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Marianne

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Fonctions de référence

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Introduction :

On commencera ce cours en revoyant les fonctions affines, la fonction carré et la fonction inverse.

Nous introduirons ensuite de nouvelles fonctions de référence : tout d'abord la fonction racine carrée puis la fonction valeur absolue. Nous terminerons avec les fonctions associées à ces fonctions de référence.

Rappels sur les fonctions de référence

Fonctions affines

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Définition

Fonction affine :

aa et bb désignent deux nombres réels fixés. Une fonction affine ff est une fonction définie sur R\mathbb{R} par la relation f(x)=ax+bf(x)=ax+b.

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Exemple

a=2a=-2 et b=5b=5.
La fonction ff qui à un nombre xx associe le nombre 2x+5-2x+5 est une fonction affine.

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Attention

Il existe deux cas particuliers :

  • Si a=0a=0, l'écriture devient f(x)=bf(x)=b. On dit que ff est une fonction constante.
  • Si b=0b=0, l'écriture devient f(x)=axf(x)=ax. On dit que ff est une fonction linéaire de coefficient aa.
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Propriété

Soit la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf(x)=ax+b.

La représentation graphique de ff dans un repère est la droite d'équation y=ax+by=ax+b qui passe par le point de coordonnées (0 ; b)(0\ ;\ b) :

  • aa est le coefficient directeur de la droite (d)(d) ;
  • bb est l'ordonnée à l'origine de la droite (d)(d).
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Propriété

Propriété :

Le sens de variation d'une fonction affine dépend du signe de son coefficient directeur :

  • si a>0a>0 la fonction est croissante, la droite « monte ».
  • si a=0a=0 la fonction est constante, la droite est horizontale.
  • si a<0a<0 la fonction est décroissante, la droite « descend ».

  • On obtient donc les tableaux de variation et les tableaux de signes suivants :

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À retenir

Le changement de signe se produit pour x=abx=-\dfrac{a}{b} lorsque la droite représentative de ff coupe l'axe des abscisses.

Fonction carré

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Définition

Fonction carré :

La fonction carré est la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2f(x)=x^2.

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Propriété

  • La courbe représentative de la fonction carré s'appelle une parabole. Dans un repère orthogonal du plan, elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
  • L'origine du repère est le sommet de cette parabole.
  • La fonction carré est décroissante sur l'intervalle ] ;0]]-\infty\ ;0] puis croissante sur [0 ;+[[0\ ;+\infty[.

Fonction inverse

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Définition

Fonction inverse :

La fonction inverse est la fonction ff définie sur R\mathbb{R}^* par f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}.

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Astuce

R\mathbb{R}^* se lit « R privé de zéro » ce qui peut aussi s'écrire R{0}\mathbb{R}\setminus{0}.

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Propriété

  • La courbe représentative de la fonction inverse s'appelle une hyperbole. Dans un repère orthogonal du plan, elle est symétrique par rapport à l'origine du repère.
  • La courbe représentative de la fonction inverse ne coupe jamais l'axe des abscisses ni l'axe des ordonnées.

  • La fonction inverse est décroissante sur ] ;0[]-\infty\ ;0[ et décroissante sur ]0 ;+[]0\ ;+\infty[.

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Astuce

La double barre du tableau de variations veut dire que xx ne peut pas prendre la valeur 00. En effet, 00 est une valeur interdite pour xx car dans la fonction inverse, xx est le diviseur.

Nouvelles fonctions de référence

Fonction racine carrée

Soit aa un réel positif. Le nombre a\sqrt{a} désigne le seul réel positif dont le carré vaut aa. On définit alors la fonction racine carrée sur l'ensemble des nombres réels positifs.

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Définition

Fonction racine carrée :

La fonction racine carrée est la fonction ff définie sur [0 ;+[[0\ ;+\infty[ par f(x)=xf(x)=\sqrt{x}.

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Propriété

  • Pour tout xR+x\in\mathbb{R}^+ on a :
  • x0\sqrt x\geq0
  • (x)2=x(\sqrt x)^2=x
  • x2=x\sqrt{x^2}=x
  • La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ;+[[0\ ;+\infty[ ;

  • Les racines carrées de deux nombres positifs sont rangées dans le même ordre que ces deux nombres.

Si aa et bb sont deux réels positifs, alors a<ba < b équivaut à a<b\sqrt a < \sqrt b

Voici la courbe représentative de la fonction racine :

Positions relatives de trois courbes sur [0 ;+[[0\ ;+\infty[

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Théorème

Pour tout x]0 ;1[x\in]0\ ;1[ on a x2<x<xx^2 < x < \sqrt x

Sur ]0 ;1[]0\ ;1[ la courbe représentative de la fonction carré f(x)=x2f(x)=x^2 est en dessous de la courbe représentative de la fonction linéaire f(x)=xf(x)=x qui est elle-même en dessous de la courbe représentative de la fonction racine carrée f(x)=xf(x)=\sqrt x.

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Théorème

Pour tout x=0x=0 et x=1x=1, on a x2=x=xx^2=x=\sqrt x

Aux points d'abscisses 00 et 11, les trois courbes représentatives sont sécantes.

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Théorème

Pour tout x]1 ;+[x\in]1\ ;+\infty[ on a x<x<x2\sqrt x < x < x^2

Sur ]1  +[]1\;+\infty[ la courbe représentative de la fonction racine carrée f(x)=xf(x)=\sqrt x est en dessous de la courbe représentative de la fonction linéaire f(x)=xf(x)=x qui est elle-même en dessous de la courbe représentative de la fonction carré f(x)=x2f(x)=x^2.

Fonction valeur absolue

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Définition

Fonction valeur absolue :

  • La valeur absolue d'un nombre réel positif est le nombre lui-même.
  • La valeur absolue d'un nombre négatif est l'opposé de ce nombre. Autrement dit, la valeur absolue du nombre xx notée x|x| est :

x={ x      si x0x      si x0|x|= \bigg\lbrace \begin{aligned}\ -x&\ \ \ \ \ \text{ si }&x\leq0 \ x&\ \ \ \ \ \text{ si }&x\geq0 \ \end{aligned}

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Exemple

5=5 3=3 0=0\begin{aligned} |5|&=5\\ |-3|&=3\\ |0|&=0\ \end{aligned}

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Propriété

Propriétés :

  • Pour tout réel xx on a :
  • x0|x|\geq0
  • x=x|x|=|-x|
  • x2=x\sqrt{x^2}=|x|
  • La fonction valeur absolue est décroissante sur ] ;0]]-\infty\ ;0] et croissante sur [0 ;+[[0\ ;+\infty[. La fonction valeur absolue admet en x=0x=0 un minimum égal à 00.

  • La courbe représentative de la fonction valeur absolue est la réunion de deux demi-droites. Dans un repère orthogonal, cette courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

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Astuce

  • Pour résoudre une équation de la forme x=a|x|=a, avec aa un réel quelconque, on trace la courbe représentative de la fonction valeur absolue et la droite d'équation y=ay=a.

On distingue alors trois cas :

  • Si a<0a<0, la droite d'équation y=ay=a et la courbe représentative de la fonction valeur absolue ne sont pas sécantes ; l'équation x=a|x|=a n'admet donc pas de solution.
  • Si a=0a=0 la droite d'équation y=ay=a et la courbe représentative de la fonction valeur absolue sont sécantes au point de coordonnées (0 ;0)(0\ ;0). L'équation x=a|x|=a admet donc une unique solution, qui est 0.
  • Si a>0a>0 la droite d'équation y=ay=a et la courbe représentative de la fonction valeur absolue sont sécantes aux points de coordonnées (a ;a)(-a\ ;a) et (a ;a)(a\ ;a) l'équation x=a|x|=a admet donc deux solutions, qui sont a-a et aa.
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Exemple

  • Pour écrire sans utiliser la valeur absolue une fonction ff définie sur R\mathbb{R} telle que f(x)=x3f(x)=|x-3|, on procède en plusieurs étapes :
  • On doit trouver le signe de l'expression qui se trouve à l'intérieur de la valeur absolue. Ce que l'on connait sur la fonction affine permet de savoir que :
  • x3x-3 s'annule quand x=3x=3.
  • x3x-3 est négative sur ] ;3[]-\infty\ ;3[ et positive sur ]3 ;+[]3\ ;+\infty[.
  • On doit ensuite écrire la fonction sans valeur absolue sur chacun des intervalles précédents :
  • sur ] ;3[]-\infty\ ;3[ on sait que x3<0x-3<0 donc x3=x+3|x-3|=-x+3 (car la valeur absolue d'un nombre négatif est l'opposé de ce nombre).
  • sur ]3 ;+[]3\ ;+\infty[ on sait que x3>0x-3>0 donc x3=x3|x-3|=x-3 (car la valeur absolue d'un nombre positif est ce nombre lui-même)
  • Il ne reste plus qu'à regrouper les données dans un tableau récapitulatif :

 ; u1/3

La fonction u+λu+\lambda

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Propriété

  • Soit uu une fonction strictement monotone sur un intervalle II et soit λ\lambda (lambda) un réel. La fonction ff définie sur II par f(x)=u(x)+λf(x)=u(x)+\lambda a le même sens de variation que uu sur II.
  • Le plan est muni d'un repère orthogonal (O  ı ;ȷ)(O\;\vec\imath\ ;\vec\jmath). La courbe représentative de la fonction u+λu+\lambda est l'image de la courbe représentative de la fonction uu par la translation de vecteur λȷ\lambda\vec\jmath.
  • Autrement dit la courbe de la fonction u+λu+\lambda est identique à celle de la fonction uu mais « plus haute » ou « plus basse » dans le repère.

La fonction λu\lambda u

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Propriété

Soit uu une fonction strictement monotone sur un intervalle II et soit λ\lambda un réel. La fonction ff définie sur II par f(x)=λu(x)f(x)=\lambda u(x) a le même sens de variation que uu si λ>0\lambda>0 et le sens de variation contraire à celui de uu si λ<0\lambda<0.

/c.

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Propriété

Soit uu une fonction strictement monotone sur un intervalle II. Si, pour tout xx de II, u(x)0u(x)\geq0 alors la fonction ff définie sur II par f(x)=u(x)f(x)=\sqrt{u(x)} a le même sens de variation que uu sur II.

La fonction {1}{u}\dfrac{1}{u}

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Propriété

Soit uu une fonction strictement monotone sur un intervalle II. La fonction ff telle que f(x)=1u(x)f(x)=\dfrac{1}{u(x)} est définie en tout xx de II tel que u(x)0u(x)\ne0. Dans ce cas, la fonction 1u\dfrac{1}{u} a le sens de variation contraire à celui de uu sur II.​