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La gravitation universelle et les lois de Kepler

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Introduction :

Ce cours porte sur le thème du temps, et plus précisément sur l’étude du mouvement des planètes et des satellites.

Dans un premier temps nous verrons la théorie de la gravitation universelle et son application au mouvement des planètes et des satellites. Dans un second temps nous étudierons les lois de Kepler.

Théorie de la gravitation universelle

Gravitation universelle

Isaac Newton a montré que deux corps A et B exercent l’un sur l’autre une force qui dépend de leur masse et du carré de la distance qui les sépare.

On définit la position d’un objet par son centre de gravité, qui est le point d’application de la résultante des forces de gravité.

  • Vous pourrez croiser lors de certains exercices le terme « centre d’inertie » qui est le point central autour duquel la masse de l’objet est régulièrement répartie.
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Attention

Ces deux points sont confondus quand le champ de gravité est uniforme, ce qui sera toujours le cas à votre niveau d’étude. Par conséquent en classe de seconde vous pourrez être confrontés aux deux appellations sans avoir besoin de les différencier.

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Définition

Force d’attraction gravitationnelle :

Deux corps $A$ et $B$ de masses respectives et dont les centres de gravité sont séparés d’une distance $d$, qui exercent l’une sur l’autre des forces attractives de même valeur est notée par la relation suivante :

${F_{A/B}}={F_{B/A}}=G \times \dfrac{m_A \times m_B}{d^2}$

Sa notation vectorielle est la suivante :

$$\overrightarrow{F}_{A/B}=-\overrightarrow{F}_{B/A}=-G.\dfrac{m_A.m_B}{d^2}.\overrightarrow{u}_{AB}$$

Ici $\vec{u}_{AB}$ est un vecteur unitaire qui va de $A$ à $B$, et $G$, la constante de gravitation universelle : $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{m}^3\ \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}$.

  • Cette écriture, qui peut sembler un peu compliquée, décrit simplement que la force que le corps $A$ applique sur le corps $B$ a la même valeur absolue que celle appliquée par $B$ sur $A$.
  • Un vecteur ne pouvant être égal à une valeur seule (puisque un vecteur a un sens, une direction et une norme), on doit ajouter un vecteur unitaire $\stackrel {→}{u_{AB}}$
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Exemple

L’une des principales applications est le calcul du mouvement des planètes. Par exemple, la force d’interaction entre la Terre et la Lune a une intensité de : $F_{T/L} =F_{L/T} = G \times \dfrac{m_T \times m_L}{d^2} = 1,99 \times 10^{20} N$.

  • avec $m_T= 5,98 \times 10^{24}\ \text{kg}$ ;
  • $m_L=7,34 \times 10^{22}\ \text{kg}$ ;
  • $d= 384\ 000\ \text{km}$.

Application au mouvement d’une planète ou d’un satellite

Dans le référentiel héliocentrique, si on fait l’approximation des trajectoires circulaires (c’est-à-dire que l’on considère que la trajectoire est un cercle. En réalité il s’agit d’une ellipse) :

  • soit une planète de centre $P$, de masse $m_P$ qui tourne autour du soleil de centre $S$ et de masse $m_S$, selon une orbite circulaire de rayon $r$,
  • on considère qu’elle n’est soumise qu’à l’attraction du soleil modélisée par la force gravitationnelle (on négligera les autres interactions).
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À retenir

On peut écrire d’après la deuxième loi de Newton : $\vec{F_{S/P}}=m_P \cdot \vec{a}$ $\:$ soit $\:$ $m_P \cdot \vec{a}=G \cdot \dfrac {m_P.m_S}{r^2} \cdot \stackrel {→}{u}$ $\:$ et $\:$ $\stackrel {→}{a}=G \cdot \dfrac {m_S}{r^2} \cdot \stackrel {→}{u}$ $\:$ d’où $\:$ $a=G \times \dfrac{m_S}{r^2}$

Une planète ou un satellite qui tourne autour de son astre attracteur a un vecteur accélération dirigé vers le centre de sa trajectoire circulaire, donc son mouvement est circulaire uniforme et $\stackrel{→}{v} \cdot \stackrel{→}{a}=0$ et il est possible de démontrer que $a=\dfrac {v^2}{r}$.

  • La formule $a=\dfrac {v^2}{r}$ est à connaitre, mais pas sa démonstration.

Il est possible de retrouver la formule $a=\dfrac {v^2}{r}$ :

  • Nous savons déjà qu’une fonction position dérivée par rapport au temps est égale à la vitesse $v(t)$. Nous savons également que la fonction $v(t)$ dérivée par rapport au temps est égale à l’accélération $a(t)$.
  • Dans le cadre d’un mouvement circulaire uniforme, on peut représenter la position grâce à la vitesse angulaire $\omega$ (qui s’exprime en radians par secondes).
  • Le radian est égal à la longueur d’arc de cercle depuis le point 0 divisée par le rayon.
  • Autrement dit la vitesse angulaire en radian exprime la position d’un point divisée par le rayon $r$.
  • Par conséquent on en conclut que dans un repère orthonormé classique $(x ; y)$ :

$\begin{aligned} x&=r \times \text{cos}(\omega t) \\ y&=r \times \text{sin}(\omega t) \end{aligned}$

  • Dérivons ces valeurs pour trouver $v_x(t)$ et $v_y(t)$.

On sait que la dérivée de $cos(f) = -f' \text{sin}(f)$ et que la dérivée de sin $(f) = f' \text{cos}(f)$

Donc $v_x(t) = -r \omega \times \text{sin} (\omega t)$

Et $v_y(t) = r \omega \times \text{cos} (\omega t)$

  • On dérive à nouveau par rapport au temps pour trouver l’accélération :

$a_x(t) = -r \omega^2 \times \text{cos} (\omega t)$
$a_y(t) = -r \omega^2 \times \text{sin} (\omega t)$

  • Si nous comparons $ax(t)$ et $ay(t)$ avec nos coordonnées trouvées en début de démonstration, on constate qu’il est facile d’exprimer l’accélération directement en fonction de $x$ et $y$ :

$a_x(t) = -\omega^2 x$
$a_y(t) = -\omega^2 y$

  • Calculons maintenant $a$ et $v^2$ :

$\begin{aligned}a = \parallel \vec{a}\parallel&= \sqrt{(a_x^2+a_y^2)}\\&= \sqrt{(\omega^4 x^2 + \omega^4 y^2)}\\&= \omega ^2 \sqrt{(x^2+y^2)}\\&= \omega ^2r\end{aligned}$

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Astuce

La dernière égalité se comprend grâce au théorème de Pythagore.

$v = \parallel \vec{v}\parallel = \sqrt{(v_x^2+ v_y^2)}$

$\begin{aligned}v^2&= vx^2 + vy^2\\&= r^2 \omega ^2 sin^2 (\omega t) + r^2 \omega ^2 cos^2 (ωt)\\&= r^2 \omega^2 (cos^2 (\omega t) + sin^2 (\omega t))\\&= \omega ^2 r^2\end{aligned}$

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Astuce

La dernière égalité se trouve car $\text{cos}^2 (f) + \text{sin}^2 (f) = 1$

  • Si $a=\omega ^2 r$ et $v^2 = \omega ^2 r^2$ alors $a = \dfrac{v^2}{r}$

CQFD!

Comme $a=\dfrac{v^2}{r}=G \times \dfrac{m_S}{r^2}$ on peut donc écrire que la vitesse d’une planète ou d’un satellite autour de son astre attracteur est :

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À retenir

  • $v=\sqrt{\dfrac{G \times m_s}{r}}$
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Attention

La distance $r$ décrit l’espacement entre les deux centres de gravité, donc la distance du centre de gravité de l’objet à son astre auquel on ajoute le rayon de l’astre. Exemple pour la Terre et la Lune : $r = R_T + D_L$. Avec $R_T$ le rayon de la Terre et $D_L$ la distance entre la surface de la Terre et l'orbite de la Lune.

Il faut faire attention aux informations dont on dispose : si on indique la distance $D$ entre la surface de deux planètes 1 et 2, alors $r = R_1 + D + R_2$

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Définition

Période de révolution :

La période de révolution $T$ d’une planète ou d’un satellite est la durée mise pour faire un tour complet sur son orbite autour de son astre attracteur.

En admettant que l’orbite décrite est un cercle, alors la distance parcourue est le périmètre de ce cercle, soit $2\pi r$.

D’où $v=\dfrac{2\pi r}{T}$ et $\sqrt{\dfrac{G \times m_s}{r}}$ soit :

$\boxed {T=2\pi.\sqrt{\dfrac{r^3}{G \times m_s}}}$

On peut donc déterminer la période de révolution $T$ de toutes les planètes du Système solaire. Voici par exemple quelques périodes. Plus on s’éloigne du soleil, plus la période augmente.

Planète Période
Mercure 88
Vénus 225
Terre 365
Mars 687
Jupiter 4333

Lois de Kepler

Johannes Kepler (1571-1630) a été l’assistant de Tycho Brahe (1546-1601), qui a fait des observations astronomiques très nombreuses et très précises. À partir de ces observations, Kepler a émis les trois lois qui portent son nom.

Ces trois lois s’appliquent à tous les corps en orbite autour d’un astre.

Première loi

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À retenir

Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire d’une planète est une ellipse et le centre du Soleil occupe un des deux foyers.

$a$ est le demi grand axe de l’ellipse et à chaque instant on a $PF+PF'=2a$.

Deuxième loi

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À retenir

Le segment reliant le Soleil à la planète balaye des aires égales pendant des durées égales.

La vitesse des planètes n’est donc pas constante, car elles accélèrent lorsqu’elles s’approchent du Soleil. Dans le schéma ci-dessous, l’aire en vert et l’aire en rouge sont identiques.

Troisième loi

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À retenir

$\dfrac{T^2}{a^3} =$ constante. La constante ne dépend que de l’astre attracteur : constante = $\dfrac{4\pi^2}{G \times M}$. $M$ est la masse de l’astre attracteur.

Si on considère une trajectoire circulaire alors $a = r$ et on retrouve $\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{G \times M}$ et $T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G \times M_s}}$