Équations de droites : Fiche de cours - Mathématiques

Introduction :

Une équation de droite permet de mettre en relation les coordonnées $x$ et $y$ de tous les points appartenant à cette droite.
Par exemple : $y=2x-3$ .
On a exprimé ici l'ordonnée $y$ des points de la droite en fonction des abscisses $x$ de ces points.

Dans ce cours, nous allons nous pencher sur les équations de droites et plus précisément sur la façon de les déterminer, de trouver une représentation graphique à partir d'une équation et de résoudre un système d'équations.

Vecteur directeur d’une droite

Définition

Vecteur directeur :

On appelle vecteur directeur $\overrightarrow{v}$ d’une droite $(d)$ un vecteur qui a la même direction que $(d)$ .

$Vecteur directeur$ Vecteur directeur

Le vecteur directeur d’une droite n’est pas unique : deux points quelconques de la droite peuvent définir un vecteur directeur.

Si on a deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ directeurs de la droite $(d)$ , alors $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires et on a $det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})=0$ .

Exemple

Soit la droite $(\text{AB})$ définie par les points $\text{A}(-2\,;1)$ et $\text{B}(0\,;5)$ . Le vecteur $\overrightarrow{AB}=(2\,;4)$ est un vecteur directeur de la droite $(\text{AB})$ . $3\overrightarrow{AB}=(6\,;12)$ ou $-\overrightarrow{AB}=(-2\,;4)$ sont tous les deux des vecteurs directeurs de la droite $(\text{AB})$ .

Déterminer l'équation d'une droite

Il y a 3 types de droites :

les droites parallèles à l'axe des ordonnées : les droites verticales,
les droites parallèles à l'axe des abscisses : les droites horizontales,
les droites non parallèles aux axes du repère : les droites obliques.

Droites verticales

Définition

Équation réduite d'une droite verticale :

L'équation réduite d'une droite verticale s'écrit $x=k$ où $k$ est un nombre réel constant.

Exemple

Soit $x=-2$

Cette équation de droite signifie que tous les points qui ont pour abscisse $-2$ décrivent cette droite quelle que soit la valeur de leur ordonnée.

Les points $A(-2\ ; 0)$ ; $B(-2\ ; 26)$ ; $C(-2\ ; 36)$ et $D(-2\ ; \dfrac{\sqrt{5}}{6})$ appartiennent tous à la droite d'équation $x=-2$ .

Cette droite d’équation $x=-2$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}(0\,;1)$ .

À retenir

Pour trouver l'équation réduite d'une droite verticale, il suffit de connaître un point qui appartient à cette droite et de prendre son abscisse.

Exemple

Le point $(-3\ ;-8)$ appartient à la droite verticale $d$ .

Donc $d:x=-3$

Droites horizontales

Définition

Équation réduite d'une droite horizontale :

L'équation réduite d'une droite horizontale s'écrit $y=k$ où $k$ est un nombre réel constant.

Exemple

Soit $y=7$

Cette équation de droite signifie que tous les points qui ont pour ordonnée $7$ décrivent cette droite quelle que soit la valeur de leur abscisse.

Les points $A(86\ ;7)$ ; $B(-\dfrac{2}{3}\ ;7)$ ; $C(-2\ ;7)$ et $D(0\ ;7)$ appartiennent tous à la droite d'équation $y=7$ .

Cette droite d’équation $y=7$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{v}(1\,;0)$ .

À retenir

Pour trouver l'équation réduite d'une droite horizontale, il suffit de connaître un point qui appartient à cette droite et de prendre son ordonnée.

Exemple

Le point $(-3\ ;-8)$ appartient à la droite horizontale $d$ .

Donc $d:y=-8$

Droites obliques

Définition

Équation réduite d'une droite oblique :

L'équation réduite d'une droite oblique s'écrit $y=ax+b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels constants.

$a$ est le coefficient directeur. C'est le nombre qui multiplie l'abscisse $x$ des points de la droite.

$b$ est l'ordonnée à l'origine. C'est le nombre qui est additionné ou soustrait.

Exemple

Soit $y=5x-3$
$5$ est le coefficient directeur.
$-3$ est l'ordonnée à l'origine.

À retenir

Pour trouver le coefficient directeur d'une droite, on a besoin de connaître deux points $A(x$ et $B(x$ qui appartiennent à la droite dont on cherche l'équation réduite.

Ensuite, il suffit d'appliquer la formule : $a=\dfrac{y$

Pour trouver l'ordonnée à l'origine, on utilise à nouveau l'un des deux points, par exemple le point $A(x$ .

Comme il appartient à la droite cherchée, on peut écrire l'équation : $y$

Astuce

Dans l'équation $y$ , comme on connaît le $a$ calculé juste avant ainsi que $x$ et $y$ A $y_{A}$ qui sont les coordonnées du point $A$ , on peut résoudre l'équation pour trouver le $b$ .

Exemple

Soient $A(2\ ;5)$ et $B(3\ ;4)$ deux points appartenant à la droite $d$ .

Le coefficient directeur de $d$ est $a=\dfrac{4-5}{3-2}=-1$

Le point $A(2\ ;5)\in d$ donc :

$\begin{aligned} y$

Donc la droite $d$ a pour équation réduite $y=-x+7$

Équation cartésienne d’une droite

Définition

Équation cartésienne d’une droite :

Soit une droite $(d)$ déterminée par une point $\text{A}(x$ et un vecteur directeur $\overrightarrow{u}(-b\,; a)$ , avec $a$ et $b$ non nuls. Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est du type :

$ax+by+c=0$

Démonstration

Soit un point $\text{M}(x\,; y)$ un point quelconque de la droite $(d)$ . On a alors les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ qui sont colinéaires, c’est-à-dire que $det(\overrightarrow{AM}\,; \overrightarrow{u})$ est nul.

On a $\overrightarrow{AM}(x-x$ et donc $det(\overrightarrow{AM}\,; \overrightarrow{u})=a(x-x$ . Ainsi, $ax+by-ax$ et si on pose $c=-ax$ , on obtient la relation :

$ax+by+c=0$

Si on a seulement l’équation réduite d’une droite de la forme $y=mx+p$ , alors un vecteur directeur de la droite est $\overrightarrow{u}(1\,; m)$ .

L’équation cartésienne d’une droite n’est pas unique. Il est possible de multiplier les coefficients par un facteur $k$ non nul.
Par exemple, la droite d’équation $-2x-y+A=0$ , si on multiplie les coefficients par $-2$ , devient la droite d’équation $4x+2y_2=0$ .

Exemple

Soit la droite verticale passant par le point $\text{A}(2\,; 1)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(0\,; 2)$ .

Soit $\text{M}(x\,; y)$ un point quelconque de la droite : alors $\overrightarrow{AM}(x-2\,; y-1)$ et on a $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AM}$ colinéaires. Ainsi, $det(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{u})=0(y-1)-2(x-2)=0$ . On obtient alors comme équation cartésienne de cette droite :

$x=2$

Soit la droite horizontale passant par le point $\text{B}(-2\,; 3)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{v}(1\,; 0)$ .

Soit $\text{M}(x\,; y)$ un point quelconque de la droite : alors $\overrightarrow{BM}(x+2\,; y-3)$ et on a $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{BM}$ colinéaires. Ainsi, $det(\overrightarrow{BM}, \overrightarrow{v})=0(y+2)-2(y-3)=0$ . On obtient alors comme équation cartésienne de cette droite :

$y=3$

Soit la droite oblique passant par les points $\text{C}(0\,; -2)$ et $\text{D}(-3\,; 1)$ . On peut prendre comme vecteur directeur de la droite $(DC)$ le vecteur $\overrightarrow{DC}(-3\,; 3)$ .

Soit $\text{M}(x\,; y)$ un point quelconque de la droite $(DC)$ : alors $\overrightarrow{CM}(x\,; y+2)$ et on a $\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{CM}$ colinéaires. Ainsi, $det(\overrightarrow{CM}, \overrightarrow{DC})=3x-(-3)(y+2)=0$ . On obtient alors comme équation cartésienne de cette droite :

$3x+3y+6=0$

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