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Équations de droites

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Vecteur directeur d’une droite

  • On appelle vecteur directeur v\vec{v} d’une droite (d)(d) un vecteur qui a la même direction que (d)(d). Il n’est pas unique : deux points quelconques de la droite peuvent définir un vecteur directeur.
  • Si on a deux vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} directeurs de la droite (d)(d), alors u\vec{u} et v\vec{v} sont colinéaires et on a det(u,v)=0det(\vec{u}, \vec{v})=0

Déterminer l'équation d'une droite

Il y a 3 types de droites :

  • Les droites parallèles à l'axe des ordonnées : les droites verticales
  • L'équation réduite d'une droite verticale s'écrit x=kx=kkk est un nombre réel constant.
  • Pour trouver l'équation réduite d'une droite verticale, il suffit de connaître un point qui appartient à cette droite et de prendre son abscisse.
  • Les droites parallèles à l'axe des abscisses : les droites horizontales
  • L'équation réduite d'une droite horizontale s'écrit y=ky=kkk est un nombre réel constant.
  • Pour trouver l'équation réduite d'une droite horizontale, il suffit de connaître un point qui appartient à cette droite et de prendre son ordonnée.
  • Les droites non parallèles aux axes du repère : les droites obliques
  • L'équation réduite d'une droite oblique s'écrit y=ax+by=ax+baa et bb sont deux nombres réels constants. aa est le coefficient directeur. C'est le nombre qui multiplie l'abscisse xx des points de la droite. bb est l'ordonnée à l'origine. C'est le nombre qui est additionné ou soustrait.
  • Pour trouver le coefficient directeur d'une droite, on a besoin de connaître deux points A(xA ;yA)\small A\,(xA\ ;yA) et B(xB ;yB)\small B\,(xB\ ;yB) qui appartiennent à la droite dont on cherche l'équation réduite. Ensuite, il suffit d'appliquer la formule : a=yByAxBxA a=\frac{yB-yA}{xB-xA}
  • Pour trouver l'ordonnée à l'origine, on utilise à nouveau l'un des deux points, par exemple le point A(xA ;yA)\small A\,(xA\ ;yA). Comme il appartient à la droite cherchée, on peut écrire l'équation : yA=a×xA+b\small yA=a\times xA+b
  • Équation cartésienne d’une droite : soit une droite (d)(d) déterminée par une point A(xA;yA)\small \text{A}\,(xA\,; yA) et un vecteur directeur u(b;a)\vec{u}\,(-b\,; a), avec aa et bb non nuls. Une équation cartésienne de la droite (d)(d) est du type : ax+by+c=0ax+by+c=0

Représentation graphique d'une droite

La droite d'équation y = 5

  • Cette droite est la représentation graphique de la fonction constante f(x)=5f(x)=5.
  • Cette droite est une droite oblique qui a pour coefficient directeur 00 et pour ordonnée à l'origine 55.

La droite d'équation y = 3x + 1

  • Cette droite est la représentation graphique de la fonction affine f(x)=3x+1f(x) = 3x + 1.
  • Cette droite est une droite oblique qui a pour coefficient directeur 33 et ordonnée à l'origine 11.

Résolution de système d'équations

  • Résolution d'un système : les nombres aa, bb, cc, aa', bb' et cc' sont des réels avec a0a\neq0, b0b\neq0, a0a'\neq0 et b0b'\neq0.
  • Soit le système {ax+by=cax+by=c\begin{aligned}\left\lbrace \begin {array}{lcl} ax+by=c\ a'x+b'y=c'\ \end{array} \right.\end{aligned}
  • Résoudre le système revient à déterminer le couple de réels (x ;y)(x\ ;y) vérifiant simultanément les deux équations.
  • Résolution graphique d'un système :soit le système {ax+by=cax+by=c\begin{aligned}\left\lbrace \begin {array}{lcl} ax+by&=&c\ a'x+b'y&=&c'\ \end{array} \right.\end{aligned}
  • Résoudre graphiquement un système revient à déterminer le point d'intersection des droites d'équation ax+by=cax+by=c et ax+by=ca'x+b'y=c'
  • Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.
  • Pour résoudre un système d'équations, on peut utiliser :
  • La méthode par substitution, utilisée lorsqu'une des inconnues a pour coefficient 11.
  • On multiplie chacune des équations par un réel approprié de telle façon qu'en additionnant les deux nouvelles équations, l'une des inconnues est éliminée. On peut alors déterminer l'autre inconnue et résoudre le système.
  • La méthode par combinaison, utilisée lorsqu'aucune des inconnues n'a pour coefficient 11.
  • On multiplie chacune des équations par un réel approprié de telle façon qu'en additionnant les deux nouvelles équations, l'une des inconnues est éliminée. On peut alors déterminer l'autre inconnue et résoudre le système.