Fraction : sens - quotient

L’objectif de ce cours est de connaître la définition d’une fraction sous la forme d’un quotient et de savoir repérer une fraction sur une demi-droite graduée.

Dans un premier temps, nous donnerons la définition d’une fraction sous la forme d’un quotient et nous ferons le lien avec les nombres décimaux. Enfin, dans un deuxième temps, nous montrerons comment lire l’abscisse d’une fraction et comment placer un point d’abscisse donné sur une demi-droite graduée.

Ecriture fractionnaire d’un quotient

Définition

Pour $a$ et $b$ deux nombres entiers ($b$ non nul), le quotient de la division décimale de $a$ par $b$ est noté $a \div b$.

En écriture fractionnaire, ce quotient est noté : $\frac{a}{b}$ où $a$ est le numérateur de la fraction et $b$ son dénominateur.

Par définition, $\frac{a}{b}$ est le quotient du nombre $a$ par le nombre $b$, c'est-à-dire le nombre qui multiplié par $b$ donne $a$ : $$\frac{a}{b} \times b = a$$

Exemple

• Le quotient de la division décimale de 3 par 4 est $3\div 4 = \frac{3}{4}$. C’est le nombre qui multiplié par 4 donne 3 : $\frac{3}{4} \times 4 = 3$.

• Pour $a$ un nombre entier et $b = 1$, on a : $a \div 1 = \frac{a}{1} = a$.

Propriété

Pour $a$ et $b$ deux nombres entiers ($b$ non nul), $$\frac{a}{b} \times b = b \times \frac{a}{b} = a$$

Quand on multiplie un entier par une fraction, nous pouvons mettre les termes dans l’ordre que nous souhaitons. On appelle cette propriété la commutativité.

Lien avec les nombres décimaux

Une fraction étant un nombre, parfois elle est égale à un nombre décimal.

Passage d’un nombre décimal à une fraction

Rappel

Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’une fraction de dénominateur 10, 100, 1 000, etc.

Par exemple : 20,25 = $2~025\div 100$ = $\frac{2~025}{100}$.

Passage d’une fraction à un nombre décimal

Considérons la fraction $\frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ deux nombres entiers, $b$ non nul. Elle est égale au quotient $a \div b$.

$1^{er}$ cas : la division décimale de $a$ par $b$ s’arrête.

La fraction $\frac{a}{b}$ est alors égale au quotient de cette division qui est un nombre décimal. Par exemple : $\frac{19}{4} = 4,75$.

Dans le cas où $a$ est un multiple de $b$, la fraction $\frac{a}{b}$ est même un nombre entier. Par exemple : $\frac{24}{4} = 6$ qui est un nombre entier.

$2^{ème}$ cas : la division décimale de $a$ par $b$ ne s’arrête pas.

La fraction $\frac{a}{b}$ ne peut pas être égale à un nombre décimal. Par exemple : $\frac{5}{3} \approx 1,666….$ n’est pas égale à un nombre décimal.

REMARQUE

Lorsque nous observons l’ensemble des cas possibles, nous nous apercevons que la fraction $\frac{a}{b}$ ($a$ et $b$ deux nombres entiers, $b$ non nul) représente :

• un nombre entier (ex. : $\frac{6}{3} = 2$),
• un nombre décimal non entier (ex. : $\frac{3}{2} = 1{,}5$)
• ou un nombre non décimal (ex. : $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$).

Repérer une fraction sur une demi-droite graduée

Demi-droite graduée

Une demi-droite graduée est définie par la donnée d’une origine (point O) et d’une unité de longueur (OI avec I le point d’abscisse 1).

A partir de cette unité de longueur, nous pouvons définir une graduation avec des nombres entiers, décimaux ou avec des fractions.

À retenir

Vocabulaire : l’abscisse du point A est 3. On note A(3).

Repérer une fraction sur une demi-droite graduée

Sur cette demi-droite graduée, nous pouvons remarquer que l’unité est divisée en 4 graduations (petits traits). Chaque graduation correspond donc à $\frac{1}{4}$.

• L’abscisse du point A est $\frac{1}{4}$. On note A ($\frac{1}{4}$).
• L’abscisse du point B est $\frac{7}{4}$ car le point B est situé sur la septième graduation à partir de 0 (0 exclus). On note B ($\frac{7}{4})$.
• L’abscisse du point C est $\frac{12}{4} = 3$ car le point C est situé sur la douzième graduation à partir de 0 (0 exclus). On note C (3).

Placer une abscisse fractionnaire

Nous voulons placer les points A ($\frac{2}{3}$) et B ($\frac{8}{3}$) sur une demi-droite graduée. Nous cherchons à placer des fractions de dénominateur 3, donc nous devons graduer la demi-droite de $\frac{1}{3}$ en $\frac{1}{3}$, c'est-à-dire diviser chaque unité en 3 graduations de même longueur.

Sur cette demi-droite graduée :

• Le point A ($\frac{2}{3}$) est situé sur la deuxième graduation à partir de 0 (0 exclus).
• Le point B ($\frac{8}{3}$) est situé sur la huitième graduation à partir de 0 (0 exclus).

Graduer un segment de longueur donnée

Exemple

Nous avons la demi-droite graduée suivante et nous cherchons à déterminer l’abscisse du point représenté par un point d’interrogation.

Les graduations sont régulièrement espacées et 3 graduations correspondent à l’abscisse 5. On cherche donc le nombre qui, multiplié par 3, donne 5. Comme nous l’avons vu précédemment, il s’agit du nombre fractionnaire $\frac{5}{3}$.

Nous pouvons donc compléter les graduations de la demi-droite graduée.

Dans ce cours, nous avons vu que pour $a$ et $b$ deux nombres entiers ($b$ non nul) la fraction $\frac{a}{b}$ est le nombre qui multiplié par $b$ donne $a$ : $\frac{a}{b} \times b = a$. $a$ est le numérateur de la fraction $\frac{a}{b}$ et $b$ son dénominateur.

Ensuite, nous avons vu qu’une demi-droite graduée était définie par la donnée d’une origine (point O) et d’une unité de longueur (OI avec I le point d’abscisse 1) et que nous pouvions la graduer à l’aide de fractions. Puis, nous avons vu que nous pouvions lire l’abscisse fractionnaire d’un point d’une demi-droite graduée ou, aussi, placer un point d’abscisse fractionnaire sur une demi-droite graduée qui est donnée ou à construire.

Enfin, nous avons appris à graduer un segment de longueur donnée à l’aide d’un exemple.