Fonction racine carrée et fonction cube

La fonction racine carrée

Définitions

Rappel

$x$ désigne un nombre positif.

La racine carrée de $x$ est le nombre positif, noté $\sqrt{x}$ dont le carré est $x$.

Par conséquent, pour tout nombre réel $x\geq 0$ :

• $\sqrt{x}\geq 0$
• $(\sqrt{x})^2=x$

Définition

Fonction racine carrée :

La fonction racine carrée est la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0\;;\; +\infty[$ qui à tout nombre réel $x$ positif ou nul associe sa racine carrée $\sqrt{x}$

Propriété

Pour tout $x\in\mathbb{R}^+$ on a :

• $\sqrt x\geq0$
• $(\sqrt x)^2=x$
• $\sqrt{x^2}=x$

Sens de variation

Propriété

La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0\;;\;+\infty[$

Propriété

Les racines carrées de deux nombres positifs sont rangées dans le même ordre que ces deux nombres.

Si $a$ et $b$ sont deux réels positifs, alors $a < b$ équivaut à $\sqrt a<\sqrt b$

• Pour démontrer ces variations, il faut démontrer que $\sqrt{b}-\sqrt{a} \geq0$ avec $0\leq a\leq b$.
• Écrivons $\sqrt{b}-\sqrt{a}$ sous une autre forme.
• Pour cela, on multiplie $\sqrt{b}-\sqrt{a}$ par son expression conjuguée, c’est-à-dire par $\sqrt{b}+\sqrt{a}$.
• On obtient :
  $\begin{aligned}(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})&=(\sqrt{b})^2-(\sqrt{a})^2\\&=b-a\end{aligned}$
  (puisque $(\sqrt{b})^2=b$ étant donné que $b\geq 0$)
• On a montré que $(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})=b-a$.
• En divisant chaque membre par $\sqrt{b}+\sqrt{a}$ on a montré que : $\sqrt{b}-\sqrt{a}= \dfrac{b-a}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$
• On veut montrer que $\sqrt{b}-\sqrt{a}\geq0$, autrement dit que $ \dfrac{b-a}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}\geq0$.
• Or, au début de la démonstration on a imposé $0\leq a\leq b$.
• On a donc $b-a\geq0$.
• Et comme une racine est toujours positive : $\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq0$.
• Nous venons de démontrer que si $0\leq a\leq b$ alors $\sqrt{a} \leq\sqrt{b}$.
  C’est-à-dire que la fonction $f(x)=\sqrt{x}$ est croissante sur l’intervalle $[0\;;\;+\infty]$.

Courbe représentative

On peut tracer la courbe représentative de la fonction racine carrée à l’aide d’un tableau de valeurs.

À présent, énonçons le théorème sur les positions relatives de trois courbes sur $[0\;;\;+\infty[$

Astuce

Rappelons que la fonction carrée est représentée en vert, et la fonction affine qui à $x$ associe $x$ est représentée en bleu.

Théorème

Pour tout $x\in]0\ ;1[$ on a $x^2<x<\sqrt x$

• Sur $]0\;;\;1[$ la courbe représentative de la fonction carré $f(x)=x^2$ est en dessous de la courbe représentative de la fonction linéaire $f(x)=x$.
• $f(x)=x$ est elle-même en dessous de la courbe représentative de la fonction racine carrée $f(x)=\sqrt x$.

Pour tout $x=0$ et $x=1$, on a $x^2=x=\sqrt x$

• Aux points d’abscisses $0$ et $1$, les trois courbes représentatives sont sécantes.

Pour tout $x\in]1\;;\;+\infty[$ on a $\sqrt x < x < x^2$

• Sur $]1\;;\;+\infty[$ la courbe représentative de la fonction racine carrée $f(x)=\sqrt x$ est en dessous de la courbe représentative de la fonction linéaire $f(x)=x$ qui est elle-même en dessous de la courbe représentative de la fonction carré $f(x)=x^2$

La fonction cube

Définitions

Définition

Fonction cube :

La fonction cube est la fonction définie sur $]-\infty\;;\; +\infty[$ qui à tout nombre réel $x$ associe son cube $x^3$.

Sens de variation

La fonction cube $f(x)=x^3$ est croissante sur $\mathbb{R}$

Démonstration

On se propose de démontrer que la fonction cube est croissante sur $]-\infty\;;\; 0]$ et sur $[0\;;\; +\infty[$.

Puisque $f(0)=0$, cela impliquera qu’elle est croissante sur $\mathbb{R}$

$u$ et $v$ désignent deux nombres réels tels que $u\leq v$

• 1^er cas : $u\leq v \leq0$
• La fonction carrée est décroissante sur $]-\infty\;;\; 0]$ donc $u^2\geq v^2$ ;
• En multipliant chaque membre de $u\leq v$ par $v^2$, qui est positif, on obtient $v^2u\leq v^3$ soit $v^3\geq v^2u$ ;
• En multipliant chaque membre de $u^2\geq v^2$ par $u$, qui est négatif, on obtient $u^3\leq v^2u$ soit $v^2u\geq u^3$ ;
• Par conséquent, $v^3\geq u^3$, c’est à dire $u^3\leq v^3$ ;
• La fonction cube est donc croissante sur $]-\infty\;;\; 0]$.
• 2^e cas : $0\leq u \leq v$
• La fonction carrée est décroissante sur $]0\;;\; +\infty]$ donc $u^2\leq v^2$ ;
• En multipliant chaque membre de $u\leq v$ par $u^2$, qui est positif, on obtient $u^3\leq u^2v$ ;
• En multipliant chaque membre de $u^2\leq v^2$ par $v$, qui est positif, on obtient $u^2v\leq v^3$ ;
• Par conséquent, $u^3\leq v^3$ ;
• La fonction cube est donc croissante sur $[0\;;\; +\infty[$ ;

Courbe représentative

Dans le repère d’origine $O$, la courbe $C$ représentative de la fonction cube est symétrique par rapport au point $O$.