\right)\times\left(-\dfrac34\right) }_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red 2$ facteurs égaux à $\left(-\frac 34\right)$}}}}=\frac{9}{16}$$ [/EX] ### Puissances d’exposant négatif/b. [DEF] **Puissance d’exposant négatif d’un nombre relatif :** Soit $a$ un nombre relatif non nul, et $n$ un entier positif. $a^{-n}$ est l’inverse de $a^n$ : $$a^{-\red n}=\dfrac 1{a^{\red n}} =\dfrac 1{\underbrace{a\times a\times …\times a\times a}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red n$ facteurs égaux à $a$}}}}}$$ [/DEF] [AST] En particulier, on peut noter $a^{-1}$ l’inverse de $a$ : $$a^{-1}=\dfrac 1a$$ [/AST] [EX] * Calculons $2^{-3}$ : $$2^{-\red 3}=\dfrac{1}{2^\red 3}=\dfrac{1}{2\times2\times2}=\dfrac18$$ * Calculons $(-5)^{-2}$ : $$(-5)^{-\red 2}=\dfrac{1}{(-5)^\red 2}=\dfrac{1}{(-5)\times(-5)}=\dfrac{1}{25}$$ * Calculons $\left(\frac 34\right)^{-2}$ : $$\left(\dfrac34\right)^{-\red 2}=\dfrac{1}{\left(\frac34\right)^\red 2}=\dfrac 1{\frac 34\times \frac 34}=\dfrac{1}{\frac{9}{16}}=\dfrac{16}{9}$$ * Calculons $(-3)^{-4}$ : $$(-3)^{-\red 4}=\dfrac 1{(-3)^\red 4}=\dfrac 1{-3\times (-3)\times (-3)\times (-3)}=\dfrac 1{81}$$ * Calculons $7^{- 1}$ : $$7^{-1}=\dfrac17$$ [/EX] [AST] Vous avez peut-être déjà vu, en physique notamment, la notation $\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$ pour l’unité de la vitesse, qui est une grandeur quotient : « mètre par seconde », soit $\text{m/s}$. Nous pouvons maintenant mieux comprendre d’où elle vient, sachant en outre que le point médian « $\cdot$ » est souvent utilisé pour remplacer le signe « $\times$ » : $$\begin{aligned} 1\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}&=1\ \text{m}\times 1\ \text{s}^{-1} \\ &=1\ \text{m}\times \dfrac 1{1\ \text{s}} \\ &=\dfrac {1\ \text{m}}{1\ \text{s}} \\ &=1\ \text{m/s} \end{aligned}$$ [/AST] Enfin, on peut retenir la règle suivante, que les exemples précédents ont illustrée et expliquée. [RETENIR] Soit $a$ un **nombre négatif** et $n$ un nombre entier relatif non nul. * Si $n$ est **pair**, alors $a^n$ est **positif**. * Si $n$ est **impair**, alors $a^n$ est **négatif**. [/RETENIR] ### Opérations avec des puissances/c. [RETENIR] **Ordre des opérations :** Dans une opération où figurent des puissances, on effectuera : * d’abord les calculs entre parenthèses ; * ensuite les puissances ; * puis les multiplications et les divisions ; * enfin les additions et les soustractions. [/RETENIR] [EX] Effectuons le calcul suivant : $$\begin{aligned} A&=6\times (5-3)^3+12-7\times 3^2 \\ &=6\times 2^3+12-7\times 3^2 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [on calcule la parenthèse]}}} \\ &=6\times 8+12-7\times 9 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [on calcule les puissances]}}}\\ &=48+12-63 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [on calcule les produits]}}} \\ &=60-63 \\ &=-3 \end{aligned}$$ [/EX] [ATT] $$7\times 3^2\neq 21^2$$ En effet : $$7\times 3^2=7\times 3\times 3=63$$ On peut aussi retrouver les autres priorités en écrivant les puissances comme produit et en appliquant les règles opératoires : parenthèses / multiplication et division / addition et soustraction. [/ATT] On peut aussi retenir les propriétés suivantes, très utiles pour faciliter l’écriture des calculs. Elles ne sont toutefois pas exigibles : vous pourrez les retrouver en écrivant, là aussi, les puissances comme produits. [PROP] Soient $a$ et $b$ deux nombres relatifs non nuls, et $m$ et $n$ deux entiers relatifs. Nous avons alors : [TAB]((100, c, n, texte-centre)) [LI] | **Produit et quotient de puissances d’un même nombre**((40,0,0,#52d2fb)) | | $a^m\times a^n=a^{m+n}$((30,0,0,#abe6ff)) | | $\dfrac {a^m}{a^n}=a^{m-n}$((30,0,0,#abe6ff)) | [/LI] [LI] | **Puissance de puissance**((0,0,0,#FFE4B5)) | | ${(a^m)}^n=a^{m\times n}$((0,2,0,#FFEFD5)) | [/LI] [LI] | **Produit et quotient de puissances de même exposant**((0,0,0,#52d2fb)) | | $(a\times b)^n=a^n\times b^n$((0,0,0,#abe6ff)) | | $\left(\dfrac ab\right)^n=\dfrac {a^n}{b^n}$((0,0,0,#abe6ff)) | [/LI] [/TAB] [/PROP] Les exemples suivants permettent de mieux comprendre d’où viennent ces propriétés. [EX] * **Produit de puissances d’un même nombre :** $$\begin{aligned} 5^\purple 3\times 5^\pink 4&=\underbrace{\overbrace{5\times 5\times 5}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\purple 3$ facteurs}}}}\times \overbrace{5\times 5\times 5\times 5}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\pink 4$ facteurs}}}}}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\purple 3+\pink 4$ facteurs}}}} \\ &=5^{\purple 3+\pink 4} \\ &=5^7 \end{aligned}$$ * **Quotient de puissances d’un même nombre :** $$\dfrac {5^\purple 7}{5^\pink 3}=\dfrac{\overbrace{5\times 5\times 5\times 5\times 5\times 5\times 5}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\purple 7$ facteurs}}}}}{\underbrace{5\times 5\times 5}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\pink 3$ facteurs}}}}}$$ Il y a, au numérateur, $\purple 7$ facteurs égaux à $5$ et, au dénominateur, $\pink 3$ facteurs égaux à $5$. On peut donc simplifier, en « supprimant » au numérateur et au dénominateur $\pink 3$ facteurs $5$. * Il reste donc, au numérateur, $\purple 7-\pink 3$ facteurs égaux à $5$ :((fleche)) $$\begin{aligned} \dfrac {5^\purple 7}{5^\pink 3}&=\dfrac{\overbrace{5\times 5\times 5\times 5}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\purple 7-\pink 3$ facteurs}}}} \times \textcolor{#A9A9A9}{\cancel 5}\times \textcolor{#A9A9A9}{\cancel 5}\times \textcolor{#A9A9A9}{\cancel 5}}{\textcolor{#A9A9A9}{\cancel 5}\times \textcolor{#A9A9A9}{\cancel 5}\times \textcolor{#A9A9A9}{\cancel 5}} \\ &=5^{\purple 7-\pink 3} \\ &=5^4 \end{aligned}$$ Un peu de la même façon : $$\dfrac {5^\purple 3}{5^\pink 7}=\dfrac{\overbrace{5\times 5\times 5}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\purple 3$ facteurs}}}}}{\underbrace{5\times 5\times 5\times 5\times 5\times 6\times 7}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\pink 7$ facteurs}}}}}$$ Il y a, au numérateur, $\purple 3$ facteurs égaux à $5$ et, au dénominateur, $\pink 7$ facteurs égaux à $5$. On peut donc simplifier, en « supprimant » au numérateur et au dénominateur $\purple 3$ facteurs égaux à $5$. * Il reste donc, au dénominateur, $\pink 7-\purple 3$ facteurs $5$ :((fleche)) $$\begin{aligned} \dfrac {5^\purple 3}{5^\pink 7}&=\dfrac{\textcolor{#A9A9A9}{\cancel 5}\times \textcolor{#A9A9A9}{\cancel 5}\times \textcolor{#A9A9A9}{\cancel 5}}{\underbrace{5\times 5\times 5\times 5}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\pink 7-\purple 3$ facteurs}}}} \times \textcolor{#A9A9A9}{\cancel 5}\times \textcolor{#A9A9A9}{\cancel 5}\times \textcolor{#A9A9A9}{\cancel 5}} \\ &=\dfrac 1{5^{\pink 7-\purple 3}} \\ &=5^{-(\pink 7-\purple 3)} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\frac 1{a^n}=a^{-n}$]}}} \\ &=5^{\purple 3-\pink 7} \\ &=5^{-4} \end{aligned}$$ * **Puissance d’une puissance :** $$\begin{aligned} {(5^\purple 3)}^\pink 4&={(\overbrace{5\times 5\times 5}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\purple 3$ facteurs}}}}})^\pink 4 \\ &=\underbrace{(5\times 5\times 5)\times (5\times 5\times 5)\times (5\times 5\times 5)\times (5\times 5\times 5)}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\purple 3\times \pink 4$ facteurs}}}} \\ &=5^{\purple 3\times \pink 4} \\ &=5^{12} \end{aligned}$$ * **Produit de puissances de même exposant :** $$\begin{aligned} (\purple 5\times \pink 4)^\green3&=(\purple 5\times \pink 4)\times (\purple 5\times \pink 4)\times (\purple 5\times \pink 4) \\ &=\purple 5\times \pink 4\times \purple 5\times \pink 4\times \purple 5\times \pink 4 \\ &=\underbrace{\purple 5 \times \purple 5\times \purple 5}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\green 3$ facteurs}}}}\times \underbrace{\pink 4\times \pink 4\times \pink 4}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\green 3$ facteurs}}}} \\ &=\purple 5^\green 3\times \pink 4^\green 3 \end{aligned}$$ * **Quotient de puissances de même exposant :** $$\begin{aligned} \left(\dfrac {\purple 5}{\pink 4}\right)^\green 3&=\dfrac{\purple 5}{\pink 4}\times \dfrac {\purple 5}{\pink 4}\times \dfrac {\purple 5}{\pink 4} \\ &=\dfrac{\overbrace{\purple 5\times \purple 5\times \purple 5}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\green 3$ facteurs}}}}}{\underbrace{\pink 4\times \pink 4\times \pink 4}_{{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\green 3$ facteurs}}}}}} \\ &=\dfrac {\purple 5^\green 3}{\pink 4^\green 3} \end{aligned}$$ [/EX] ### Exercice corrigé/d. #### Énoncé On laisse tomber une balle d’une hauteur de $5$ mètres. On sait que, après un rebond, elle remonte aux trois-quarts de la hauteur de laquelle elle est tombée. * **Après avoir établi une formule littérale permettant de donner la hauteur en fonction du rebond, déterminer la hauteur atteinte par la balle après $6$ rebonds.** On donnera d’abord le résultat exact sous la forme d’une fraction, puis une valeur arrondie au centimètre près.((fleche)) #### Corrigé [AST] On nous demande ici une formule littérale qui permet de donner la hauteur en fonction du rebond. Nous allons donc écrire les calculs après les premiers rebonds, en essayant de mettre en évidence le lien entre rebond et hauteur. [/AST] La balle remonte aux trois-quarts de la hauteur précédente. Comme on la lâche initialement d’une hauteur de $5\ \text{m}$, elle remonte : * après le premier rebond, à une hauteur de : $$5\times \dfrac 34$$ * après le deuxième rebond, à une hauteur de : $$5\times \dfrac 34\times \dfrac 34=5\times \left(\dfrac 34\right)^2$$ * après le troisième rebond, à une hauteur de : $$5\times \left(\dfrac 34\right)^2\times \dfrac 34=5\times \left(\dfrac 34\right)^3$$ * et ainsi de suite. * **Après le $\red n \text{-ième}$ rebond, la balle remonte donc à une hauteur de :**((fleche)) $$\boxed{5\times \left(\dfrac 34\right)^\red n\ \text{m}}$$ [AST] On peut remarquer que cette formule fonctionne aussi pour la hauteur du lâcher : initialement, il y eu bien sûr $\red 0$ rebond ; et comme, pour tout $a\neq 0$, $a^0=1$, on obtient une hauteur de : $$5\times \left(\dfrac 34\right)^\red 0=5\times 1=5$$ [/AST] On obtient ainsi, après le $\red 6\text{-ième}$ rebond, une hauteur de : $$5\times \left(\dfrac 34\right)^\red 6$$ Nous allons ici utiliser les propriétés que nous avons données, mais vous retrouverez le même résultat en posant tous les produits : $$\begin{aligned} 5\times \left(\dfrac 34\right)^\red 6&=5\times \dfrac {3^\red 6}{4^\red 6} \\ &=5\times \dfrac{729}{4\,096} \\ &=\boxed{\dfrac {3\,645}{4\,096}\approx 0,89} \end{aligned}$$ * **Après $6$ rebonds, la balle remonte à une hauteur de $89\ \text{cm}$ environ.**((fleche)) ## Puissances de $10$ et écriture scientifique/2 Cette seconde partie est consacrée aux puissances de $10$ et aux notations scientifiques, que nous avons déjà traitées de manière assez approfondie en quatrième et que nous rappellerons ici. Ces puissances de $10$ sont un cas particulier des puissances du type $a^n$, avec tout simplement $a=10$. * Toutes les propriétés que nous avons vues plus haut restent donc valables.((fleche)) ### Rappels/a. [DEF] **Puissance de $10$ d’exposant positif :** Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. Le produit de $n$ facteurs égaux à $10$ se note $10^n$ : $$10^{\red n}=\underbrace{10\times 10\times …\times 10\times 10}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red n$ facteurs égaux à $10$}}}}= 1\underbrace{00…00}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red n$ zéros}}}}$$ Par convention : * $10^0=1$ ; * $10^1=10$. [/DEF] [DEF] **Puissance de $10$ d’exposant négatif :** Soit $n$ un entier positif. $10^{-n}$ est l’inverse de $10^n$ : $$10^{-\red n}=\dfrac 1{10^{\red n}} =\dfrac 1{\underbrace{10\times 10\times …\times 10\times 10}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red n$ facteurs égaux à $10$}}}}}=\underbrace{0,0…00}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red n$ zéros}}}}1$$ [/DEF] Les puissances de $10$ sont indispensables pour manipuler de très grands nombres ou de très petits nombres, par exemple à l’échelle cosmique ou microscopique. [RETENIR] Pour faciliter la lecture de telles grandeurs, on utilise divers préfixes pour les unités dans lesquelles elles sont exprimées. Nous donnons ici les principales : [TAB]((auto, c, n, texte-centre)) [LI] | **Préfixe**((0,0,0,#52d2fb)) | | **Symbole**((0,0,0,#52d2fb)) | | **Valeur**((0,0,0,#52d2fb)) | | ((0,0,0,#52d2fb)) | [/LI] [LI] | péta((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\text{E}$((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\small 10^{15}=1\,000\,000\,000\,000\,000$((0,0,0,#FFEFD5)) | | un million de milliards((0,0,0,#FFEFD5)) | [/LI] [LI] | téra((0,0,0,#abe6ff)) | | $\text{T}$((0,0,0,#abe6ff)) | | $\small 10^{12}=1\,000\,000\,000\,000$((0,0,0,#abe6ff)) | | mille milliards((0,0,0,#abe6ff)) | [/LI] [LI] | giga((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\text{G}$((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\small 10^9=1\,000\,000\,000$((0,0,0,#FFEFD5)) | | un milliard((0,0,0,#FFEFD5)) | [/LI] [LI] | méga((0,0,0,#abe6ff)) | | $\text{M}$((0,0,0,#abe6ff)) | | $\small 10^6=1\,000\,000$((0,0,0,#abe6ff)) | | un million((0,0,0,#abe6ff)) | [/LI] [LI] | kilo((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\text{k}$((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\small 10^3=1\,000$((0,0,0,#FFEFD5)) | | mille((0,0,0,#FFEFD5)) | [/LI] [LI] | hecto((0,0,0,#abe6ff)) | | $\text{h}$((0,0,0,#abe6ff)) | | $\small 10^2=100$((0,0,0,#abe6ff)) | | cent((0,0,0,#abe6ff)) | [/LI] [LI] | déca((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\text{da}$((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\small 10^1=10$((0,0,0,#FFEFD5)) | | dix((0,0,0,#FFEFD5)) | [/LI] [LI] | __unité__((0,0,0,#abe6ff)) | | $-$((0,0,0,#abe6ff)) | | $\small 10^0=1$((0,0,0,#abe6ff)) | | un((0,0,0,#abe6ff)) | [/LI] [LI] | déci((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\text{d}$((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\small 10^{-1}=0,1$((0,0,0,#FFEFD5)) | | un dixième ((0,0,0,#FFEFD5)) | [/LI] [LI] | centi((0,0,0,#abe6ff)) | | $\text{c}$((0,0,0,#abe6ff)) | | $\small 10^{-2}=0,01$((0,0,0,#abe6ff)) | | un centième((0,0,0,#abe6ff)) | [/LI] [LI] | milli((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\text{m}$((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\small 10^{-3}=0,001$((0,0,0,#FFEFD5)) | | un millième((0,0,0,#FFEFD5)) | [/LI] [LI] | micro((0,0,0,#abe6ff)) | | $\mu$((0,0,0,#abe6ff)) | | $\small 10^{-6}=0,000001$((0,0,0,#abe6ff)) | | un millionième((0,0,0,#abe6ff)) | [/LI] [LI] | nano((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\text{n}$((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\small 10^{-9}=0,000000001$((0,0,0,#FFEFD5)) | | un milliardième((0,0,0,#FFEFD5)) | [/LI] [LI] | pico((0,0,0,#abe6ff)) | | $\text{p}$((0,0,0,#abe6ff)) | | $\small 10^{-12}=0,000000000001$((0,0,0,#abe6ff)) | | un millième de milliardième((0,0,0,#abe6ff)) | [/LI] [/TAB] [/RETENIR] [EX] [COLONNES] [COL] [IMG]((100)) ![Image du trou noir de notre galaxie](https://images-schoolmouv-cours.s3.eu-west-1.amazonaws.com/3e-math-c01-img01.jpg?1726667719752) #Image du trou noir de notre galaxie (EHT Collaboration, photo publiée le 12 mai 2022, © [European Southern Observatory](https://www.eso.org/public/), CC BY 4.0) [/IMG] [/COL]((50.00, texte-gauche)) [COL] Un trou noir supermassif (nom de code : Sagittarius A*) est présent au cœur de notre Voie lactée. * Pas d’inquiétude tout de même, il est situé à environ $26\,000$ années-lumière, soit $250\times 10^{15}\ \text{km}$ : $250$ millions de milliards de kilomètres !((fleche)) À cette distance-là, de l’ordre de $10^{15}\ \text{km}=10^{18}\ \text{m}$, on parle d’examètre ($\text{Em}$) : le trou noir est distant de la Terre d’environ $250\ \text{Em}$. [/COL]((50.00, texte-gauche)) [/COLONNES] [COLONNES] [COL] [IMG]((100)) ![Image prise au microscope d’une bactérie E. coli](https://images-schoolmouv-cours.s3.eu-west-1.amazonaws.com/3e-math-c01-img02.jpg?1726667757431) #Image prise au microscope d’une bactérie E. coli [/IMG] [/COL]((50.00, texte-gauche)) [COL] La bactérie __Escherichia coli__ (__E. coli__), dont vous avez peut-être déjà entendu parler, est présente dans notre flore intestinale. * Sa masse peut atteindre $5\ \text{pg}$ (picogrammes), soit $5\times 10^{-12}\ \text{g}$ : $5$ millièmes de milliardième de gramme !((fleche)) * Pour sa taille, l’échelle présente sur la photographie vous permettra d’en avoir un ordre de grandeur.((fleche)) [/COL]((50.00, texte-gauche)) [/COLONNES] [/EX] ### Écriture scientifique d’un nombre/b. [DEF] **Écriture ou notation scientifique :** La notation scientifique d’un nombre positif est son écriture sous la forme $a\times 10^n$, avec : * $a$ un nombre compris entre $1$ et $10$ ($10$ exclu), soit : $1\leq a < 10$ ; * et $n$ un entier relatif. [/DEF] [RETENIR] **Méthode : Comment écrire un nombre avec sa notation scientifique** * On recopie les chiffres du nombre, sans virgule.((bulle,1)) * On place la virgule après le premier chiffre non nul en partant de la gauche.((bulle,2)) * On regarde de combien de rangs on a décalé la virgule ; on note ici ce nombre $r$ (comme rang).((bulle,3)) * Si on l’a décalée vers la gauche, on multiplie par $10^r$.((fleche)) * Si on l’a décalée vers la droite, on multiplie par $10^{-r}$.((fleche)) [/RETENIR] [EX] * **On veut écrire $335,6\times 10^{17}$ avec sa notation scientifique.** * On copie les chiffres du nombre sans virgule :((bulle,1)) $$3356$$ * On place la virgule après le premier chiffre non nul, on n’oublie pas la puissance de $10$ déjà présente :((bulle,2)) $$3,356\times 10^{17}$$ * On a décalé la virgule de $2$ rangs vers la gauche.((bulle,3)) * On multiplie donc par $10^2$, et on effectue le produit des puissances de $10$ :((fleche)) $$3,356\times 10^2\times 10^{17}=\boxed{3,356\times 10^{19}}$$ * **On veut écrire $0,002701\times 10^{-13}$ avec sa notation scientifique.** * On copie les chiffres du nombre sans virgule (on peut se passer des zéros précédant le premier chiffre non nul) :((bulle,1)) $$2701$$ * On place la virgule après le premier chiffre non nul, on n’oublie pas la puissance de $10$ déjà présente :((bulle,2)) $$2,701\times 10^{-13}$$ * On a décalé la virgule de $3$ rangs vers la droite.((bulle,3)) * On divise donc par $10^3$, c’est-à-dire qu’on multiplie par $10^{-3}$, et on effectue le produit des puissances de $10$ :((fleche)) $$2,701\times 10^{-3}\times 10^{-13}=\boxed{2,701\times 10^{-16}}$$ [/EX] La notation scientifique permet notamment : * de voir, en un coup d’œil, un **ordre de grandeur**, grâce à la puissance de $10$ : par exemple, $10^3$ pour un millier ; $10^7$ pour une dizaine de millions ; $10^{11}$ pour un une centaine de milliards ; $10^{-2}$ pour un centième ; $10^{-10}$ pour un dixième de milliardième ; etc. ; * de **comparer** très facilement des grands ou des petits nombres entre eux. [RETENIR] Pour comparer des grandeurs écrites avec leurs notations scientifiques : * on compare d’abord les puissances de $10$ (leurs exposants, en fait) ;((bulle,1)) * si elles sont égales, on compare les nombres décimaux.((bulle,2)) [/RETENIR] [EX] Le tableau suivant donne les distances, exprimées en kilomètre, entre la Terre et les planètes du Système solaire, classées par ordre alphabétique. On y donne aussi l’ordre de grandeur correspondant à la puissance de $10$. [TAB]((100, c, n, texte-centre)) [LI] | **Planète**((20,0,0,#52d2fb)) | | **Distance à la Terre**((50,0,0,#52d2fb)) | | **Ordre de grandeur**((30,0,0,#52d2fb)) | [/LI] [LI] | **Jupiter**((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\small d_\text{Jup}=6,29\times 10^8\ \text{km}$((0,0,0,#FFEFD5)) | | Centaine de millions de kilomètres((0,0,0,#FFEFD5)) | [/LI] [LI] | **Mars**((0,0,0,#abe6ff)) | | $\small d_\text{Mars}=7,83\times 10^7\ \text{km}$((0,0,0,#abe6ff)) | | Dizaine de millions de kilomètres((0,0,0,#abe6ff)) | [/LI] [LI] | **Mercure**((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\small d_\text{Merc}=9,17\times 10^7\ \text{km}$((0,0,0,#FFEFD5)) | | Dizaine de millions de kilomètres((0,0,0,#FFEFD5)) | [/LI] [LI] | **Neptune**((0,0,0,#abe6ff)) | | $\small d_\text{Nept}=4,35\times 10^9\ \text{km}$((0,0,0,#abe6ff)) | | Milliard de kilomètres((0,0,0,#abe6ff)) | [/LI] [LI] | **Saturne**((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\small d_\text{Sat}=1,27\times 10^9\ \text{km}$((0,0,0,#FFEFD5)) | | Milliard de kilomètres((0,0,0,#FFEFD5)) | [/LI] [LI] | **Uranus**((0,0,0,#abe6ff)) | | $\small d_\text{Ura}=2,72\times 10^9\ \text{km}$((0,0,0,#abe6ff)) | | Milliard de kilomètres((0,0,0,#abe6ff)) | [/LI] [LI] | **Vénus**((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\small d_\text{Vénus}=4,14\times 10^7\ \text{km}$((0,0,0,#FFEFD5)) | | Dizaine de millions de kilomètres((0,0,0,#FFEFD5)) | [/LI] [/TAB] * **On cherche à classer les planètes, cette fois de la plus proche de la Terre à la plus éloignée.**((fleche)) On vérifie que les écritures données sont bien en notation scientifique : tout ce que nous allons faire en dépend. Tous sont bien écrits comme produit : * d’un nombre décimal compris entre $1$ et $10$, non égal à $10$ ; * et d’une puissance de $10$, dont l’exposant est un entier relatif (positif, ici). On voit déjà que les plus petites puissances de $10$ sont $10^7$, c’est-à-dire les distances de Mars, Mercure et Vénus ; ce sont donc les planètes les plus proches de la Terre. * On compare les nombres décimaux de leurs notations :((fleche)) $$\begin{aligned} &4,14 < 7,83 < 9,17 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ :\ }} &d_\text{Vénus }< d_\text{Mars }< d_\text{Merc} \end{aligned}$$ On a ensuite Jupiter, dont la distance est de l’ordre de $10^8$, la seule dans ce cas. * On peut compléter les inégalités :((fleche)) $$d_\text{Vénus }< d_\text{Mars }< d_\text{Merc} < d_\text{Jup}$$ On compare enfin les distances de Neptune, Saturne et Uranus, les plus éloignées, dont l’ordre de grandeur est $10^9$. * Toujours en comparant les nombres décimaux :((fleche)) $$\begin{aligned} &1,27 < 2,72 < 4,35 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ :\ }} &d_\text{Sat }< d_\text{Ura }< d_\text{Nept} \end{aligned}$$ On obtient ainsi : $$\boxed{d_\text{Vénus }< d_\text{Mars }< d_\text{Merc} < d_\text{Jup} < d_\text{Sat }< d_\text{Ura }< d_\text{Nept}}$$ * De la plus proche à la plus éloignées de la Terre, les planètes du Système solaire sont : **Vénus — Mars — Mercure — Jupiter — Saturne — Uranus — Neptune**.((fleche)) [/EX] ### Notation scientifique et calculs (exercice corrigé)/c. [RETENIR] **Méthode : Notation scientifique et opérations** Pour effectuer un produit, ou un quotient, de deux nombres en notation scientifique : * on regroupe :((bulle,1)) * d’un côté, les nombres décimaux,((liste3)) * et, de l’autre, les puissances de $10$ ;((liste3)) * on effectue les calculs séparément ;((bulle,2)) * on veille bien à ce que le nombre décimal qui en résulte est bien compris entre $1$ et $10$ ($10$ exclu).((bulle,3)) * Si ce n’est pas le cas, on l’écrit en notation scientifique.((fleche)) [/RETENIR] Nous allons appliquer cette méthode dans l’exercice corrigé qui suit. #### Énoncé Dans $m_\text{C}=211\ \text{ng}$ (nanogrammes) de cuivre, il y a $n_\text{at}=2 \times 10^{15}$ atomes de cuivre. * **Après avoir converti la masse $m_\text{C}$ de cuivre en gramme et l’avoir écrite en notation scientifique, déterminer la masse $m_\text{at}$ d’un atome de cuivre, en gramme.**((fleche)) #### Corrigé Comme $1\ \text{ng}=10^{-9}\ \text{g}$, on a : $$\begin{aligned} m_\text{C}&=211\times 10^{-9}\ \text{g} \\ &=2,11\times 10^2\times 10^{-9}\ \text{g} \\ &=\boxed{2,11\times 10^{-7}\ \text{g}} \end{aligned}$$ On sait le nombre d’atomes qu’il y a dans $2,11\times 10^{-7}\ \text{g}$, on en déduit la masse d’un atome : $$\begin{aligned} m_\text{at}&=\dfrac{m_\text{C}}{n_\text{at}} \\ &=\dfrac {\purple{2,11}\times \pink{10^{-7}}} {\purple{2}\times \pink{10^{15}}} \\ &=\purple{\dfrac {2,11}{2}} \times \pink{\dfrac {10^{-7}}{10^{15}}} \\ &=\purple {1,055}\times \pink{10^{-7-15}} \\ &=\boxed{1,055\times 10^{-22}} \end{aligned}$$ On vérifie que le résultat est une notation scientifique ($1\leq 1,055 < 10$). * **La masse d’un atome de cuivre est d’environ $10^{-22}\ \text{g}$.**((fleche)) [C] Conclusion : Nous savons maintenant, grâce aux puissances, manipuler de très grands nombres comme de très petits. Et, vous l’avez compris, ces nombres infiniment grands ou infiniment petits sont indispensables en sciences naturelles et en physique-chimie, aussi en informatique ; cherchez donc la taille des données échangées sur Internet en une année, ou encore les dimensions des transistors les plus petits qui existent et leur nombre sur un microprocesseur… Ainsi, ce que nous avons découvert au collège sur cette notation de puissance est une étape fondamentale pour comprendre ce qui nous entoure, que ce soit la technologie ou, même, l’univers ! [/C]