Fiche de révision : Fonction logarithme : continuité, limites et dérivabilité

Fonctions de la forme $\ln(x)$

Propriété :

La fonction $\ln$ est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur $]0\ ;+\infty[$

Sa dérivée est $x↦\dfrac {1}{x}$

Courbe représentative :

Propriété :

• limites de la fonction logarithme :

0}ln⁡ x=−∞\begin{aligned}\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0 }\ln\ x= -\infty\end{aligned}x>0}ln x=−∞{lim​x→0​​

et

$\lim\limits_{x \to +\infty} \ln\ {x}=+\infty$

>

• limites par croissance comparée :

0}x ln⁡ x=0\begin{aligned}\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0 }x\ \ln\ x= 0\end{aligned}x>0}x ln x=0{lim​x→0​​

et

$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln\ x}{x}=0$

>

Fonctions de la forme $\ln(u)$

Propriété :

On appelle $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$. La fonction $ln\ u$ est alors définie et dérivable sur $I$.

$(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$