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La gravitation universelle et les lois de Kepler

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Théorie de la gravitation universelle

  • Force d’attraction gravitationnelle :

Deux objets $A$ et $B$ de masses respectives et dont les centres de gravité sont séparés d’une distance $d$, qui exercent l’une sur l’autre des forces attractives de même valeur est notée par la relation suivante :

$${F_{A/B}}={F_{B/A}}=G \cdot \dfrac{m_A \cdot m_B}{d^2}$$

  • Troisième loi de Newton : principe des actions réciproques

Les forces exercées par le corps $A$ sur le corps $B$ et par le corps $B$ sur le corps $A$, sont dites réciproques : elles ont même intensité, même direction mais ont un sens opposé. La relation est donc la suivante :

$$\overrightarrow{F_{A/B}}=-\overrightarrow{F_{B/A}}=-G. \dfrac{m_A.m_B}{d^2}.\overrightarrow{u_{AB}}$$

  • Deuxième loi de Newton :

$\overrightarrow{F_{S/P}}=m_p.\overrightarrow{a}$

soit $m_p.\overrightarrow{a}=G.\dfrac{m_P.m_S}{r^2}.\overrightarrow{u}$

et $\overrightarrow{a}=G.\dfrac{m_s}{r^2}.\overrightarrow{u}$

  • d'où $a=G.\overrightarrow{m_s}.{r^2}$
  • Une planète ou un satellite qui tourne autour de son astre attracteur a un vecteur accélération dirigé vers le centre de sa trajectoire circulaire, donc son mouvement est circulaire uniforme et $\overrightarrow{v}.\overrightarrow{a}=0$.
  • Il est possible de démontrer que $a=\dfrac{v^2}{r}$
  • $v=\sqrt{\dfrac{G.m_s}{r}}$
  • La période de révolution $T$ d’une planète ou d’un satellite est la durée mise pour faire un tour complet sur son orbite autour de son astre attracteur : $T= 2\pi.\sqrt{\dfrac{r^3}{G.M_s}}$

Lois de Kepler

  • Les trois lois de Kepler s’appliquent à tous les corps en orbite autour d’un astre.
  • Première loi de Kepler :
    Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire d’une planète est une ellipse et le centre du soleil occupe un des deux foyers.
  • Deuxième loi de Kepler :
    Le segment reliant le Soleil à la planète balaye des aires égales pendant des durées égales.
  • Troisième loi de Kepler :
    $\dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{G.M}$