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Effectuer des calculs numériques : puissances d'un nombre

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Introduction :

En classe de 5e, nous avons appris à calculer avec des nombres relatifs.
En classe de 4e, nous avons poursuivi les calculs avec les nombres relatifs, et nous avons aussi calculé avec des écritures fractionnaires et les puissances.
Dans ce cours nous allons poursuivre les calculs numériques avec les puissances.

Dans un premier temps nous verrons les puissances d’un nombre relatif puis les règles de calcul pour les puissances. Enfin, nous étudierons les priorités des opérations.

Puissances d’un nombre relatif (en écriture décimale ou en écriture fractionnaire)

Puissances d’exposant entier positif

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Définition

Puissance de aa exposant nn :

aa étant un nombre relatif et nn étant un nombre entier supérieur à 11, le produit de nn facteurs égaux à aa se note ana^n.
an=a×a××an facteursa^ n = \underbrace{ a \times a \times … \times a}_{\text {n facteurs}}
ana^n est la puissance d’exposant nn du nombre aa.
nn est l’exposant.

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Exemple

25=2×2×2×2×2=322^5=2\times2\times2\times2\times2=32

(3)3=(3)×(3)×(3)=27(-3)^3=(-3)\times(-3)\times(-3)=-27

(5)4=(5)×(5)×(5)×(5)=625(-5)^4=(-5)\times(-5)\times(-5)\times(-5)=625

106=10×10×10×10×10×10=1 000 00010^6=10\times10\times10\times10\times10\times10=1~000~000

(10)3=(10)×(10)×(10)=1000(-10)^3=(-10)\times(-10)\times(-10)=-1000

(25)3=25×25×25=8125\left(\dfrac25\right)^3=\dfrac25\times\dfrac25\times\dfrac25=\dfrac{8}{125}

(34)2=(34)×(34)=916\left(-\frac34\right)^2=\left(-\frac34\right)\times\left(-\frac34\right)=\frac{9}{16}

Cas particuliers :

  • Pour tout nombre aa, a1=aa^1= a

(4)1=4(-4)^1=-4

21=22^1=2

  • Pour tout nombre aa non nul, a0=1a^0=1

2,80=12,8^0=1

(43)0=1\left(-\frac43\right)^0=1

  • Pour tout nombre aa, a2a^2 se lit « au carré ».
  • Pour tout nombre aa, a3a^3 se lit « au cube ».

Puissances d’exposant entier négatif

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Définition

Inverse d’une puissance :

aa étant un nombre relatif non nul et nn un nombre entier positif, le nombre an a^{- n} est l’inverse du nombre ana^n.

an=1ana^{- n}=\frac{1}{ a^ n}

Cas particuliers :
a1a^{-1} est l’inverse de aa donc a1=1aa^{-1}=\dfrac1a

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Exemple

23=123=12×2×2=182^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{2\times2\times2}=\dfrac18

(5)2=1(5)2=1(5)×(5)=125(-5)^{-2}=\dfrac{1}{(-5)^2}=\dfrac{1}{(-5)\times(-5)}=\dfrac{1}{25}

71=177^{-1}=\dfrac17

103=1103=110×10×10=11000=0,00110^{-3}=\dfrac{1}{10^3}=\dfrac{1}{10\times10\times10}=\dfrac{1}{1000}=0,001

(34)2=1(34)2=1916=169\left(\dfrac34\right)^{-2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac34\right)^2}=\dfrac{1}{\dfrac{9}{16}}=\dfrac{16}{9}

Règles de calcul pour les puissances

Produit de puissances d’un même nombre

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À retenir

aa désigne un nombre non nul et mm et oo étant deux nombres entiers relatifs :

am×ap=am+pa^{ m} \times a^{p} = a^{ m+ p}

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Exemple

43×48=43+8=454^{-3}\times4^8=4^{-3+8}=4^5

(6)12×(6)8=(6)12+(8)=(6)4(-6)^{12}\times(-6)^{-8}=(-6)^{12+(-8)}=(-6)^4

9×94=91×94=91+4=959\times9^4=9^1\times9^4=9^{1+4}=9^5

101×105=101+(5)=10610^{-1}\times10^{-5}=10^{-1+(-5)}=10^{-6}

83×84×89=888^3\times8^{-4}\times8^9=8^8

Quotient de puissances d’un même nombre

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À retenir

aa désigne un nombre non nul et mm et pp étant deux nombres entiers relatifs :

amap=amp\frac{a^{m}}{a^{p}} = a^{ m-p}

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Exemple

7479=749=75\dfrac{7^4}{7^9}=7^{4-9}=7^{-5}

6564=65(4)=69\dfrac{6^5}{6^{-4}}=6^{5-(-4)}=6^9

bannière à retenir

À retenir

aa et bb désignent deux nombres relatifs non nuls et mm désigne un nombre entier relatif.

am×bm=(a×b)ma^{ m} \times b^{ m} = (\text a \times b)^{m}

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Exemple

23×53=(2×5)3=1032^3\times5^3=(2\times5)^3=10^3

0,29×109=(0,2×10)9=290,2^{-9}\times10^{-9}=(0,2\times10)^{-9}=2^{-9}

35×(13)5=(3×13)5=153^{-5}\times\left(\dfrac13\right)^{-5}=\left(3\times\dfrac13\right)^{-5}=1^{-5}

64×(12)4=(6×12)4=346^4\times\left(\dfrac12\right)^4=\left(6\times\dfrac12\right)^4=3^4

Quotient de deux puissances de même exposant

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À retenir

aa et bb désignent deux nombres relatifs non nuls et mm désigne un nombre entier relatif.

ambm=(ab)m\dfrac{ a^{ m}}{ b^{ m}}=\left(\dfrac{ a}{ b}\right)^{m}

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Exemple

(23)4=2434=1681\left(\dfrac23\right)^4=\dfrac{2^4}{3^4}=\dfrac{16}{81}

2,830,73=(2,80,7)3=43\dfrac{2,8^{-3}}{0,7^{-3}}=\left(\dfrac{2,8}{0,7}\right)^{-3}=4^{-3}

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À retenir

Pour calculer une expression, on effectue :

  • tout d’abord les calculs entre parenthèses ;
  • ensuite les puissances ;
  • puis les multiplications et les divisions ;
  • et enfin les additions et les soustractions.

Remarque :
Lorsque les opérations ont le même niveau de priorité, on les effectue de gauche à droite.

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Exemple

Calculons A=6×(53)3+117×32A=6\times(5-3)^3+11-7\times3^2

Effectuons en priorité les calculs entre parenthèses :
A=6×23+117×32A=6\times2^3+11-7\times3^2

Effectuons ensuite les puissances :
A=6×8+117×9A=6\times8+11-7\times9

Effectuons ensuite les multiplications :
A=48+1163A=48+11-63

Effectuons l’addition et la soustraction de gauche à droite :
A=48+1163A=5963A=4\begin{aligned} A&=48+11-63 \ A&=59-63 \ A&=-4 \ \end{aligned}

Calculons B=211×(35)236×27B=\frac{2^{11}\times(3^5)^2}{3^6\times2^7}

Utilisons la propriété II-c pour effectuer (35)2\left(3^5\right)^2
B=211×31036×27B=\frac{2^{11}\times3^{10}}{3^6\times2^7}

Regroupons les puissances de 2 d’une part et les puissances de 3 d’autre part :
B=21127×31036B=\dfrac{2^{11}}{2^7}\times\dfrac{3^{10}}{3^6}

Utilisons la propriété II-b pour effectuer d’une part 21127\dfrac{2^{11}}{2^7} et d’autre part 31036\dfrac{3^{10}}{3^6} :

B=2117×3106B=24×34\begin{aligned} B&=2^{11-7}\times 3^{10-6} \ B&=2^4\times3^4 \end{aligned}

Utilisons la propriété II-d :
B=24×34B=(2×3)4B=64B=1296\begin{aligned} B&=2^4\times3^4 \ B&=(2\times3)^4 \ B&=6^4 \ B&=1296 \end{aligned}

Conclusion :

Ces méthodes de calculs sont très utiles dans divers domaines scientifiques, notamment en physique et en chimie, l’Univers étant structuré du niveau microscopique au niveau macroscopique.