Fiche de révision : La gravitation universelle et les lois de Kepler

Théorie de la gravitation universelle

• Force d’attraction gravitationnelle :

Deux objets $A$ et $B$ de masses respectives et dont les centres de gravité sont séparés d’une distance $d$, qui exercent l’une sur l’autre des forces attractives de même valeur est notée par la relation suivante :

$${F_{A/B}}={F_{B/A}}=G \cdot \dfrac{m_A \cdot m_B}{d^2}$$

• Troisième loi de Newton : principe des actions réciproques

Les forces exercées par le corps $A$ sur le corps $B$ et par le corps $B$ sur le corps $A$, sont dites réciproques : elles ont même intensité, même direction mais ont un sens opposé. La relation est donc la suivante :

$$\overrightarrow{F_{A/B}}=-\overrightarrow{F_{B/A}}=-G. \dfrac{m_A.m_B}{d^2}.\overrightarrow{u_{AB}}$$

• Deuxième loi de Newton :

• Une planète ou un satellite qui tourne autour de son astre attracteur a un vecteur accélération dirigé vers le centre de sa trajectoire circulaire, donc son mouvement est circulaire uniforme et $\overrightarrow{v}.\overrightarrow{a}=0$.
• Il est possible de démontrer que $a=\dfrac{v^2}{r}$
• $v=\sqrt{\dfrac{G.m_s}{r}}$
• La période de révolution $T$ d’une planète ou d’un satellite est la durée mise pour faire un tour complet sur son orbite autour de son astre attracteur : $T= 2\pi.\sqrt{\dfrac{r^3}{G.M_s}}$

Lois de Kepler

• Les trois lois de Kepler s’appliquent à tous les corps en orbite autour d’un astre.
• Première loi de Kepler :
  Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire d’une planète est une ellipse et le centre du soleil occupe un des deux foyers.
• Deuxième loi de Kepler :
  Le segment reliant le Soleil à la planète balaye des aires égales pendant des durées égales.
• Troisième loi de Kepler :
  $\dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{G.M}$