Cours : Grandeurs produits et grandeurs quotients

On considère une boîte de conserve cylindrique. Il est possible d’étudier plusieurs grandeurs :

• sa hauteur, en mesurant une longueur exprimée par exemple en centimètre ($\text{cm}$) ;
• sa masse, par exemple exprimée en gramme ($\text{g}$) ;
• sa surface latérale, par exemple exprimée en centimètre carré ($\text{cm}^2$) ;
• ou encore son volume, par exemple exprimé en centimètre cube ($\text{cm}^3$).

La longueur et la largeur d’un rectangle, la hauteur d’un triangle, le diamètre et le rayon d’un cercle, ou encore le périmètre d’un quadrilatère sont des grandeurs de même espèce : elles caractérisent toutes une longueur.

Nous avons déjà travaillé avec des grandeurs produits.
En effet :

• l’aire d’une figure géométrique est une grandeur produit, comme produit de deux longueurs, exprimées dans la même unité ;
• ainsi, si les deux longueurs sont exprimées en mètre, l’aire s’exprimera en mètre carré :

$$1\ \text{m}\times 1\ \text{m}=1\ \text{m}^2$$

• le volume d’un solide est aussi une grandeur produit, comme produit d’une aire et d’une longueur ;
• ainsi, si l’aire est exprimée en mètre carré et la longueur en mètre, le volume s’exprimera en mètre cube :

$$1\ \text{m}^2\times 1\ \text{m}=1\ \text{m}^3$$

Prenons un autre exemple, celui de l’énergie électrique notée $E$, qui est une grandeur produit, obtenue par le produit d’une puissance $P$ par une durée $t$ :

$$E=P\times t$$

• Si la puissance de l’appareil est exprimée en watt ($\text{W}$) et la durée en heure ($\text{h}$), alors l’énergie électrique s’exprimera en watt-heure ($\text{Wh}$).

Pour un four électrique dont la puissance en mode nettoyage est de $2\,000\,\text{W}$, l’énergie consommée pendant $2\,\text{h}$ de nettoyage est égale à :

$$E=2\,000\ \text{W}\times 2\ \text{h}=4\,000\ \text{Wh}$$

Comme $1\,000\ \text{W}=1\ \text{kW}$, on a :

$$\begin{aligned} E&=4\,000\ \text{Wh} \\ &=4\,000\ \text{W}\times 1\ \text{h} \\ &=4\ \text{kW}\times 1\ \text{h} \\ &=4\ \text{kWh} \end{aligned}$$