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Fonctions de référence

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Domaine de définition et courbes représentatives

Définition d’une fonction

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Définition

Une fonction est une façon de relier un nombre réel xx à un autre nombre réel yy qu’on écrit f(x)f(x).

  • yy est l’unique image de xx par la fonction ff et xx est l’antécédant de yy par la fonction ff.
  • Le domaine de définition (ou ensemble de définition) d’une fonction permet de connaitre toutes les valeurs possibles des antécédents c’est-à-dire des xx.

Représentation graphique d’une fonction

Dans un repère, la courbe représentative CC (ou représentation graphique) d’une fonction ff est l’ensemble des points de coordonnées (x  ;  f(x))(x\;;\;f(x)), où xx appartient à l’ensemble de définition DD.

Étude de fonction

Étude des variations de fonction

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Définition

  • La fonction ff est croissante sur l’intervalle [a  ;  b][a\;;\;b] lorsque pour tous les réels x1x1 et x(2)x(2 ) de l’intervalle [a  ;  b][a\;;\;b] tels que x1x2x1 \leq x2 , on a f(x1)f(x2)f(x1 ) \leq f(x2 ).
  • La fonction ff est décroissante sur l’intervalle [a  ;  b][a\;;\;b] lorsque pour tous les réels x1x1 et x2x2 de l’intervalle [a  ;  b][a\;;\;b] tels que x1x2x1 \leq x2, on a f(x1)f(x2)f(x1 ) \neq f(x2 ).

Fonctions de référence

Fonction affine

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Définition

aa et bb désignent deux nombres réels fixés.

Une fonction affine ff est une fonction définie sur RR par la relation f(x)=ax+bf(x)=ax+b.

Deux cas particuliers :

  • Si a=0a=0, l’écriture devient f(x)=bf(x)=b. On dit que ff est une fonction constante.
  • Si b=0b=0, l’écriture devient f(x)=axf(x)=ax. On dit que ff est une fonction linéaire de coefficient aa.
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Propriété

Soit la fonction affine ff définie sur RR par f(x)=ax+bf(x)=ax+b. La représentation graphique de ff dans un repère est la droite d’équation y=ax+by=ax+b, qui passe par le point de coordonnées (0  ;  b)(0\;;\;b).

  • aa est le coefficient directeur de la droite (d)(d)
  • bb est l’ordonnée à l’origine de la droite (d)(d)
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Propriété

Le sens de variation d’une fonction affine dépend du signe de son coefficient directeur a.

  • Si a>0a > 0, la fonction est croissante, la droite « monte ».
  • Si =0 = 0, la fonction est constante, la droite est horizontale.
  • Si a<0a < 0, la fonction est décroissante, la droite « descend ».

On obtient donc les tableaux de variation et les tableaux de signes suivants :

Fonction carrée

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Définition

La fonction carrée est la fonction ff définie sur RR par f(x)=x2f(x)=x^2.

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Propriété

La courbe représentative de la fonction carrée s’appelle une parabole. Dans un repère orthogonal du plan, elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

L’origine du repère est le sommet de cette parabole.

La fonction carrée est décroissante sur l’intervalle ]  ;  0]]-\infty\;;\;0] puis croissante sur [0  ;  +[[0\;;\;+\infty[.

Voici son tableau de variation:

Fonction inverse

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Définition

La fonction inverse est la fonction f définie sur RR0{0} par f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}

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Propriété

La courbe représentative de la fonction inverse s’appelle une hyperbole. Dans un repère orthogonal du plan, elle est symétrique par rapport à l’origine du repère.

La courbe représentative de la fonction inverse ne coupe jamais l’axe des abscisses ni l’axe des ordonnées.

La fonction inverse est décroissante sur ];0[]-\infty ;0[ et décroissante sur ]0;+[]0 ; +\infty[.

Voici son tableau de variation :