Fonction logarithme : continuité, limites et dérivabilité : Fiche de cours - Mathématiques

Introduction :

Nous allons effectuer dans ce cours une étude complète de la fonction logarithme népérien. Dans un premier temps, nous étudierons les fonctions de la forme $\ln{(x)}$ avec $x$ une variable, puis les fonctions de la forme $\ln{(u)}$ avec $u$ une fonction.

Étude des fonctions de la forme $\ln{(x)}$

Continuité, dérivabilité et sens de dérivation

Propriété

La fonction $\ln\ x$ est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur $\rbrack 0\ ;+\infty\lbrack$ . Sa dérivée est $x\to \dfrac{1}{x}$ .

fonction logarithme courbe mathématiques terminale ES L

Limites

Propriété

Limites de $\ln :$

$\lim\limits_{\stackrel{x \to 0} {x>0}} \ln{(x)}=-\infty$

$\lim\limits_{x \to +\infty}=+\infty$

Limites par croissances comparées :

$\lim\limits_{\stackrel{x \to 0}{x>0 }}x\ \ln\ x= 0$

$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln\ x}{x}=0$

Exemple d’étude complète

Exemple

Étudions la fonction $f$ définie sur $\rbrack 0\ ;+\infty\lbrack$ par $f(x)=x\ln{(x)}-2x$ .

Calcul de la dérivée :

$x\to x\ln{(x)}$ est de la forme $u(x) \times v(x)$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=\ln{(x)}$ .

On connaît donc sa dérivée avec la formule : $(u(x) \times v(x))'=u'(x) \times v(x)+v'(x) \times u(x)$

Ainsi $(x\ln{(x)})'=\ln{(x)}+1$

D’où $f'(x)=\ln{(x)}-1$

Étude du signe de la dérivée :

$f'(x)\geq 0 \Leftrightarrow \ln{(x)}-1\geq0 \Leftrightarrow \ln{(x)}\geq1 \Leftrightarrow x\geq e$ car $\ln$ est strictement croissante sur $\rbrack 0\ ;+\infty\lbrack$ .

Ainsi $f'$ est positive sur $\lbrack e\ ;+\infty\lbrack$ et négative sur $\rbrack 0\ ;e \lbrack$ .

Lien avec les variations de la fonction :

Rappel

Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive ; et décroissante lorsque sa dérivée est négative.

Ainsi $f$ est croissante sur $\lbrack e\ ;+\infty\lbrack$ et décroissante sur $\rbrack 0\ ;e\lbrack$ .

Étude des limites aux bornes de l’ensemble de définition :
Limite en $0$ :

D’après le cours :

$\lim\limits$ et $\lim\limits$ {\stackrel{x \to 0}{x>0}}-2x=0 $x > 0 x \to 0 lim - 2 x = 0$

Alors $\lim\limits$
Limite en $+\infty:$

D’après le cours :

$\lim\limits$ et $\lim\limits$ {x \to +\infty}-2x=-\infty $x \to + \infty lim - 2 x = - \infty$

On reste donc avec une forme indéterminée du type $(+\infty) + (-\infty)$

Pour lever ce problème, on factorise :

$f(x)=x\ln{(x)}-2x=x(\ln{(x)}-2)$ ,

Or $\lim\limits$ , alors $\lim\limits$ {x \to +\infty}f(x)=+\infty $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$

On peut alors construire le tableau de variations de $f$ :

fonction logarithme mathématiques terminale ES L

Étude des fonctions de la forme $\ln{(u)}$

Définition et dérivabilité de $\ln{(u)}$

Définition

Dérivabilité de $\ln{(u)}$ :

Dans cette partie, on appelle $u$ une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ .

$\ln{(u)}$ n’est définie que lorsque $u$ est strictement positive.

Exemple

La fonction $x\to \ln{(2x+6)}$ n’est définie que lorsque $2x+6\rangle0$ , c’est à dire lorsque $x\rangle -3$ .

Alors $I=\rbrack -3\ ;+\infty\lbrack$

Propriété

$\ln'{(u)}=\dfrac{u'}{u}$

Cette formule se déduit de la formule de dérivation d’une composée : $(v(u(x)))'=u'(x)\times v'(u(x))$

Exemple d’étude complète

Exemple

Étude de la fonction $f:x\to \ln{(2x+6)}$ sur $I=\rbrack -3 ;+\infty\lbrack$

Nous allons suivre la même démarche que précédemment.

Calcul de la dérivée :

$f'(x)=\dfrac{(2x+6)'}{2x+6}=\dfrac{2}{2x+6}=\dfrac{1}{x+3}$

Étude du signe de la dérivée :

$f'(x)\geq0<=>x+3\geq0<=>x\geq-3$ , donc $f'$ est positive sur $I=\rbrack -3\ ;+\infty\lbrack$ .

Lien avec les variations de la fonction :

$f$ est donc croissante sur $I$ .

Limites aux bornes de l’ensemble de définition :
En $x=-3$ : $\lim\limits$ , or $\lim\limits$ {\stackrel{x \to 0}{x>0}}\ln{(x)}=-\infty $x > 0 x \to 0 lim ln (x) = - \infty$
Par composition, on a donc : $\lim\limits_{\stackrel{x \to -3}{x>-3}}f(x)=-\infty$
En $+\infty :$ $\lim\limits$ or $\lim\limits$ {x \to +\infty}\ln{(x)}=+\infty $x \to + \infty lim ln (x) = + \infty$
Par composition, on a ainsi : $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$

On peut donc construire le tableau de variations de $f:$

tableau de variations fonction logarithme mathématiques terminale ES L

Fonction logarithme : continuité, limites et dérivabilité

Étude des fonctions de la forme ln⁡(x)\ln{(x)}ln(x)

Continuité, dérivabilité et sens de dérivation

Limites

Exemple d’étude complète

Étude des fonctions de la forme ln⁡(u)\ln{(u)}ln(u)

Définition et dérivabilité de ln⁡(u)\ln{(u)}ln(u)

Exemple d’étude complète

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Étude des fonctions de la forme $\ln{(x)}$

Étude des fonctions de la forme $\ln{(u)}$

Définition et dérivabilité de $\ln{(u)}$