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Introduction :
Une équation de droite permet de mettre en relation les coordonnées et de tous les points appartenant à cette droite.
Par exemple : .
On a exprimé ici l'ordonnée des points de la droite en fonction des abscisses de ces points.
Dans ce cours, nous allons nous pencher sur les équations de droites et plus précisément sur la façon de les déterminer, de trouver une représentation graphique à partir d'une équation et de résoudre un système d'équations.
Vecteur directeur d’une droite
Vecteur directeur :
On appelle vecteur directeur d’une droite un vecteur qui a la même direction que .
Vecteur directeur
Le vecteur directeur d’une droite n’est pas unique : deux points quelconques de la droite peuvent définir un vecteur directeur.
Si on a deux vecteurs et directeurs de la droite , alors et sont colinéaires et on a .
Soit la droite définie par les points et . Le vecteur est un vecteur directeur de la droite . ou sont tous les deux des vecteurs directeurs de la droite .
Déterminer l'équation d'une droite
Il y a 3 types de droites :
Droites non parallèles à l’axe des ordonnées
Équation réduite d'une droite non parallèle à l’axe des ordonnées :
L'équation réduite d'une droite oblique s'écrit où et sont deux nombres réels fixés.
est le coefficient directeur. C'est le nombre qui multiplie l'abscisse des points de la droite.
est l'ordonnée à l'origine. C'est le nombre qui est additionné ou soustrait.
Ensuite, il suffit d'appliquer la formule :
Comme il appartient à la droite cherchée, on peut écrire l'équation :
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Dans l'équation , comme on connaît le calculé juste avant ainsi que et qui sont les coordonnées du point , on peut résoudre l'équation pour trouver le .
Le coefficient directeur de est
Le point donc :
Donc la droite a pour équation réduite
Si, dans l’équation réduite, , alors nous avons un cas particulier, celui d’une droite parallèle à l’axe des abcisses.
Droites parallèle à l’axe des abscisses
Équation réduite d'une droite parallèle à l’axe des abscisses (horizontale) :
L'équation réduite d'une droite horizontale s'écrit où est un nombre réel fixé.
Cette équation de droite signifie que tous les points qui ont pour ordonnée décrivent cette droite quelle que soit la valeur de leur abscisse.
Les points , ; et appartiennent tous à la droite d'équation .
Cette droite d’équation a pour vecteur directeur .
Pour trouver l'équation réduite d'une droite horizontale, il suffit de connaître un point qui appartient à cette droite et de prendre son ordonnée.
Le point appartient à la droite horizontale .
Droites parallèles à l’axe des ordonnées
Équation réduite d'une droite parallèles à l’axe des ordonnées (verticale) :
L'équation réduite d'une droite verticale s'écrit où est un nombre réel fixé.
Cette équation de droite signifie que tous les points qui ont pour abscisse décrivent cette droite quelle que soit la valeur de leur ordonnée.
Les points , , et appartiennent tous à la droite d'équation .
Cette droite d’équation a pour vecteur directeur .
Pour trouver l'équation réduite d'une droite verticale, il suffit de connaître un point qui appartient à cette droite et de prendre son abscisse.
Le point appartient à la droite verticale .
Équation cartésienne d’une droite
Équation cartésienne d’une droite :
Soit une droite déterminée par une point et un vecteur directeur , avec (. Une équation cartésienne de la droite est du type :
Soit un point un point quelconque de la droite . On a alors les vecteurs et qui sont colinéaires, c’est-à-dire que est nul.
On a et donc :
Ainsi, et si on pose , on obtient la relation :
Si on a seulement l’équation réduite d’une droite de la forme , alors un vecteur directeur de la droite est .
L’équation cartésienne d’une droite n’est pas unique. Il est possible de multiplier les coefficients par un facteur non nul.
Par exemple, la droite d’équation , si on multiplie les coefficients par , devient la droite d’équation .
Soit un point quelconque de la droite : alors et on a et colinéaires.
Ainsi, . On obtient alors comme équation cartésienne de cette droite :
Soit un point quelconque de la droite : alors et on a et colinéaires.
Ainsi, . On obtient alors comme équation cartésienne de cette droite :
Soit un point quelconque de la droite : alors et on a et colinéaires.
Ainsi, . On obtient alors comme équation cartésienne de cette droite :
Représentation graphique d'une droite
Droites non parallèles aux axes du repère
Il faut trouver deux points qui appartiennent à cette droite, puis tracer la droite qui passe par ces deux points. Pour cela, on donne à deux valeurs particulières et on calcule les valeurs de correspondantes.
Donc la droite passe par les points et .
La droite d'équation y = 3x + 1
Droites parallèles à l’axe des abscisses
On sait que est une droite horizontale car son équation est de la forme avec réel.
On place donc le point de coordonnées et on trace une droite parallèle à l'axe des abscisses qui passe par ce point.
La droite d'équation y = 5
Droites parallèles à l’axe des ordonnées
On sait que est une droite verticale car son équation est de la forme avec réel.
On place donc le point de coordonnées et on trace une droite parallèle à l'axe des ordonnées qui passe par ce point.
La droite d'équation x = -2
Résolution de système d'équations
Résolution d'un système :
Les nombres , , , , et sont des réels avec , , et .
Soit le système
Résoudre le système revient à déterminer le couple de réels vérifiant simultanément les deux équations.
Dans la définition plus haut, nous avons supposés , , et tous non nuls. Mais le système peut évidemment être résolu :
On remarque que le système est constitué de deux équations cartésiennes de droites.
Résolution graphique d'un système :
Soit le système
Résoudre graphiquement un système revient à déterminer le point d'intersection des droites d'équation et .
Il y a trois types de cas :
Pour résoudre un système d'équations, on peut utiliser la méthode par substitution ou la méthode par combinaison.
Méthode par substitution
Cette méthode est utilisée lorsqu'une des inconnues a pour coefficient .
Faire le calcul dans les deux équations permet de s'assurer que l'on n'a pas commis d'erreur.
À l'aide de l'une des équations, on exprime une inconnue en fonction de l'autre. On reporte cette expression dans la seconde équation qui ne comporte plus qu'une inconnue, équation que l'on sait résoudre. Il suffit ensuite de calculer la seconde inconnue.
Méthode par combinaison
Cette méthode est utilisée lorsqu'aucune des inconnues n'a pour coefficient .
Ici, multiplier par et par semble le plus simple.
Donc, en additionnant les deux équations, on obtient :
On multiplie chacune des équations par un réel approprié de telle façon qu'en additionnant les deux nouvelles équations, l'une des inconnues est éliminée. On peut alors déterminer l'autre inconnue et résoudre le système.
Conclusion :
Nous avons vu qu’il existe deux façons de définir une droite dans un repère orthonormé : par son équation cartésienne, obtenue grâce au déterminant de deux vecteurs, ou par un de ses points et un vecteur directeur.
C’est par l’une ou l’autre caractérisation qu’il sera possible de résoudre des problèmes de parallélisme ou de déterminer les coordonnées du point d’intersection de plusieurs droites.