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Étudier des grandeurs produits ou quotients

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Introduction :

L’objectif de ce cours est d’étudier les grandeurs produits et les grandeurs quotients qui sont des grandeurs composées.

Pour cela, nous étudierons tout d’abord les grandeurs produits. Après avoir défini le terme, nous verrons quelles sont les grandeurs produits les plus fréquemment utilisées, puis nous étudierons l’exemple de l’énergie électrique. Dans une seconde partie, nous définirons les grandeurs quotients puis nous verrons l’exemple de la vitesse moyenne.

Grandeurs produits

Généralités

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Définition

Grandeur produit :

Une grandeur produit est le produit de deux grandeurs.

Dans le tableau suivant, on trouve les grandeurs produits les plus couramment utilisées et les unités de mesures correspondantes.

Grandeurs produits

Produits

Unités de mesures courantes

Aire longueur×longueur\text{longueur}\times \text{longueur} mm2\text{mm}^2, cm2\text{cm}^2, m2\text{m}^2, km2\text{km}^2
Volume aire×longueur\text{aire}\times \text{longueur} mm3\text{mm}^3, cm3\text{cm}^3, m3\text{m}^3, km3\text{km}^3L\text{L}, dL\text{dL}, cL\text{cL}
Énergie électrique puissance×temps\text{puissance} \times \text{temps} Wh\text{Wh}, kWh\text{kWh}

Regardons de plus près l’aire et le volume, deux grandeurs produits que nous rencontrons régulièrement.

Aire et volume

  • Une aire est le produit de deux longueurs.

coˆteˊ×coˆteˊ\text{côté} \times \text{côté}, Longueur×largeur\text{Longueur} \times \text{largeur}, base×hauteur\text{base} \times \text{hauteur}, π×rayon×rayon\pi \times \text{rayon} \times \text{rayon}, etc. sont des formules que nous connaissons déjà.

L’unité d’une aire est le produit de deux unités de longueurs : m×m=m2\text{m} \times \text{m} = \text{m}^2.

  • Un volume est le produit d’une aire par une longueur.

Par extension, c’est aussi le produit de trois longueurs.
coˆteˊ×coˆteˊ×coˆteˊ\text{côté} \times \text{côté} \times \text{côté}, Longueur×largeur×hauteur\text{Longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur}, AireB×hauteur\text{Aire}_B \times \text{hauteur}, π×rayon×rayon×hauteur\pi \times \text{rayon} \times \text{rayon} \times \text{hauteur}, etc. sont également des formules que nous connaissons déjà.

L’unité d’un volume est le produit d’une unité d’aire par une unité de longueur : m2×m=m3\text{m}^2\times \text{m}=\text{m}^3.
C’est aussi le produit de trois unités de longueurs : m×m×m=m3\text{m} \times \text{m} \times \text{m}= \text{m}^3.

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Astuce

Le litre est également utilisé comme unité de volume. Il équivaut à 1 dm31\text{ dm}^3 soit L=dm×dm×dm\text{L} = \text{dm} \times \text{dm} \times \text{dm}.

Une autre grandeur produit couramment utilisée est l’énergie électrique.

Énergie électrique

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À retenir

L’énergie EE consommée par un appareil électrique de puissance PP pendant un temps tt est donnée par la formule E=P×tE=P \times t.

L’énergie est donc bien une grandeur produit que l’on obtient en multipliant une puissance par une durée.

L’unité de l’énergie dépend des unités dans lesquelles la puissance et la durée sont exprimées :

  • si la puissance est exprimée en watts et la durée en heures, l’unité de l’énergie sera exprimée en wattheure (Wh\text{Wh}) ;
  • si la puissance est exprimée en kilowatts et la durée en heures, l’unité de l’énergie sera exprimée en kilowattheure (kWh\text{kWh}).
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Exemple

On cherche à calculer l’énergie consommée par un lave-vaisselle de 1 200 W1\ 200\text{ W} pendant une année sachant qu’il fonctionne 66 heures par semaine.

En une semaine, cet appareil consomme E=P×t=1 200 W×6 h=1 200×6 Wh=7 200 WhE=P \times t = 1\ 200\text{ W} \times 6\text{ h}=1\ 200 \times 6\text{ Wh}=7\ 200\text{ Wh}.

En une année, soit 5252 semaines, cet appareil consomme 52×7 200 Wh=374 400 Wh52 \times 7\ 200\text{ Wh} = 374\ 400\text{ Wh}.

  • L’énergie consommée par ce lave-vaisselle en une année est donc E=374 400 WhE = 374\ 400\text{ Wh}.

Grandeurs quotients

Généralités

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Définition

Grandeur quotient :

Une grandeur quotient est le quotient de deux grandeurs de natures différentes.

Dans le tableau suivant, on trouve les grandeurs quotients les plus couramment utilisées et les unités de mesures correspondantes.

Grandeurs quotients

Quotients

Unités de mesures courantes

Masse volumique masse÷volume\text{masse} \div \text{volume} kg/m3\text{kg/m}^3 (ou kg.m3\text{kg.m}^{-3})
Vitesse moyenne distance÷temps\text{distance} \div \text{temps} km/h\text{km/h} (ou km.h1\text{km.h}^{-1}), m/s\text{m/s} (ou m.s1\text{m.s}^{-1})…
Débit volume÷temps\text{volume} \div \text{temps} mm3/s\text{mm}^3\text{/s} (ou mm3.s1\text{mm}^3\text{.s}^{-1}), m3/h\text{m}^3\text{/h} (ou m3.h1\text{m}^3\text{.h}^{-1})…
Prix au kilo prix÷masse\text{prix} \div \text{masse} /kg\text{/kg}
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Attention

Le « // » de l’unité de mesure d’une grandeur quotient se prononce « par ». Ainsi, km/h\text{km}/\text{h} se prononce « kilomètres par heure » et non pas « kilomètres heure » comme on l’entend souvent.

L’une des grandeurs quotients la plus utilisée dans la vie courante étant la vitesse moyenne, nous allons l’aborder maintenant.

Vitesse moyenne

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Définition

Vitesse moyenne :

La vitesse moyenne vv d’un mobile parcourant une distance dd pendant un temps tt est donnée par la formule v=dtv=\frac{d}{t}.

Il est à noter que l’on a aussi d=v×td=v \times t et t=dvt=\frac{d}{v}.

La vitesse moyenne est donc bien une grandeur quotient que l’on obtient en divisant une longueur par une durée.

L’unité de la vitesse dépend des unités dans lesquelles la distance et la durée sont exprimées :

  • si la distance est exprimée en kilomètres et la durée en heures, l’unité de la vitesse moyenne sera exprimée en kilomètres par heure (km/h\text{km}/\text{h} ou km.h1\text{km.h}^-1) ;
  • si la distance est exprimée en mètres et la durée en secondes, l’unité de la vitesse moyenne sera exprimée en mètres par seconde (m/s\text{m}/\text{s} ou m.s1\text{m.s}^-1).
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Exemple

  • On cherche à calculer la vitesse moyenne d’un véhicule qui a parcouru 297297 kilomètres en 22 heures et 5050 minutes.

La durée (22 heures et 5050 minutes) doit être convertie en heures. Utilisons un tableau de proportionnalité, sachant que 6060 minutes correspondent à 11 heure.

Durée en minutes

6060 5050

Durée en heures (système décimal)

11 xx

Le calcul de la quatrième proportionnelle donne : x=50×160=0,83x=\dfrac{50 \times 1}{60}=0,83

La durée totale du trajet est donc de 2 h+0,83 h=2,83 h2\text{ h} + 0,83\text{ h}= 2,83\text{ h}.

Nous pouvons maintenant utiliser la formule de la vitesse moyenne : v=dt=297 km2,83 h=2972,83 km/h105 km/hv=\dfrac{d}{t}=\dfrac{297\text{ km}}{2,83\text{ h}}=\dfrac{297}{2,83} \text{ km/h} \approx 105\text{ km/h}

  • Cela signifie qu’en moyenne, ce véhicule a parcouru 105 km105\text{ km} à chaque heure.
  • Sur une course de 100100 mètres, un athlète a couru à une vitesse moyenne de 10,2 m/s10,2\text{ m/s}. En combien de temps a-t-il couru ce 100 m100\text{ m} ?

On cherche ici le temps tt mis par ce coureur pour parcourir la distance d=100 md = 100\text{ m} à la vitesse moyenne v=10,2 m/sv = 10,2\text{ m/s} (ou m.s1\text{m.s}^-1). On doit donc utiliser la formule t=dvt=\frac{d}{v}.

On calcule : t=dv=100 m10,2 m.s1=10010,2 s=9,8 st=\dfrac{d}{v}=\dfrac{100\ \cancel{\text{m}}}{10,2\ \cancel{\text{m}}\text{.s}^{-1}}=\dfrac{100}{10,2} \text{ s}=9,8\text{ s}

  • Cet athlète a donc couru ce 100100 mètres en 9,89,8 secondes soit 99 secondes et 88 dixièmes.

Conclusion :

Ce cours est très important car il permet de comprendre comment sont composées les grandeurs produits et quotients.

Il est à noter que nombre de grandeurs composées sont également largement utilisées comme le débit, la masse volumique, la densité de population… Il s’agira aussi de s’exercer à calculer ce genre de grandeurs composées, mais également à retrouver des grandeurs « simples » à partir de ces grandeurs composées données.