Fonctions de référence
Domaine de définition et courbes représentatives
Domaine de définition et courbes représentatives
Définition d’une fonction
Définition d’une fonction
Définition
Une fonction est une façon de relier un nombre réel $x$ à un autre nombre réel $y$ qu’on écrit $f(x)$.
- $y$ est l’unique image de $x$ par la fonction $f$ et $x$ est l’antécédant de $y$ par la fonction $f$.
- Le domaine de définition (ou ensemble de définition) d’une fonction permet de connaitre toutes les valeurs possibles des antécédents c’est-à-dire des $x$.
Représentation graphique d’une fonction
Représentation graphique d’une fonction
Dans un repère, la courbe représentative $C$ (ou représentation graphique) d’une fonction $f$ est l’ensemble des points de coordonnées $(x\;;\;f(x))$, où $x$ appartient à l’ensemble de définition $D$.
Étude de fonction
Étude de fonction
Étude des variations de fonction
Étude des variations de fonction
Définition
- La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[a\;;\;b]$ lorsque pour tous les réels $x_1$ et $x_(2 )$ de l’intervalle $[a\;;\;b]$ tels que $x_1 \leq x_2$ , on a $f(x_1 ) \leq f(x_2 )$.
- La fonction $f$ est décroissante sur l’intervalle $[a\;;\;b]$ lorsque pour tous les réels $x_1$ et $x_2$ de l’intervalle $[a\;;\;b]$ tels que $x_1 \leq x_2$, on a $f(x_1 ) \neq f(x_2 )$.
Fonctions de référence
Fonctions de référence
Fonction affine
Fonction affine
Définition
$a$ et $b$ désignent deux nombres réels fixés.
Une fonction affine $f$ est une fonction définie sur $R$ par la relation $f(x)=ax+b$.
Deux cas particuliers :
- Si $a=0$, l’écriture devient $f(x)=b$. On dit que $f$ est une fonction constante.
- Si $b=0$, l’écriture devient $f(x)=ax$. On dit que $f$ est une fonction linéaire de coefficient $a$.
Propriété
Soit la fonction affine $f$ définie sur $R$ par $f(x)=ax+b$. La représentation graphique de $f$ dans un repère est la droite d’équation $y=ax+b$, qui passe par le point de coordonnées $(0\;;\;b)$.
- $a$ est le coefficient directeur de la droite $(d)$
- $b$ est l’ordonnée à l’origine de la droite $(d)$
Propriété
Le sens de variation d’une fonction affine dépend du signe de son coefficient directeur a.
- Si $a > 0$, la fonction est croissante, la droite « monte ».
- Si $ = 0$, la fonction est constante, la droite est horizontale.
- Si $a < 0$, la fonction est décroissante, la droite « descend ».
On obtient donc les tableaux de variation et les tableaux de signes suivants :
Fonction carrée
Fonction carrée
Définition
La fonction carrée est la fonction $f$ définie sur $R$ par $f(x)=x^2$.
Propriété
La courbe représentative de la fonction carrée s’appelle une parabole. Dans un repère orthogonal du plan, elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
L’origine du repère est le sommet de cette parabole.
La fonction carrée est décroissante sur l’intervalle $]-\infty\;;\;0]$ puis croissante sur $[0\;;\;+\infty[$.
Voici son tableau de variation:
Fonction inverse
Fonction inverse
Définition
La fonction inverse est la fonction f définie sur $R$ \ ${0}$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}$
Propriété
La courbe représentative de la fonction inverse s’appelle une hyperbole. Dans un repère orthogonal du plan, elle est symétrique par rapport à l’origine du repère.
La courbe représentative de la fonction inverse ne coupe jamais l’axe des abscisses ni l’axe des ordonnées.
La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty ;0[$ et décroissante sur $]0 ; +\infty[$.
Voici son tableau de variation :
