Fiche de révision Fonctions de référence
Domaine de définition et courbes représentatives
Définition d’une fonction
Définition
Une fonction est une façon de relier un nombre réel $x$ à un autre nombre réel $y$ qu’on écrit $f(x)$.
- $y$ est l’unique image de $x$ par la fonction $f$ et $x$ est l’antécédant de $y$ par la fonction $f$.
- Le domaine de définition (ou ensemble de définition) d’une fonction permet de connaitre toutes les valeurs possibles des antécédents c’est-à-dire des $x$.
Représentation graphique d’une fonction
Dans un repère, la courbe représentative $C$ (ou représentation graphique) d’une fonction $f$ est l’ensemble des points de coordonnées $(x\;;\;f(x))$, où $x$ appartient à l’ensemble de définition $D$.
Étude de fonction
Étude des variations de fonction
Définition
- La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[a\;;\;b]$ lorsque pour tous les réels $x_1$ et $x_(2 )$ de l’intervalle $[a\;;\;b]$ tels que $x_1 \leq x_2$ , on a $f(x_1 ) \leq f(x_2 )$.
- La fonction $f$ est décroissante sur l’intervalle $[a\;;\;b]$ lorsque pour tous les réels $x_1$ et $x_2$ de l’intervalle $[a\;;\;b]$ tels que $x_1 \leq x_2$, on a $f(x_1 ) \neq f(x_2 )$.
Fonctions de référence
Fonction affine
Définition
$a$ et $b$ désignent deux nombres réels fixés.
Une fonction affine $f$ est une fonction définie sur $R$ par la relation $f(x)=ax+b$.
Deux cas particuliers :
- Si $a=0$, l’écriture devient $f(x)=b$. On dit que $f$ est une fonction constante.
- Si $b=0$, l’écriture devient $f(x)=ax$. On dit que $f$ est une fonction linéaire de coefficient $a$.
Propriété
Soit la fonction affine $f$ définie sur $R$ par $f(x)=ax+b$. La représentation graphique de $f$ dans un repère est la droite d’équation $y=ax+b$, qui passe par le point de coordonnées $(0\;;\;b)$.
- $a$ est le coefficient directeur de la droite $(d)$
- $b$ est l’ordonnée à l’origine de la droite $(d)$
Propriété
Le sens de variation d’une fonction affine dépend du signe de son coefficient directeur a.
- Si $a > 0$, la fonction est croissante, la droite « monte ».
- Si $ = 0$, la fonction est constante, la droite est horizontale.
- Si $a < 0$, la fonction est décroissante, la droite « descend ».
On obtient donc les tableaux de variation et les tableaux de signes suivants :
Fonction carrée
Définition
La fonction carrée est la fonction $f$ définie sur $R$ par $f(x)=x^2$.
Propriété
La courbe représentative de la fonction carrée s’appelle une parabole. Dans un repère orthogonal du plan, elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
L’origine du repère est le sommet de cette parabole.
La fonction carrée est décroissante sur l’intervalle $]-\infty\;;\;0]$ puis croissante sur $[0\;;\;+\infty[$.
Voici son tableau de variation:
Fonction inverse
Définition
La fonction inverse est la fonction f définie sur $R$ \ ${0}$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}$
Propriété
La courbe représentative de la fonction inverse s’appelle une hyperbole. Dans un repère orthogonal du plan, elle est symétrique par rapport à l’origine du repère.
La courbe représentative de la fonction inverse ne coupe jamais l’axe des abscisses ni l’axe des ordonnées.
La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty ;0[$ et décroissante sur $]0 ; +\infty[$.
Voici son tableau de variation :
