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Marianne

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Équations et inéquations

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Rappels sur le calcul algébrique

Distributivité

Définitions :

  • Développer, c’est transformer un produit de facteurs en une somme de termes.
  • Factoriser, c’est transformer une somme de termes en un produit de facteurs.

Identités remarquables

Identités remarquables développer factoriser-mathématiques-seconde

Reconnaître et résoudre des équations

Quelques formes usuelles d’équations

Forme 1 : premier degré (fonction affine) ax+b=0ax+b=0

Forme 2 : second degré (fonction carré) x2=ax^2=a

Forme 3 : produit nul (fonction polynôme du second degré) (ax+b)(cx+d)=0(ax+b)(cx+d)=0

Forme 4 : quotient (fonction homographique) ax+bcx+d=0\dfrac {ax+b}{cx+d}=0

Méthodes de résolution

Forme 1 :

La valeur de xx solution des équations de la forme ax+b=0ax+b=0 est : x=bax=-\dfrac{b}{a}

Forme 2 :

  • Si a<0a < 0, l’équation x2=ax^2=a n’a pas de solution :

S=S=\emptyset

  • Si a=0a=0, l’équation x2=ax^2=a a une unique solution :

S=S={00}

  • Si a>0a > 0, l’équation x2=ax^2=a a deux solutions opposées :

S=S={k;k-\sqrt k ; \sqrt k}.

Forme 3 :

La résolution de l’équation se fait à l’aide de la propriété suivante :

Un produit est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs est nul.

Forme 4 :

Il s’agit d’une équation quotient qu’on résout grâce à la propriété suivante :

Toute expression du type ax+bcx+d=0\dfrac {ax+b}{cx+d}=0 avec a,b,c,da,b,c,d réels et c0c \neq 0 est appelée équation quotient.

Pour tout xx, n’annulant pas l’expression cx+dcx+d, l’expression ax+bcx+d=0\dfrac{ax+b}{cx+d}=0 équivaut à ax+b=0ax+b=0

Résolution algébrique d’inéquations

Résolution d’une inéquation produit

Il est très utile (voire indispensable) de construire un tableau de signes.

Pour résoudre une inéquation-produit du type (ax+b)(cx+d)0(ax+b)(cx+d) \geq 0 (ou >;;<> ; \leq ; <), il faut d’abord étudier le signe du produit (ax+b)(cx+d).(ax+b)(cx+d).

Pour cela, il faut étudier le signe de chacun des facteurs de ce produit puis appliquer la règle des signes.

Résolution d’une inéquation-quotient

Comme pour l’inéquation-produit, il faut construire un tableau de signes.

On étudie le signe du numérateur et celui du dénominateur puis on applique la règle des signes qui est la suivante :

  • ++ par +++\rightarrow+
  • - par ++ \rightarrow-
  • ++ par - \rightarrow -
  • - par +- \rightarrow +
bannière attention

Attention

Lorsqu’il y a une valeur interdite (représentée dans le tableau par une double-barre), cette valeur ne peut pas être comprise dans l’ensemble solution et le crochet doit donc toujours être ouvert en cette valeur.