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Fonction logarithme : continuité, limites et dérivabilité

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Fonctions de la forme ln(x)\ln(x)

Propriété :

La fonction ln\ln est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur ]0 ;+[]0\ ;+\infty[

Sa dérivée est x1xx↦\dfrac {1}{x}

Courbe représentative :

fonction logarithme mathématiques terminale ES L

Propriété :

  • limites de la fonction logarithme :

lim{x0x<mo

0}ln x=\begin{aligned}\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0 }\ln\ x= -\infty\end{aligned}

et

lim{x+}ln x=+\lim\limits_{x \to +\infty} \ln\ {x}=+\infty

>

  • limites par croissance comparée :

lim{x0x<mo

0}x ln x=0\begin{aligned}\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0 }x\ \ln\ x= 0\end{aligned}

et

lim{x+}ln xx=0\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln\ x}{x}=0

>

Fonctions de la forme ln(u)\ln(u)

Propriété :

On appelle uu une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle II. La fonction ln uln\ u est alors définie et dérivable sur II.

(lnu)=uu(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}