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Effectuer des calculs numériques : puissances d'un nombre
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Introduction :
En classe de 5e, nous avons appris à calculer avec des nombres relatifs.
En classe de 4e, nous avons poursuivi les calculs avec les nombres relatifs, et nous avons aussi calculé avec des écritures fractionnaires et les puissances.
Dans ce cours nous allons poursuivre les calculs numériques avec les puissances.
Dans un premier temps nous verrons les puissances d’un nombre relatif puis les règles de calcul pour les puissances. Enfin, nous étudierons les priorités des opérations.
Puissances d’un nombre relatif (en écriture décimale ou en écriture fractionnaire)
Puissances d’exposant entier positif
Puissance de exposant :
étant un nombre relatif et étant un nombre entier supérieur à , le produit de facteurs égaux à se note .
est la puissance d’exposant du nombre .
est l’exposant.
Cas particuliers :
Puissances d’exposant entier négatif
Inverse d’une puissance :
étant un nombre relatif non nul et un nombre entier positif, le nombre est l’inverse du nombre .
Cas particuliers :
est l’inverse de donc
Règles de calcul pour les puissances
Produit de puissances d’un même nombre
désigne un nombre non nul et et étant deux nombres entiers relatifs :
Quotient de puissances d’un même nombre
désigne un nombre non nul et et étant deux nombres entiers relatifs :
et désignent deux nombres relatifs non nuls et désigne un nombre entier relatif.
Quotient de deux puissances de même exposant
et désignent deux nombres relatifs non nuls et désigne un nombre entier relatif.
Pour calculer une expression, on effectue :
Remarque :
Lorsque les opérations ont le même niveau de priorité, on les effectue de gauche à droite.
Calculons
Effectuons en priorité les calculs entre parenthèses :
Effectuons ensuite les puissances :
Effectuons ensuite les multiplications :
Effectuons l’addition et la soustraction de gauche à droite :
Calculons
Utilisons la propriété II-c pour effectuer
Regroupons les puissances de 2 d’une part et les puissances de 3 d’autre part :
Utilisons la propriété II-b pour effectuer d’une part et d’autre part :
Utilisons la propriété II-b :
Conclusion :
Ces méthodes de calculs sont très utiles dans divers domaines scientifiques, notamment en physique et en chimie, l’Univers étant structuré du niveau microscopique au niveau macroscopique.