Fonctions de référence

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Introduction :

Ce cours de mathématiques portera sur les fonctions de référence.

Tu as déjà étudié plusieurs des fonctions de références de ce cours l’an dernier et nous allons donc commencer cette leçon en revoyant le domaine de définition et les courbes représentatives. Nous verrons ensuite les variations et le signe d’une fonction, pour finir avec les fonctions affines et linéaires, la fonction carré et la fonction inverse.

Domaine de définition et courbes représentatives

Définition

Fonction :

Une fonction est une façon de relier un nombre réel $x$ à un autre nombre réel $y$ qu’on écrit $f(x)$ .
$y$ est l’unique image de $x$ par la fonction $f$ et $x$ est l’antécédent de $y$ par la fonction $f$ .

Le domaine de définition (ou ensemble de définition) d’une fonction permet de connaitre toutes les valeurs possibles des antécédents c’est-à-dire des $x$ .

Lorsque tous les nombres réels sont possibles, l’ensemble de définition est $\mathbb{R}$

Exemple

Prenons la fonction $g(x)=\dfrac{x+2}{x-3}$

Cherchons son ensemble de définition noté $D_g$ :

Le calcul $\dfrac{x+2}{x-3}$ n’est pas possible lorsque $x-3=0$ puisque 0 ne peut pas être diviseur.

Il faut donc que $x\neq3.$ Donc $D_g=]-\infty\;;\ [\cup]3\;;+\infty[$

Parlons maintenant de la réprésentation graphique d’une fonction.

Définition

Courbe représentative :

Dans un repère, la courbe représentative $\mathscr{C}$ (ou représentation graphique) d’une fonction $f$ est l’ensemble des points de coordonnées $(x\ ;\ f(x))$ , où $x$ appartient à l’ensemble de définition $D$ .

Cette figure montre la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $D=[-4\;;\; 5]$

Étude de fonction

Étude des variations de fonction

Définition

Variations d’une fonction :

La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[a;b]$ lorsque tous les réels $x_1$ et $x_2$ de l’intervalle $[a;b]$ tels que :

$x_1\leq x_2$ , on a $f(x_1)\leq f(x_2)$

Autrement dit lorsque les réels $x_1$ et $x_2$ et leurs images $f(x_1)$ et $f(x_2)$ sont rangés dans le même ordre.

La fonction $f$ est décroissante sur l’intervalle $[a;b]$ lorsque tous les réels $x_1$ et $x_2$ de l’intervalle $[a;b]$ tels que :

$x_1\leq x_2$ , on a $f(x_1)\geq f(x_2)$

Autrement dit lorsque les réels $x_1$ et $x_2$ et leurs images $f(x_1)$ et $f(x_2)$ sont rangés dans l’ordre contraire.

Un tableau de variation est nécessaire pour donner les variations d’une fonction :

Astuce

Les extremum sont lisibles sur le tableau de variation.

Ici, $4$ est le maximum de $f$ atteint pour $x=1$ et $1$ est le minimum de $f$ atteint pour $x=2$

Étude du signe de fonction

À retenir

Étudier le signe d’une fonction revient à résoudre l’inéquation $f(x)>0$ sur son domaine de définition.

La fonction sera positive pour les valeurs de $x$ appartenant au domaine de définition trouvées et négatives sur les autres valeurs du domaine de définition.

Graphiquement, la fonction sera positive sur l’intervalle $I$ , si sa courbe représentative est située au-dessus de l’axe des abscisses sur $I$ , et négative si la courbe est située en dessous.

La réponse sera donnée sous forme de tableau de signes.

Exemple

Prenons comme exemple la fonction $f$ définie sur $[-5\;;\;5]$ par : $f(x)=4x^2+4x-8$

Après calcul discriminant, on sait que la courbe coupe deux fois l’axe des abscisses quand $x=-2$ et $x=1$

Le tableau de signe de cette fonction est :

Rappels sur les fonctions de référence

Fonctions affines

Définition

Fonction affine :

$a$ et $b$ désignent deux nombres réels fixés.

Une fonction affine $f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par la relation $f(x)=ax+b$ .

Exemple

$a=-2$ et $b=5$ . La fonction $f$ qui à un nombre $x$ associe le nombre $-2x+5$ est une fonction affine.

Attention

Il existe deux cas particuliers :

Si $a=0$ , l’écriture devient $f(x)=b$ . On dit que $f$ est une fonction constante.
Si $b=0$ , l’écriture devient $f(x)=ax$ . On dit que $f$ est une fonction linéaire de coefficient $a$ .

Propriété

Soit la fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$ . La représentation graphique de $f$ dans un repère est la droite d’équation $y=ax+b$ qui passe par le point de coordonnées $(0\;;\;b)$ :

$a$ est le coefficient directeur de la droite $(d)$ ;
$b$ est l’ordonnée à l’origine de la droite $(d)$ .

Propriété

Le sens de variation d’une fonction affine dépend du signe de son coefficient directeur :

si $a>0$ la fonction est croissante, la droite « monte » ;
si $a=0$ la fonction est constante, la droite est horizontale ;
si $a<0$ la fonction est décroissante, la droite « descend ».

On obtient donc les tableaux de variation et les tableaux de signes suivants :

À retenir

Le changement de signe se produit pour $x=-\dfrac{a}{b}$ lorsque la droite représentative de $f$ coupe l’axe des abscisses.

Fonction carré

Définition

Fonction carré :

La fonction carré est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$ .

Propriété

La courbe représentative de la fonction carré s’appelle une parabole. Dans un repère orthogonal du plan, elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
L’origine du repère est le sommet de cette parabole.

La fonction carré est décroissante sur l’intervalle $]-\infty\;;\;0]$ puis croissante sur $[0\;;\;+\infty[$ .

Fonction inverse

Définition

Fonction inverse :

La fonction inverse est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}$ .

Astuce

$\mathbb{R}^*$ se lit «R privé de zéro» ce qui peut aussi s’écrire $\mathbb{R}\setminus\lbrace 0\rbrace$ .

Propriété

La courbe représentative de la fonction inverse s’appelle une hyperbole. Dans un repère orthogonal du plan, elle est symétrique par rapport à l’origine du repère.
La courbe représentative de la fonction inverse ne coupe jamais l’axe des abscisses ni l’axe des ordonnées.
La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\;;\;0[$ et décroissante également sur $]0\;;\;+\infty[$ .

Astuce

La double barre du tableau de variations veut dire que $x$ ne peut pas prendre la valeur 0. En effet, 0 est une valeur interdite pour $x$ car dans la fonction inverse, $x$ est le diviseur.

Cette fiche de cours fait appel aux contenus suivants

Ensemble des nombres réels

Définition

Mathématiques