Cours : Effectuer des calculs numériques

Effectuer des calculs numériques : puissances d'un nombre

Introduction :

En classe de 5^e, nous avons appris à calculer avec des nombres relatifs.
En classe de 4^e, nous avons poursuivi les calculs avec les nombres relatifs, et nous avons aussi calculé avec des écritures fractionnaires et les puissances.
Dans ce cours nous allons poursuivre les calculs numériques avec les puissances.

Dans un premier temps nous verrons les puissances d’un nombre relatif puis les règles de calcul pour les puissances. Enfin, nous étudierons les priorités des opérations.

Puissances d’un nombre relatif (en écriture décimale ou en écriture fractionnaire)

Puissances d’exposant entier positif

Définition

Puissance de $a$ exposant $n$ :

$a$ étant un nombre relatif et $n$ étant un nombre entier supérieur à $1$, le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ se note $a^n$.
$a^ n = \underbrace{ a \times a \times … \times a}_{\text {n facteurs}}$
$a^n$ est la puissance d’exposant $n$ du nombre $a$.
$n$ est l’exposant.

Exemple

$2^5=2\times2\times2\times2\times2=32$

$(-3)^3=(-3)\times(-3)\times(-3)=-27$

$(-5)^4=(-5)\times(-5)\times(-5)\times(-5)=625$

$10^6=10\times10\times10\times10\times10\times10=1~000~000$

$(-10)^3=(-10)\times(-10)\times(-10)=-1000$

$\left(\dfrac25\right)^3=\dfrac25\times\dfrac25\times\dfrac25=\dfrac{8}{125}$

$\left(-\frac34\right)^2=\left(-\frac34\right)\times\left(-\frac34\right)=\frac{9}{16}$

Cas particuliers :

Pour tout nombre $a$, $a^1= a$

$(-4)^1=-4$

$2^1=2$

Pour tout nombre $a$ non nul, $a^0=1$

$2,8^0=1$

$\left(-\frac43\right)^0=1$

Pour tout nombre $a$, $a^2$ se lit « au carré ».
Pour tout nombre $a$, $a^3$ se lit « au cube ».

Puissances d’exposant entier négatif

Définition

Inverse d’une puissance :

$a$ étant un nombre relatif non nul et $n$ un nombre entier positif, le nombre $ a^{- n}$ est l’inverse du nombre $a^n$.

$a^{- n}=\frac{1}{ a^ n}$

Cas particuliers :
$a^{-1}$ est l’inverse de $a$ donc $a^{-1}=\dfrac1a$

Exemple

$2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{2\times2\times2}=\dfrac18$

$(-5)^{-2}=\dfrac{1}{(-5)^2}=\dfrac{1}{(-5)\times(-5)}=\dfrac{1}{25}$

$7^{-1}=\dfrac17$

$10^{-3}=\dfrac{1}{10^3}=\dfrac{1}{10\times10\times10}=\dfrac{1}{1000}=0,001$

$\left(\dfrac34\right)^{-2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac34\right)^2}=\dfrac{1}{\dfrac{9}{16}}=\dfrac{16}{9}$

Règles de calcul pour les puissances

Produit de puissances d’un même nombre

À retenir

$a$ désigne un nombre non nul et $m$ et $p$ étant deux nombres entiers relatifs :

$$a^{ m} \times a^{p} = a^{ m+ p}$$

Exemple

$4^{-3}\times4^8=4^{-3+8}=4^5$

$(-6)^{12}\times(-6)^{-8}=(-6)^{12+(-8)}=(-6)^4$

$9\times9^4=9^1\times9^4=9^{1+4}=9^5$

$10^{-1}\times10^{-5}=10^{-1+(-5)}=10^{-6}$

$8^3\times8^{-4}\times8^9=8^8$

Quotient de puissances d’un même nombre

À retenir

$a$ désigne un nombre non nul et $m$ et $p$ étant deux nombres entiers relatifs :

$$\frac{a^{m}}{a^{p}} = a^{ m-p}$$

Exemple

$\dfrac{7^4}{7^9}=7^{4-9}=7^{-5}$

$\dfrac{6^5}{6^{-4}}=6^{5-(-4)}=6^9$

Produit de deux puissances de même exposant

À retenir

$a$ et $b$ désignent deux nombres relatifs non nuls et $m$ désigne un nombre entier relatif.

$$a^{ m} \times b^{ m} = (\text a \times b)^{m}$$

Exemple

$2^3\times5^3=(2\times5)^3=10^3$

$0,2^{-9}\times10^{-9}=(0,2\times10)^{-9}=2^{-9}$

$3^{-5}\times\left(\dfrac13\right)^{-5}=\left(3\times\dfrac13\right)^{-5}=1^{-5}$

$6^4\times\left(\dfrac12\right)^4=\left(6\times\dfrac12\right)^4=3^4$

Quotient de deux puissances de même exposant

À retenir

$a$ et $b$ désignent deux nombres relatifs non nuls et $m$ désigne un nombre entier relatif.

$$\dfrac{ a^{ m}}{ b^{ m}}=\left(\dfrac{ a}{ b}\right)^{m}$$

Exemple

$\left(\dfrac23\right)^4=\dfrac{2^4}{3^4}=\dfrac{16}{81}$

$\dfrac{2,8^{-3}}{0,7^{-3}}=\left(\dfrac{2,8}{0,7}\right)^{-3}=4^{-3}$

Puissance d’une puissance

À retenir

$a$ désigne un nombre relatif non nul, et $m$ et $n$ désignent deux nombres entiers relatifs.

$${(a^m)}^n=a^{m\times n}$$

Exemple

${(3^5)}^3=3^{5\times 3}=3^{15}$

$\left((-7)^{-4}\right)^2=(-7)^{-4\times 2}=(-7)^{-8}$

Priorité des opérations

À retenir

Pour calculer une expression, on effectue :

tout d’abord les calculs entre parenthèses ;
ensuite les puissances ;
puis les multiplications et les divisions ;
et enfin les additions et les soustractions.

Exemple

Calculons $A=6\times(5-3)^3+11-7\times3^2$

Effectuons en priorité les calculs entre parenthèses :
$A=6\times2^3+11-7\times3^2$

Effectuons ensuite les puissances :
$A=6\times8+11-7\times9$

Effectuons ensuite les multiplications :
$A=48+11-63$

Effectuons l’addition et la soustraction de gauche à droite :
$\begin{aligned} A&=48+11-63 \\ A&=59-63 \\ A&=-4 \\ \end{aligned}$

Calculons $B=\frac{2^{11}\times(3^5)^2}{3^6\times2^7}$

Utilisons la propriété II-e pour effectuer $\left(3^5\right)^2$
$B=\frac{2^{11}\times3^{10}}{3^6\times2^7}$

Regroupons les puissances de 2 d’une part et les puissances de 3 d’autre part :
$B=\dfrac{2^{11}}{2^7}\times\dfrac{3^{10}}{3^6}$

Utilisons la propriété II-b pour effectuer d’une part $\dfrac{2^{11}}{2^7}$ et d’autre part $\dfrac{3^{10}}{3^6}$ :

$$\begin{aligned} B&=2^{11-7}\times 3^{10-6} \\ B&=2^4\times3^4 \end{aligned}$$

Utilisons la propriété II-d :
$$\begin{aligned} B&=2^4\times3^4 \\ B&=(2\times3)^4 \\ B&=6^4 \\ B&=1296 \end{aligned}$$

Conclusion :

Ces méthodes de calculs sont très utiles dans divers domaines scientifiques, notamment en physique et en chimie, l’Univers étant structuré du niveau microscopique au niveau macroscopique.