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Fonctions de référence

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Introduction :

Ce cours de mathématiques portera sur les fonctions de référence.

Tu as déjà étudié plusieurs des fonctions de références de ce cours l’an dernier et nous allons donc commencer cette leçon en revoyant le domaine de définition et les courbes représentatives. Nous verrons ensuite les variations et le signe d’une fonction, pour finir avec les fonctions affines et linéaires, la fonction carré et la fonction inverse.

Domaine de définition et courbes représentatives

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Définition

Fonction :

Une fonction est une façon de relier un nombre réel xx à un autre nombre réel yy qu’on écrit f(x)f(x).
yy est l’unique image de xx par la fonction ff et xx est l’antécédent de yy par la fonction ff.

Le domaine de définition (ou ensemble de définition) d’une fonction permet de connaitre toutes les valeurs possibles des antécédents c’est-à-dire des xx.

Lorsque tous les nombres réels sont possibles, l’ensemble de définition est R\mathbb{R}

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Exemple

Prenons la fonction g(x)=x+2x3g(x)=\dfrac{x+2}{x-3}

Cherchons son ensemble de définition noté DgD_g :

Le calcul x+2x3\dfrac{x+2}{x-3} n’est pas possible lorsque x3=0x-3=0 puisque 0 ne peut pas être diviseur.

Il faut donc que x3.x\neq3.Donc Dg=]  ; []3  ;+[D_g=]-\infty\;;\ [\cup]3\;;+\infty[

Parlons maintenant de la réprésentation graphique d’une fonction.

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Définition

Courbe représentative :

Dans un repère, la courbe représentative C\mathscr{C} (ou représentation graphique) d’une fonction ff est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x))(x\ ;\ f(x)), où xx appartient à l’ensemble de définition DD.

Cette figure montre la courbe représentative d’une fonction ffdéfinie sur l’intervalle D=[4  ;  5]D=[-4\;;\; 5]

Étude de fonction

Étude des variations de fonction

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Définition

Variations d’une fonction :

La fonction ff est croissante sur l’intervalle [a;b][a;b] lorsque tous les réels x1x1 et x2x2 de l’intervalle [a;b][a;b] tels que :

x1x2x1\leq x2, on a f(x1)f(x2)f(x1)\leq f(x2)

Autrement dit lorsque les réels x1x1 et x2x2 et leurs images f(x1)f(x1) et f(x2)f(x2) sont rangés dans le même ordre.

La fonction ff est décroissante sur l’intervalle [a;b][a;b] lorsque tous les réels x1x1 et x2x2 de l’intervalle [a;b][a;b] tels que :

x1x2x1\leq x2, on a f(x1)f(x2)f(x1)\geq f(x2)

Autrement dit lorsque les réels x1x1 et x2x2 et leurs images f(x1)f(x1) et f(x2)f(x2) sont rangés dans l’ordre contraire.

Un tableau de variation est nécessaire pour donner les variations d’une fonction :

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Astuce

Les extremum sont lisibles sur le tableau de variation.

Ici, 44 est le maximum de ff atteint pour x=1x=1 et 11 est le minimum de ff atteint pour x=2x=2

Étude du signe de fonction

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À retenir

Étudier le signe d’une fonction revient à résoudre l’inéquation f(x)>0f(x)>0 sur son domaine de définition.

La fonction sera positive pour les valeurs de xx appartenant au domaine de définition trouvées et négatives sur les autres valeurs du domaine de définition.

Graphiquement, la fonction sera positive sur l’intervalle II, si sa courbe représentative est située au-dessus de l’axe des abscisses sur II, et négative si la courbe est située en dessous.

La réponse sera donnée sous forme de tableau de signes.

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Exemple

Prenons comme exemple la fonction ff définie sur [5  ;  5][-5\;;\;5] par : f(x)=4x2+4x8f(x)=4x^2+4x-8

Après calcul discriminant, on sait que la courbe coupe deux fois l’axe des abscisses quand x=2x=-2 et x=1x=1

Le tableau de signe de cette fonction est :

Rappels sur les fonctions de référence

Fonctions affines

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Définition

Fonction affine :

aa et bb désignent deux nombres réels fixés.

Une fonction affine ff est une fonction définie sur R\mathbb{R} par la relation f(x)=ax+bf(x)=ax+b.

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Exemple

a=2a=-2 et b=5b=5. La fonction ff qui à un nombre xx associe le nombre 2x+5-2x+5 est une fonction affine.

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Attention

Il existe deux cas particuliers :

  • Si a=0a=0, l’écriture devient f(x)=bf(x)=b. On dit que ff est une fonction constante.
  • Si b=0b=0, l’écriture devient f(x)=axf(x)=ax. On dit que ff est une fonction linéaire de coefficient aa.
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Propriété

Soit la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf(x)=ax+b. La représentation graphique de ff dans un repère est la droite d’équation y=ax+by=ax+b qui passe par le point de coordonnées (0  ;  b)(0\;;\;b) :

  • aa est le coefficient directeur de la droite (d)(d) ;
  • bb est l’ordonnée à l’origine de la droite (d)(d).
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Propriété

Le sens de variation d’une fonction affine dépend du signe de son coefficient directeur :

  • si a>0a>0 la fonction est croissante, la droite « monte » ;
  • si a=0a=0 la fonction est constante, la droite est horizontale ;
  • si a<0a<0 la fonction est décroissante, la droite « descend ».

On obtient donc les tableaux de variation et les tableaux de signes suivants :

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À retenir

Le changement de signe se produit pour x=abx=-\dfrac{a}{b} lorsque la droite représentative de ff coupe l’axe des abscisses.

Fonction carré

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Définition

Fonction carré :

La fonction carré est la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2f(x)=x^2.

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Propriété

  • La courbe représentative de la fonction carré s’appelle une parabole. Dans un repère orthogonal du plan, elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
  • L’origine du repère est le sommet de cette parabole.

  • La fonction carré est décroissante sur l’intervalle ]  ;  0]]-\infty\;;\;0] puis croissante sur [0  ;  +[[0\;;\;+\infty[.

Fonction inverse

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Définition

Fonction inverse :

La fonction inverse est la fonction ff définie sur R\mathbb{R}^* par f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}.

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Astuce

R\mathbb{R}^* se lit «R privé de zéro» ce qui peut aussi s’écrire R{0}\mathbb{R}\setminus\lbrace 0\rbrace.

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Propriété

  • La courbe représentative de la fonction inverse s’appelle une hyperbole. Dans un repère orthogonal du plan, elle est symétrique par rapport à l’origine du repère.
  • La courbe représentative de la fonction inverse ne coupe jamais l’axe des abscisses ni l’axe des ordonnées.
  • La fonction inverse est décroissante sur ]  ;  0[]-\infty\;;\;0[ et décroissante également sur ]0  ;  +[]0\;;\;+\infty[.

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Astuce

La double barre du tableau de variations veut dire que xx ne peut pas prendre la valeur 0. En effet, 0 est une valeur interdite pour xx car dans la fonction inverse, xx est le diviseur.