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Fonction racine carrée et fonction cube

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Introduction :

Ce cours de mathématiques sur la fonction racine carrée et la fonction cube.

Nous introduirons aujourd’hui deux nouvelles fonctions de référence : tout d’abord la fonction racine carrée puis la fonction cube. Pour chacune de ces fonctions, nous verrons comment les écrire avec leur définition, leur sens de variation et leur courbe représentative.

La fonction racine carrée

Définitions

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Rappel

xx désigne un nombre positif.

La racine carrée de xx est le nombre positif, noté x\sqrt{x} dont le carré est xx.

Par conséquent, pour tout nombre réel x0x\geq 0 :

  • x0\sqrt{x}\geq 0
  • (x)2=x(\sqrt{x})^2=x
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Définition

Fonction racine carrée :

La fonction racine carrée est la fonction ff définie sur l’intervalle [0  ;  +[[0\;;\; +\infty[ qui à tout nombre réel xx positif ou nul associe sa racine carrée x\sqrt{x}

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Propriété

Pour tout xR+x\in\mathbb{R}^+ on a :

  • x0\sqrt x\geq0
  • (x)2=x(\sqrt x)^2=x
  • x2=x\sqrt{x^2}=x

Sens de variation

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Propriété

La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0  ;  +[[0\;;\;+\infty[

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Propriété

Les racines carrées de deux nombres positifs sont rangées dans le même ordre que ces deux nombres.

Si aa et bb sont deux réels positifs, alors a<ba < b équivaut à a<b\sqrt a<\sqrt b

  • Pour démontrer ces variations, il faut démontrer que ba0\sqrt{b}-\sqrt{a} \geq0 avec 0ab0\leq a\leq b.
  • Écrivons ba\sqrt{b}-\sqrt{a} sous une autre forme.
  • Pour cela, on multiplie ba\sqrt{b}-\sqrt{a} par son expression conjuguée, c’est-à-dire par b+a\sqrt{b}+\sqrt{a}.
  • On obtient :
    (ba)(b+a)=(b)2(a)2=ba\begin{aligned}(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})&=(\sqrt{b})^2-(\sqrt{a})^2\&=b-a\end{aligned}
    (puisque (b)2=b(\sqrt{b})^2=b étant donné que b0b\geq 0)
  • On a montré que (ba)(b+a)=ba(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})=b-a.
  • En divisant chaque membre par b+a\sqrt{b}+\sqrt{a} on a montré que : ba=bab+a\sqrt{b}-\sqrt{a}= \dfrac{b-a}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}
  • On veut montrer que ba0\sqrt{b}-\sqrt{a}\geq0, autrement dit que bab+a0 \dfrac{b-a}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}\geq0.
  • Or, au début de la démonstration on a imposé 0ab0\leq a\leq b.
  • On a donc ba0b-a\geq0.
  • Et comme une racine est toujours positive : a+b0\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq0.
  • Nous venons de démontrer que si 0ab0\leq a\leq b alors ab\sqrt{a} \leq\sqrt{b}.
    C’est-à-dire que la fonction f(x)=xf(x)=\sqrt{x} est croissante sur l’intervalle [0  ;  +][0\;;\;+\infty].

Courbe représentative

On peut tracer la courbe représentative de la fonction racine carrée à l’aide d’un tableau de valeurs.

xx 00 11 44 99
f(x)f(x) 00 11 22 33

À présent, énonçons le théorème sur les positions relatives de trois courbes sur [0  ;  +[[0\;;\;+\infty[

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Astuce

Rappelons que la fonction carrée est représentée en vert, et la fonction affine qui à xx associe xx est représentée en bleu.

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Théorème

Pour tout x]0 ;1[x\in]0\ ;1[ on a x2<x<xx^2

  • Sur ]0  ;  1[]0\;;\;1[ la courbe représentative de la fonction carré f(x)=x2f(x)=x^2 est en dessous de la courbe représentative de la fonction linéaire f(x)=xf(x)=x.
  • f(x)=xf(x)=x est elle-même en dessous de la courbe représentative de la fonction racine carrée f(x)=xf(x)=\sqrt x.

Pour tout x=0x=0 et x=1x=1, on a x2=x=xx^2=x=\sqrt x

  • Aux points d’abscisses 00 et 11, les trois courbes représentatives sont sécantes.

Pour tout x]1  ;  +[x\in]1\;;\;+\infty[ on a x<x<x2\sqrt x < x < x^2

  • Sur ]1  ;  +[]1\;;\;+\infty[ la courbe représentative de la fonction racine carrée f(x)=xf(x)=\sqrt x est en dessous de la courbe représentative de la fonction linéaire f(x)=xf(x)=x qui est elle-même en dessous de la courbe représentative de la fonction carré f(x)=x2f(x)=x^2

La fonction cube

Définitions

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Définition

Fonction cube :

La fonction cube est la fonction définie sur ]  ;  +[]-\infty\;;\; +\infty[ qui à tout nombre réel xx associe son cube x3x^3.

Sens de variation

La fonction cube f(x)=x3f(x)=x^3 est croissante sur R\mathbb{R}

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Démonstration

On se propose de démontrer que la fonction cube est croissante sur ]  ;  0]]-\infty\;;\; 0] et sur [0  ;  +[[0\;;\; +\infty[.

Puisque f(0)=0f(0)=0, cela impliquera qu’elle est croissante sur R\mathbb{R}

uu et vv désignent deux nombres réels tels que uvu\leq v

  • 1er cas : uv0u\leq v \leq0
  • La fonction carrée est décroissante sur ]  ;  0]]-\infty\;;\; 0] donc u2v2u^2\geq v^2 ;
  • En multipliant chaque membre de uvu\leq v par v2v^2, qui est positif, on obtient v2uv3v^2u\leq v^3 soit v3v2uv^3\geq v^2u ;
  • En multipliant chaque membre de u2v2u^2\geq v^2 par uu, qui est négatif, on obtient u3v2uu^3\leq v^2u soit v2uu3v^2u\geq u^3 ;
  • Par conséquent, v3u3v^3\geq u^3, c’est à dire u3v3u^3\leq v^3 ;
  • La fonction cube est donc croissante sur ]  ;  0]]-\infty\;;\; 0].
  • 2e cas : 0uv0\leq u \leq v
  • La fonction carrée est décroissante sur ]0  ;  +]]0\;;\; +\infty] donc u2v2u^2\leq v^2 ;
  • En multipliant chaque membre de uvu\leq v par u2u^2, qui est positif, on obtient u3u2vu^3\leq u^2v ;
  • En multipliant chaque membre de u2v2u^2\leq v^2 par vv, qui est positif, on obtient u2vv3u^2v\leq v^3 ;
  • Par conséquent, u3v3u^3\leq v^3 ;
  • La fonction cube est donc croissante sur [0  ;  +[[0\;;\; +\infty[ ;

Courbe représentative

Dans le repère d’origine OO, la courbe CC représentative de la fonction cube est symétrique par rapport au point OO.

courbe représentative fonction cube Courbe représentative de la fonction cube