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Introduction :
Ce cours de mathématiques portera sur les fonctions de référence.
Tu as déjà étudié plusieurs des fonctions de références de ce cours l’an dernier et nous allons donc commencer cette leçon en revoyant le domaine de définition et les courbes représentatives. Nous verrons ensuite les variations et le signe d’une fonction, pour finir avec les fonctions affines et linéaires, la fonction carré et la fonction inverse.
Domaine de définition et courbes représentatives
Fonction :
Une fonction est une façon de relier un nombre réel à un autre nombre réel qu’on écrit .
est l’unique image de par la fonction et est l’antécédent de par la fonction .
Le domaine de définition (ou ensemble de définition) d’une fonction permet de connaitre toutes les valeurs possibles des antécédents c’est-à-dire des .
Lorsque tous les nombres réels sont possibles, l’ensemble de définition est
Prenons la fonction
Cherchons son ensemble de définition noté :
Le calcul n’est pas possible lorsque puisque 0 ne peut pas être diviseur.
Il faut donc que Donc
Parlons maintenant de la réprésentation graphique d’une fonction.
Courbe représentative :
Dans un repère, la courbe représentative (ou représentation graphique) d’une fonction est l’ensemble des points de coordonnées , où appartient à l’ensemble de définition .
Cette figure montre la courbe représentative d’une fonction définie sur l’intervalle
Étude de fonction
Étude des variations de fonction
Variations d’une fonction :
La fonction est croissante sur l’intervalle lorsque tous les réels et de l’intervalle tels que :
, on a
Autrement dit lorsque les réels et et leurs images et sont rangés dans le même ordre.
La fonction est décroissante sur l’intervalle lorsque tous les réels et de l’intervalle tels que :
, on a
Autrement dit lorsque les réels et et leurs images et sont rangés dans l’ordre contraire.
Un tableau de variation est nécessaire pour donner les variations d’une fonction :
Les extremum sont lisibles sur le tableau de variation.
Ici, est le maximum de atteint pour et est le minimum de atteint pour
Étude du signe de fonction
Étudier le signe d’une fonction revient à résoudre l’inéquation sur son domaine de définition.
La fonction sera positive pour les valeurs de appartenant au domaine de définition trouvées et négatives sur les autres valeurs du domaine de définition.
Graphiquement, la fonction sera positive sur l’intervalle , si sa courbe représentative est située au-dessus de l’axe des abscisses sur , et négative si la courbe est située en dessous.
La réponse sera donnée sous forme de tableau de signes.
Prenons comme exemple la fonction définie sur par :
Après calcul discriminant, on sait que la courbe coupe deux fois l’axe des abscisses quand et
Le tableau de signe de cette fonction est :
Rappels sur les fonctions de référence
Fonctions affines
Fonction affine :
et désignent deux nombres réels fixés.
Une fonction affine est une fonction définie sur par la relation .
et . La fonction qui à un nombre associe le nombre est une fonction affine.
Il existe deux cas particuliers :
Soit la fonction affine définie sur par . La représentation graphique de dans un repère est la droite d’équation qui passe par le point de coordonnées :
Le sens de variation d’une fonction affine dépend du signe de son coefficient directeur :
On obtient donc les tableaux de variation et les tableaux de signes suivants :
Le changement de signe se produit pour lorsque la droite représentative de coupe l’axe des abscisses.
Fonction carré
Fonction carré :
La fonction carré est la fonction définie sur par .
Fonction inverse
Fonction inverse :
La fonction inverse est la fonction définie sur par .
se lit «R privé de zéro» ce qui peut aussi s’écrire .
La double barre du tableau de variations veut dire que ne peut pas prendre la valeur 0. En effet, 0 est une valeur interdite pour car dans la fonction inverse, est le diviseur.