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La gravitation universelle et les lois de Kepler

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Introduction :

Ce cours porte sur le thème du temps, et plus précisément sur l’étude du mouvement des planètes et des satellites.

Dans un premier temps nous verrons la théorie de la gravitation universelle et son application au mouvement des planètes et des satellites. Dans un second temps nous étudierons les lois de Kepler.

Théorie de la gravitation universelle

Gravitation universelle

Isaac Newton a montré que deux corps A et B exercent l’un sur l’autre une force qui dépend de leur masse et du carré de la distance qui les sépare.

On définit la position d’un objet par son centre de gravité, qui est le point d’application de la résultante des forces de gravité.

  • Vous pourrez croiser lors de certains exercices le terme « centre d’inertie » qui est le point central autour duquel la masse de l’objet est régulièrement répartie.
bannière attention

Attention

Ces deux points sont confondus quand le champ de gravité est uniforme, ce qui sera toujours le cas à votre niveau d’étude. Par conséquent en classe de seconde vous pourrez être confrontés aux deux appellations sans avoir besoin de les différencier.

bannière definition

Définition

Force d’attraction gravitationnelle :

Deux corps AA et BB de masses respectives et dont les centres de gravité sont séparés d’une distance dd, qui exercent l’une sur l’autre des forces attractives de même valeur est notée par la relation suivante :

FA/B=FB/A=G×mA×mBd2{F{A/B}}={F{B/A}}=G \times \dfrac{mA \times mB}{d^2}

Sa notation vectorielle est la suivante :

\overrightarrow{F}{A/B}=-\overrightarrow{F}{B/A}=-G.\dfrac{mA.mB}{d^2}.\overrightarrow{u}_{AB}

Ici uAB\vec{u}_{AB} est un vecteur unitaire qui va de AA à BB, et GG, la constante de gravitation universelle : G=6,671011m3 kg1s2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{m}^3\ \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}.

  • Cette écriture, qui peut sembler un peu compliquée, décrit simplement que la force que le corps AA applique sur le corps BB a la même valeur absolue que celle appliquée par BB sur AA.
  • Un vecteur ne pouvant être égal à une valeur seule (puisque un vecteur a un sens, une direction et une norme), on doit ajouter un vecteur unitaire uAB\stackrel {→}{u_{AB}}
bannière exemple

Exemple

L’une des principales applications est le calcul du mouvement des planètes. Par exemple, la force d’interaction entre la Terre et la Lune a une intensité de : FT/L=FL/T=G×mT×mLd2=1,99×1020NF{T/L} =F{L/T} = G \times \dfrac{mT \times mL}{d^2} = 1,99 \times 10^{20} N.

  • avec mT=5,98×1024 kgm_T= 5,98 \times 10^{24}\ \text{kg} ;
  • mL=7,34×1022 kgm_L=7,34 \times 10^{22}\ \text{kg} ;
  • d=384 000 kmd= 384\ 000\ \text{km}.

Application au mouvement d’une planète ou d’un satellite

Dans le référentiel héliocentrique, si on fait l’approximation des trajectoires circulaires (c’est-à-dire que l’on considère que la trajectoire est un cercle. En réalité il s’agit d’une ellipse) :

  • soit une planète de centre PP, de masse mPmP qui tourne autour du soleil de centre SS et de masse mSmS, selon une orbite circulaire de rayon rr,
  • on considère qu’elle n’est soumise qu’à l’attraction du soleil modélisée par la force gravitationnelle (on négligera les autres interactions).
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À retenir

On peut écrire d’après la deuxième loi de Newton : FS/P=mPa\vec{F{S/P}}=mP \cdot \vec{a} \: soit \: mPa=GmP.mSr2umP \cdot \vec{a}=G \cdot \dfrac {mP.mS}{r^2} \cdot \stackrel {→}{u} \: et \: a=GmSr2u\stackrel {→}{a}=G \cdot \dfrac {mS}{r^2} \cdot \stackrel {→}{u} \: d’où \: a=G×mSr2a=G \times \dfrac{m_S}{r^2}

Une planète ou un satellite qui tourne autour de son astre attracteur a un vecteur accélération dirigé vers le centre de sa trajectoire circulaire, donc son mouvement est circulaire uniforme et va=0\stackrel{→}{v} \cdot \stackrel{→}{a}=0 et il est possible de démontrer que a=v2ra=\dfrac {v^2}{r}.

  • La formule a=v2ra=\dfrac {v^2}{r} est à connaitre, mais pas sa démonstration.

Il est possible de retrouver la formule a=v2ra=\dfrac {v^2}{r} :

  • Nous savons déjà qu’une fonction position dérivée par rapport au temps est égale à la vitesse v(t)v(t). Nous savons également que la fonction v(t)v(t) dérivée par rapport au temps est égale à l’accélération a(t)a(t).
  • Dans le cadre d’un mouvement circulaire uniforme, on peut représenter la position grâce à la vitesse angulaire ω\omega (qui s’exprime en radians par secondes).
  • Le radian est égal à la longueur d’arc de cercle depuis le point 0 divisée par le rayon.
  • Autrement dit la vitesse angulaire en radian exprime la position d’un point divisée par le rayon rr.
  • Par conséquent on en conclut que dans un repère orthonormé classique (x;y)(x ; y) :

x=r×cos(ωt)y=r×sin(ωt)\begin{aligned} x&=r \times \text{cos}(\omega t) \ y&=r \times \text{sin}(\omega t) \end{aligned}

  • Dérivons ces valeurs pour trouver vx(t)vx(t) et vy(t)vy(t).

On sait que la dérivée de cos(f)=fsin(f)cos(f) = -f' \text{sin}(f) et que la dérivée de sin (f)=fcos(f)(f) = f' \text{cos}(f)

Donc vx(t)=rω×sin(ωt)v_x(t) = -r \omega \times \text{sin} (\omega t)

Et vy(t)=rω×cos(ωt)v_y(t) = r \omega \times \text{cos} (\omega t)

  • On dérive à nouveau par rapport au temps pour trouver l’accélération :

ax(t)=rω2×cos(ωt)ax(t) = -r \omega^2 \times \text{cos} (\omega t)
ay(t)=rω2×sin(ωt)a
y(t) = -r \omega^2 \times \text{sin} (\omega t)

  • Si nous comparons ax(t)ax(t) et ay(t)ay(t) avec nos coordonnées trouvées en début de démonstration, on constate qu’il est facile d’exprimer l’accélération directement en fonction de xx et yy :

ax(t)=ω2xax(t) = -\omega^2 x
ay(t)=ω2ya
y(t) = -\omega^2 y

  • Calculons maintenant aa et v2v^2 :

a=a=(ax2+ay2)=(ω4x2+ω4y2)=ω2(x2+y2)=ω2r\begin{aligned}a = \parallel \vec{a}\parallel&= \sqrt{(ax^2+ay^2)}\&= \sqrt{(\omega^4 x^2 + \omega^4 y^2)}\&= \omega ^2 \sqrt{(x^2+y^2)}\&= \omega ^2r\end{aligned}

bannière astuce

Astuce

La dernière égalité se comprend grâce au théorème de Pythagore.

v=v=(vx2+vy2)v = \parallel \vec{v}\parallel = \sqrt{(vx^2+ vy^2)}

v2=vx2+vy2=r2ω2sin2(ωt)+r2ω2cos2(ωt)=r2ω2(cos2(ωt)+sin2(ωt))=ω2r2\begin{aligned}v^2&= vx^2 + vy^2\&= r^2 \omega ^2 sin^2 (\omega t) + r^2 \omega ^2 cos^2 (ωt)\&= r^2 \omega^2 (cos^2 (\omega t) + sin^2 (\omega t))\&= \omega ^2 r^2\end{aligned}

bannière astuce

Astuce

La dernière égalité se trouve car cos2(f)+sin2(f)=1\text{cos}^2 (f) + \text{sin}^2 (f) = 1

  • Si a=ω2ra=\omega ^2 r et v2=ω2r2v^2 = \omega ^2 r^2 alors a=v2ra = \dfrac{v^2}{r}

CQFD!

Comme a=v2r=G×mSr2a=\dfrac{v^2}{r}=G \times \dfrac{m_S}{r^2} on peut donc écrire que la vitesse d’une planète ou d’un satellite autour de son astre attracteur est :

bannière à retenir

À retenir

  • v=G×msrv=\sqrt{\dfrac{G \times m_s}{r}}
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Attention

La distance rr décrit l’espacement entre les deux centres de gravité, donc la distance du centre de gravité de l’objet à son astre auquel on ajoute le rayon de l’astre. Exemple pour la Terre et la Lune : r=RT+DLr = RT + DL. Avec RTRT le rayon de la Terre et DLDL la distance entre la surface de la Terre et l'orbite de la Lune.

Il faut faire attention aux informations dont on dispose : si on indique la distance DD entre la surface de deux planètes 1 et 2, alors r=R1+D+R2r = R1 + D + R2

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Définition

Période de révolution :

La période de révolution TT d’une planète ou d’un satellite est la durée mise pour faire un tour complet sur son orbite autour de son astre attracteur.

En admettant que l’orbite décrite est un cercle, alors la distance parcourue est le périmètre de ce cercle, soit 2πr2\pi r.

D’où v=2πrTv=\dfrac{2\pi r}{T} et G×msr\sqrt{\dfrac{G \times m_s}{r}} soit :

T=2π.r3G×ms\boxed {T=2\pi.\sqrt{\dfrac{r^3}{G \times m_s}}}

On peut donc déterminer la période de révolution TT de toutes les planètes du Système solaire. Voici par exemple quelques périodes. Plus on s’éloigne du soleil, plus la période augmente.

Planète Période
Mercure 88
Vénus 225
Terre 365
Mars 687
Jupiter 4333

Lois de Kepler

Johannes Kepler (1571-1630) a été l’assistant de Tycho Brahe (1546-1601), qui a fait des observations astronomiques très nombreuses et très précises. À partir de ces observations, Kepler a émis les trois lois qui portent son nom.

Ces trois lois s’appliquent à tous les corps en orbite autour d’un astre.

Première loi

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À retenir

Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire d’une planète est une ellipse et le centre du Soleil occupe un des deux foyers.

aa est le demi grand axe de l’ellipse et à chaque instant on a PF+PF=2aPF+PF'=2a.

Deuxième loi

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À retenir

Le segment reliant le Soleil à la planète balaye des aires égales pendant des durées égales.

La vitesse des planètes n’est donc pas constante, car elles accélèrent lorsqu’elles s’approchent du Soleil. Dans le schéma ci-dessous, l’aire en vert et l’aire en rouge sont identiques.

Troisième loi

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À retenir

T2a3=\dfrac{T^2}{a^3} = constante. La constante ne dépend que de l’astre attracteur : constante = 4π2G×M\dfrac{4\pi^2}{G \times M}. MM est la masse de l’astre attracteur.

Si on considère une trajectoire circulaire alors a=ra = r et on retrouve T2r3=4π2G×M\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{G \times M} et T=2πr3G×MsT=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G \times M_s}}