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Équations de droites

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Déterminer l’équation d’une droite

Il existe 3 types de droites.

  • Les droites verticales d’équations x=kx=k avec kk réel. Ces droites ne représentent pas une fonction.
  • Les droites horizontales d’équations y=ky=k avec kk réel. Ces droites ont pour coefficient directeur 00 et pour ordonnée à l’origine kk. Ces droites sont les représentations graphiques des fonctions constantes f(x)=kf(x)=k.
  • Les droites obliques d’équations y=ax+by=ax+b avec aa le coefficient directeur et bb l’ordonnée à l’origine. Ces droites sont les représentations graphiques des fonctions affines f(x)=ax+bf(x)=ax+b.

Trouver le coefficient directeur d’une droite

  • Pour trouver le coefficient directeur d’une droite, on a besoin de connaître 2 points A(xA ;yA)A(xA\ ; yA )et B(xB ;yB)B(xB\ ;yB) qui appartiennent à la droite.

On applique la formule ci-dessous : a=yByAxBxAa=\dfrac {yB-yA}{xB-xA}

  • Pour trouver l’ordonnée à l’origine, on utilise à nouveau l’un des 2 points, par exemple le point A(xA ;yA)A(xA\ ; yA )

Comme il appartient à la droite cherchée, on peut écrire l’équation :

yA=a×xA+byA=a\times xA+b

On trouve bb en résolvant l’équation.

Résolution de système d’équations

Définitions :

  • Les nombres aa, bb, cc, aa', bb' et cc' sont des réels avec a0a\neq 0, b0b\neq 0, a0a'\neq 0 et b0b'\neq 0.

Résoudre le système :

{ax+by=cax+by=c\left\lbrace \begin {array}{lcl} ax+by&=&c\ a'x+b'y&=&c'\ \end{array} \right.

revient à déterminer le couple de réels (x ;y)(x\ ;y) vérifiant simultanément les deux équations.

On remarque que ces 2 équations sont en fait des équations de droites.

ax+by=cax+by=c revient à écrire y=abx+cby=-\dfrac {a}{b} x+\dfrac {c}{b} ce qui est l’équation réduite d’une droite oblique avec ab-\dfrac {a}{b} le coefficient directeur et cb\dfrac {c}{b} l’ordonnée à l’origine.

D’où la deuxième définition :

  • Résoudre graphiquement un système revient à déterminer le point d’intersection des droites d’équation ax+by=cax+by=c et ax+by=ca' x+b' y=c'

Il faut tout de même vérifier à ce que les droites ne soient pas parallèles.

  • Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.

Méthode par substitution

Cette méthode est utilisée lorsqu’une des inconnues a pour coefficient 11.

Par exemple :

{3x+5y=26x+y=13\begin{aligned}\left\lbrace \begin {array}{lcl} 3x+5y&=&2\ 6x+y&=&13\ \end{array} \right.\end{aligned}

  • À l’aide de l’une des équations, on exprime une inconnue en fonction de l’autre. On reporte cette expression dans la seconde équation qui ne comporte plus qu’une inconnue, équation que l’on sait résoudre. Il suffit ensuite de calculer la seconde inconnue.

Méthode par combinaison

Cette méthode est utilisée lorsqu’aucune des inconnues n’a pour coefficient 11.

Par exemple :

{2x+7y=45x+8y=3\begin{aligned}\left\lbrace \begin {array}{lcl} 2x+7y&=&4\ 5x+8y&=&3\ \end{array} \right.\end{aligned}

  • On multiplie chacune des équations par un réel approprié de telle façon qu’en additionnant les deux nouvelles équations, l’une des inconnues est éliminée. On peut alors déterminer l’autre inconnue et résoudre le système.