Puissances d'un nombre et écriture scientifique

Puissances d’un nombre relatif

Puissance de $a$, exposant $n$ :

$a$ étant un nombre relatif et $n$ étant un nombre entier supérieur à $1$, le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ se note $a^n$.

$$a^ n = \underbrace{ a \times a \times … \times a}_{\text {n facteurs}}$$

$a^n$ est la puissance d’exposant $n$ du nombre $a$.
$n$ est l’exposant.

• Si $n$ est pair, alors $a^n$ est positif.
• Si $n$ est impair, alors $a^n$ est négatif.

Par convention :

• $a^1=a$
• Pour $a \neq 0$, $a^0=1$
• $1^n=1$
• Pour $n \neq 0$, $0^n=0$

Inverse d’une puissance :

$a$ étant un nombre relatif non nul et $n$ un nombre entier positif, le nombre $ a^{- n}$ est l’inverse du nombre $a^n$.

$$a^{- n}=\frac{1}{ a^n}$$

Cas particuliers :

$a^{-1}$ est l’inverse de $a$ donc $a^{-1}=\dfrac1a$

Règles de calcul pour les puissances

$a$ et $b$ désignent deux nombres relatifs non nuls, et $m$ et $n$ désignent deux entiers relatifs :

Priorité des opérations

Pour calculer une expression, on effectue :

• tout d’abord les calculs entre parenthèses ;
• ensuite les puissances ;
• puis les multiplications et les divisions ;
• et enfin les additions et les soustractions.

Lorsque les opérations ont le même niveau de priorité, on les effectue de gauche à droite.

Puissance de $10$ et écriture scientifique

Puissance de $10$ d’exposant positif :

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$.
Le produit de $n$ facteurs égaux à $10$ se note $10^n$ :

$$10^{\red n}=\underbrace{10\times 10\times …\times 10\times 10}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red n$ facteurs égaux à $10$}}}}= 1\underbrace{00…00}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red n$ zéros}}}}$$

Puissance de $10$ d’exposant négatif :

Soit $n$ un entier positif.
$10^{-n}$ est l’inverse de $10^n$ :

$$10^{-\red n}=\dfrac 1{10^{\red n}} =\dfrac 1{\underbrace{10\times 10\times …\times 10\times 10}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red n$ facteurs égaux à $10$}}}}}=\underbrace{0,0…00}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red n$ zéros}}}}1$$

Écriture ou notation scientifique :

La notation scientifique d’un nombre positif est son écriture sous la forme $a\times 10^n$, avec :

• $a$ un nombre compris entre $1$ et $10$ ($10$ exclu), soit : $1\leq a < 10$ ;
• et $n$ un entier relatif.

Méthode : Comment écrire un nombre avec sa notation scientifique ?

• On recopie les chiffres du nombre, sans virgule.
• On place la virgule après le premier chiffre non nul en partant de la gauche.
• On regarde de combien de rangs on a décalé la virgule ; on note ici ce nombre $r$ (comme rang).
• Si on l’a décalée vers la gauche, on multiplie par $10^r$.
• Si on l’a décalée vers la droite, on multiplie par $10^{-r}$.

Méthode de calcul avec des notations scientifiques

Pour effectuer un produit, ou un quotient, de deux nombres en notation scientifique :

• on regroupe :
• d’un côté, les nombres décimaux,
• et, de l’autre, les puissances de $10$ ;
• on effectue les calculs séparément ;
• on veille bien à ce que le nombre décimal qui en résulte est bien compris entre $1$ et $10$ ($10$ exclu).
• Si ce n’est pas le cas, on l’écrit en notation scientifique.