Déjà plus de
1 million
d'inscrits !
Fonction logarithme : continuité, limites et dérivabilité
Déjà plus de
1 million
d'inscrits !
Avant de commencer, regarde les vidéos
Introduction :
Nous allons effectuer dans ce cours une étude complète de la fonction logarithme népérien. Dans un premier temps, nous étudierons les fonctions de la forme avec une variable, puis les fonctions de la forme avec une fonction.
Étude des fonctions de la forme
Continuité, dérivabilité et sens de dérivation
La fonction est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur . Sa dérivée est .
Limites
et
et
Exemple d’étude complète
Étudions la fonction définie sur par .
est de la forme avec et .
On connaît donc sa dérivée avec la formule :
Ainsi
D’où
car est strictement croissante sur .
Ainsi est positive sur et négative sur .
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive ; et décroissante lorsque sa dérivée est négative.
Ainsi est croissante sur et décroissante sur .
D’après le cours :
et
D’après le cours :
et
On reste donc avec une forme indéterminée du type
Pour lever ce problème, on factorise :
,
Or , alors
On peut alors construire le tableau de variations de :
Étude des fonctions de la forme
Définition et dérivabilité de
Dérivabilité de :
Dans cette partie, on appelle une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle .
n’est définie que lorsque est strictement positive.
La fonction n’est définie que lorsque , c’est à dire lorsque .
Alors
Exemple d’étude complète
Étude de la fonction sur
Nous allons suivre la même démarche que précédemment.
, donc est positive sur .
est donc croissante sur .
On peut donc construire le tableau de variations de