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Fractions : définition, décomposition et encadrement

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Introduction :

L’objectif de ce cours est de comprendre ce qu’est une fraction, de savoir repérer une fraction sur une demi-droite graduée et de savoir décomposer une fraction en une somme pour pouvoir ensuite l’encadrer par deux nombres entiers consécutifs.

Dans un premier temps, nous donnerons la définition d’une fraction et nous ferons le lien avec les nombres décimaux. Puis, nous verrons comment lire l’abscisse d’une fraction et comment placer un point d’abscisse donné sur une demi-droite graduée.
Enfin, dans un troisième temps, nous verrons comment décomposer une fraction en somme d’un nombre entier et d’une fraction strictement inférieur à 11, ce qui nous permettra de l’encadrer facilement par deux nombres entiers consécutifs.

Écriture fractionnaire d’un quotient

Définition

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Définition

Écriture fractionnaire d’un quotient :

Pour aa et bb deux nombres entiers (avec bb non nul), le quotient de la division décimale de aa par bb est noté a÷ba \div b.

En écriture fractionnaire, ce quotient est noté ab\dfrac{a}{b}.

  • aa est le numérateur de la fraction ;
  • et bb son dénominateur.

Par définition, ab\dfrac{a}{b} est le quotient du nombre aa par le nombre bb, c'est-à-dire le nombre qui multiplié par bb donne aa : ab×b=a\frac{a}{b} \times b = a

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Exemple

Le quotient de la division décimale de 33 par 44 est 3÷4=343\div 4 = \dfrac{3}{4}

34\frac {3}{4} est donc le nombre qui multiplié par 44 donne 33 :
34×4=3\frac{3}{4} \times 4 = 3

Lien avec les nombres décimaux

Une fraction étant un nombre, nous pouvons dans certains cas la lier à un nombre décimal auquel elle est égale.

Passage d’un nombre décimal à une fraction

Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’une fraction de dénominateur 1010, 100100, 1 0001\ 000, etc.

  • Par exemple : 20,19=2019÷10020,19 = 2019\div 100 = 2 019100\dfrac{2\ 019}{100}

Passage d’une fraction à un nombre décimal

La fraction ab\dfrac{a}{b} (aa et bb deux nombres entiers avec bb non nul) est égale au quotient a÷ba \div b.

Il existe ensuite deux possibilités.

  • La division décimale de aa par bb s’arrête.
  • La fraction ab\dfrac{a}{b} est alors égale au quotient de cette division qui est un nombre décimal.

Par exemple : 194=19÷4=4,75\dfrac{19}{4} = 19 \div 4 = 4,75

  • La division décimale de aa par bb ne s’arrête pas.
  • La fraction ab\dfrac{a}{b} ne peut alors pas être égale à un nombre décimal.

Par exemple : 53=5÷31,666\dfrac{5}{3} = 5 \div 3 \approx 1,666… n’est pas égal à un nombre décimal.

Repérer une fraction sur une demi-droite graduée

Demi-droite graduée

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Définition

Demi-droite graduée :

Une demi-droite graduée est définie par une origine à laquelle on associe le nombre 00 et par une unité de longueur qui est associée à 11. Elle a également un sens positif.

À partir de l’unité de longueur d’une demi-droite graduée, on peut définir une graduation avec des nombres entiers, décimaux ou avec des fractions.

demi-droite graduée fractions

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Définition

Abscisse :

Sur une demi-droite graduée, le nombre associé à un point est appelé abscisse de ce point.

demi-droite graduée fractions

L’abscisse du point AA est 33. On le note ainsi : A(3)A(3).

Repérer une fraction sur une demi-droite graduée

Lire une abscisse fractionnaire

demi-droite graduée fractions

Sur cette demi-droite graduée, on peut voir que l’unité est sous-divisée en 44 graduations.
Chaque graduation correspond donc à 14\dfrac{1}{4}.

  • L’abscisse du point AA est 14\frac{1}{4} car le point AA est situé sur la première graduation à partir de 00 (on ne compte pas la graduation 00).
  • On note donc A(14)A(\frac{1}{4}).
  • L’abscisse du point BB est 74\frac{7}{4} car le point BB est situé sur la septième graduation à partir de 00 (on ne compte pas la graduation 00).
  • On note donc B(74)B(\frac{7}{4}).
  • L’abscisse du point CC est 124=3\frac{12}{4} = 3 car le point CC est situé sur la douzième graduation à partir de 00 (on ne compte pas la graduation 00).
  • On note donc C(3)C(3).

Placer une abscisse fractionnaire

On souhaite placer les points A(23)A(\frac{2}{3}) et B(83)B(\frac{8}{3}) sur une demi-droite graduée.

Nous cherchons à placer des fractions ayant pour dénominateur 3\blue 3, nous devons donc graduer la demi-droite de 13\frac{1}{\blue 3} en 13\frac{1}{\blue 3}, c'est-à-dire diviser chaque unité en 3\blue 3 graduations de même longueur.

demi-droite graduée fractions

Sur cette demi-droite graduée :

  • le point A(23)A(\frac{\green 2}{\blue 3}) est situé sur la deuxième graduation à partir de 00 ;
  • le point B(83)B(\frac{\green 8}{\blue 3}) est situé sur la huitième graduation à partir de 00.

Nous obtenons donc la demi-droite graduée suivante :

demi-droite graduée fractions

Décomposer une fraction

Nous allons maintenant voir que l’on peut décomposer une fraction en somme d’un nombre entier et d’une fraction strictement inférieure à 11.

Prenons pour exemple la fraction 194\dfrac{19}{4}.

Par le calcul

  • Pour décomposer une fraction, on doit chercher le plus grand multiple du dénominateur qui soit inférieur au numérateur.

On cherche ici le plus grand multiple de 4\blue 4 qui soit inférieur à 19\green {19}.

Les multiples de 4\blue {4} sont :

1×4=44<192×4=88<193×4=1212<194×4=1616<195×4=2020>19\begin{array}{ll}&1\times 4 = 4 &&→ 4 <\green {19}&\ &2\times \blue {4} = 8 &&→ 8 <\green {19}&\ &3\times \blue {4} = 12 &&→ 12 <\green {19}&\ &4\times \blue {4} = 16 &&→ 16 <\green {19}&\ &5\times \blue {4} = 20 &&→ 20 >\green {19}&\end{array}

  • Le plus grand multiple de 4\blue 4 qui soit inférieur à 19\green {19} est donc 4×4=164 \times \blue{4} = \red{16} car 5×4=20>195\times \blue{4}=20 > \green{19}.
  • On calcule maintenant la différence entre le multiple obtenu et le numérateur.

1916=3\green{19}-\red{16}=\purple 3 donc 19=16+3\green{19} = \red{16} + \purple 3

Donc 194=16+34=164+34=4+34\dfrac{\green {19}}{\blue{4}} = \dfrac{\red{16}+\purple{3}}{\blue{4}} = \dfrac{\red{16}}{\blue{4}} + \dfrac{\purple 3}{\blue 4} = 4 + \dfrac{\purple 3}{\blue 4}

On vérifie que la décomposition obtenue prend bien la forme d’un nombre entier accompagné d’une fraction strictement inférieure à 11. 034<10 \leq \dfrac{3}{4} < 1.

  • 44 est un nombre entier.
  • 034<10 \leq \dfrac{3}{4} < 1 donc 34\dfrac{3}{4} est strictement inférieur à 11.
  • L’écriture de la fraction 194\dfrac{19}{4} sous forme de la somme d’un entier et d’une fraction strictement inférieure à 11 est :

194=4+34\frac{19}{4} = 4 + \frac{3}{4}

Avec une demi-droite graduée

  • Pour placer une fraction sur une demi-droite graduée, on doit graduer la demi-droite en divisant chaque unité par le dénominateur.

Pour placer 194\dfrac{\green{19}}{\blue{4}}, nous devons graduer une demi-droite en divisant chaque unité en 4\blue 4.

La demi-droite sera donc graduée de 14\dfrac {1}{\blue{4}} en 14\dfrac {1}{\blue{4}}.

  • On place ensuite la fraction sur la demi-droite graduée en s’éloignant du 00 d’autant de graduations que l'indique le numérateur.

On place le point AA d’abscisse 194\dfrac{\green{19}}{\blue{4}} à la dix-neuvième graduation.

demi-droite graduée fractions

  • Pour obtenir la décomposition de la fraction, on lit sur la demi-droite l’unité qui précède la fraction. Cette unité est le nombre entier de la décomposition. Pour déterminer la fraction de la décomposition, on calcule le nombre de gradations restantes pour atteindre l’abscisse de la fraction. Ce nombre sera le numérateur de la fraction. Le dénominateur, lui, sera le même que celui de la fraction de base.

Nous observons ici que le point AA est situé trois graduations après le point d’abscisse 44.

  • Nous avons donc : 194=4+34\dfrac{\green{19}}{\blue{4}} = 4 + \dfrac{\purple{3}}{\blue{4}}

Encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs

Encadrer une fraction par deux entiers consécutifs, c’est écrire une double inégalité avec le nombre entier qui lui est inférieur et le nombre entier suivant qui lui est supérieur.

Par le calcul

Nous avons vu précédemment que 194=4+34\dfrac{19}{4} = 4 + \dfrac{3}{4}

Nous avons aussi vu que 4<4+34<54 < 4 + \dfrac{3}{4} < 5 et donc que 4<194<54 < \dfrac{19}{4} < 5.

  • Sans utiliser la méthode précédente, nous pouvons encadrer 19\green{19} (le numérateur de 194\frac{\green{19}}{\blue{4}}) par des multiples de 4\blue 4 (le dénominateur de 194\frac{\green{19}}{\blue{4}}) :

4×4<19<5×44\times \blue{4} < \green{19} < 5\times \blue{4} 4×44<194<5×44\frac{4\times \blue{4}}{\blue{4}} < \frac{\green{19}}{\blue{4}} < \frac{5\times \blue{4}}{\blue{4}} 4<194<54 < \frac{\green{19}}{\blue{4}} < 5

Avec une demi-droite graduée

Si l’on place le point d’abscisse 194\dfrac{\green{19}}{\blue{4}} sur une demi-droite graduée, nous pouvons observer directement l’encadrement de la fraction par deux nombres entiers consécutifs :

demi-droite graduée fractions

La fraction 194\dfrac{\green{19}}{\blue{4}} est placée entre les repères d’unités 44 et 55.

  • On peut donc en déduire l’encadrement de cette fraction :

4<194<54 < \frac{\green{19}}{\blue{4}} < 5

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons vu ce qu’était une fraction ainsi que le vocabulaire associé.
Nous avons également vu qu’une demi-droite graduée était définie par une origine, une unité de longueur et un sens positif et que nous pouvions la graduer à l’aide de fractions.
Enfin, nous avons vu comment décomposer une fraction en somme d’un nombre entier et d’une fraction strictement inférieure à 11 pour ensuite pouvoir l’encadrer facilement par deux nombres entiers consécutifs.