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Fonction logarithme : continuité, limites et dérivabilité

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Introduction :

Nous allons effectuer dans ce cours une étude complète de la fonction logarithme népérien. Dans un premier temps, nous étudierons les fonctions de la forme ln(x)\ln{(x)} avec xx une variable, puis les fonctions de la forme ln(u)\ln{(u)} avec uu une fonction.

Étude des fonctions de la forme ln(x)\ln{(x)}

Continuité, dérivabilité et sens de dérivation

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Propriété

La fonction ln x\ln\ x est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur ]0 ;+[\rbrack 0\ ;+\infty\lbrack. Sa dérivée est x1xx\to \dfrac{1}{x}.

fonction logarithme courbe mathématiques terminale ES L

Limites

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Propriété

  • Limites de ln:\ln :

limx>0x0ln(x)=\lim\limits_{\stackrel{x \to 0} {x>0}} \ln{(x)}=-\infty

et

limx+=+\lim\limits_{x \to +\infty}=+\infty

  • Limites par croissances comparées :

limx>0x0x ln x=0\lim\limits_{\stackrel{x \to 0}{x>0 }}x\ \ln\ x= 0

et

limx+ln xx=0\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln\ x}{x}=0

Exemple d’étude complète

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Exemple

Étudions la fonction ff définie sur ]0 ;+[\rbrack 0\ ;+\infty\lbrack par f(x)=xln(x)2xf(x)=x\ln{(x)}-2x.

  • Calcul de la dérivée :

xxln(x)x\to x\ln{(x)} est de la forme u(x)×v(x)u(x) \times v(x) avec u(x)=xu(x)=x et v(x)=ln(x)v(x)=\ln{(x)}.

On connaît donc sa dérivée avec la formule : (u(x)×v(x))=u(x)×v(x)+v(x)×u(x)(u(x) \times v(x))'=u'(x) \times v(x)+v'(x) \times u(x)

Ainsi (xln(x))=ln(x)+1(x\ln{(x)})'=\ln{(x)}+1

D’où f(x)=ln(x)1f'(x)=\ln{(x)}-1

  • Étude du signe de la dérivée :

f(x)0ln(x)10ln(x)1xef'(x)\geq 0 \Leftrightarrow \ln{(x)}-1\geq0 \Leftrightarrow \ln{(x)}\geq1 \Leftrightarrow x\geq e car ln\ln est strictement croissante sur ]0 ;+[\rbrack 0\ ;+\infty\lbrack.

Ainsi ff' est positive sur [e ;+[\lbrack e\ ;+\infty\lbrack et négative sur ]0 ;e[\rbrack 0\ ;e \lbrack.

  • Lien avec les variations de la fonction :
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Rappel

Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive ; et décroissante lorsque sa dérivée est négative.

Ainsi ff est croissante sur [e ;+[\lbrack e\ ;+\infty\lbrack et décroissante sur ]0 ;e[\rbrack 0\ ;e\lbrack .

  • Étude des limites aux bornes de l’ensemble de définition :
  • Limite en 00 :

D’après le cours :

limx>0x0xln(x)=0\lim\limits{\stackrel{x \to 0} {x>0}}x\ln{(x)}=0 et limx>0x02x=0\lim\limits{\stackrel{x \to 0}{x>0}}-2x=0

  • Alors limx>0x0f(x)=limx>0x0xln(x)+limx>0x02x=0\lim\limits{\stackrel{x \to 0}{x>0}}f(x)=\lim\limits{\stackrel{x \to 0}{x>0}}x\ln{(x)}+\lim\limits_{\stackrel{x \to 0} {x>0}}-2x=0
  • Limite en +:+\infty:

D’après le cours :

limx+xln(x)=+\lim\limits{x \to +\infty}x\ln{(x)}=+\infty et limx+2x=\lim\limits{x \to +\infty}-2x=-\infty

On reste donc avec une forme indéterminée du type (+)+()(+\infty) + (-\infty)

Pour lever ce problème, on factorise :

f(x)=xln(x)2x=x(ln(x)2)f(x)=x\ln{(x)}-2x=x(\ln{(x)}-2),

Or limx+(ln(x)2)=+\lim\limits{x \to +\infty}(\ln{(x)}-2)=+\infty , alors limx+f(x)=+\lim\limits{x \to +\infty}f(x)=+\infty

On peut alors construire le tableau de variations de ff :

fonction logarithme mathématiques terminale ES L

Étude des fonctions de la forme ln(u)\ln{(u)}

Définition et dérivabilité de ln(u)\ln{(u)}

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Définition

Dérivabilité de ln(u)\ln{(u)} :

Dans cette partie, on appelle uu une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle II.

ln(u)\ln{(u)} n’est définie que lorsque uu est strictement positive.

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Exemple

La fonction xln(2x+6)x\to \ln{(2x+6)} n’est définie que lorsque 2x+602x+6\rangle0 , c’est à dire lorsque x3x\rangle -3.

Alors I=]3 ;+[I=\rbrack -3\ ;+\infty\lbrack

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Propriété

ln(u)=uu\ln'{(u)}=\dfrac{u'}{u}

  • Cette formule se déduit de la formule de dérivation d’une composée : (v(u(x)))=u(x)×v(u(x))(v(u(x)))'=u'(x)\times v'(u(x))

Exemple d’étude complète

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Exemple

Étude de la fonction f:xln(2x+6)f:x\to \ln{(2x+6)} sur I=]3;+[I=\rbrack -3 ;+\infty\lbrack

Nous allons suivre la même démarche que précédemment.

  • Calcul de la dérivée :

f(x)=(2x+6)2x+6=22x+6=1x+3f'(x)=\dfrac{(2x+6)'}{2x+6}=\dfrac{2}{2x+6}=\dfrac{1}{x+3}

  • Étude du signe de la dérivée :

f(x)0<=>x+30<=>x3f'(x)\geq0<=>x+3\geq0<=>x\geq-3, donc ff' est positive sur I=]3 ;+[I=\rbrack -3\ ;+\infty\lbrack.

  • Lien avec les variations de la fonction :

ff est donc croissante sur II.

  • Limites aux bornes de l’ensemble de définition :
  • En x=3x=-3 : limx>3x3(2x+6)=0\lim\limits{\stackrel{x \to -3}{x>-3}}(2x+6)=0 , or limx>0x0ln(x)=\lim\limits{\stackrel{x \to 0}{x>0}}\ln{(x)}=-\infty
  • Par composition, on a donc : limx>3x3f(x)=\lim\limits_{\stackrel{x \to -3}{x>-3}}f(x)=-\infty
  • En +:+\infty : limx+(2x+6)=+\lim\limits{x \to +\infty}(2x+6)=+\infty or limx+ln(x)=+\lim\limits{x \to +\infty}\ln{(x)}=+\infty
  • Par composition, on a ainsi : limx+f(x)=+\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty

On peut donc construire le tableau de variations de f:f:

tableau de variations fonction logarithme mathématiques terminale ES L