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Fractions : définition, décomposition et encadrement
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Introduction :
L’objectif de ce cours est de comprendre ce qu’est une fraction, de savoir repérer une fraction sur une demi-droite graduée et de savoir décomposer une fraction en une somme pour pouvoir ensuite l’encadrer par deux nombres entiers consécutifs.
Dans un premier temps, nous donnerons la définition d’une fraction et nous ferons le lien avec les nombres décimaux. Puis, nous verrons comment lire l’abscisse d’une fraction et comment placer un point d’abscisse donné sur une demi-droite graduée.
Enfin, dans un troisième temps, nous verrons comment décomposer une fraction en somme d’un nombre entier et d’une fraction strictement inférieur à , ce qui nous permettra de l’encadrer facilement par deux nombres entiers consécutifs.
Écriture fractionnaire d’un quotient
Définition
Écriture fractionnaire d’un quotient :
Pour et deux nombres entiers (avec non nul), le quotient de la division décimale de par est noté .
En écriture fractionnaire, ce quotient est noté .
Par définition, est le quotient du nombre par le nombre , c'est-à-dire le nombre qui multiplié par donne :
Le quotient de la division décimale de par est
est donc le nombre qui multiplié par donne :
Lien avec les nombres décimaux
Une fraction étant un nombre, nous pouvons dans certains cas la lier à un nombre décimal auquel elle est égale.
Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’une fraction de dénominateur , , , etc.
La fraction ( et deux nombres entiers avec non nul) est égale au quotient .
Il existe ensuite deux possibilités.
Par exemple :
Par exemple : n’est pas égal à un nombre décimal.
Repérer une fraction sur une demi-droite graduée
Demi-droite graduée
Demi-droite graduée :
Une demi-droite graduée est définie par une origine à laquelle on associe le nombre et par une unité de longueur qui est associée à . Elle a également un sens positif.
À partir de l’unité de longueur d’une demi-droite graduée, on peut définir une graduation avec des nombres entiers, décimaux ou avec des fractions.
Abscisse :
Sur une demi-droite graduée, le nombre associé à un point est appelé abscisse de ce point.
L’abscisse du point est . On le note ainsi : .
Repérer une fraction sur une demi-droite graduée
Sur cette demi-droite graduée, on peut voir que l’unité est sous-divisée en graduations.
Chaque graduation correspond donc à .
On souhaite placer les points et sur une demi-droite graduée.
Nous cherchons à placer des fractions ayant pour dénominateur , nous devons donc graduer la demi-droite de en , c'est-à-dire diviser chaque unité en graduations de même longueur.
Sur cette demi-droite graduée :
Nous obtenons donc la demi-droite graduée suivante :
Décomposer une fraction
Nous allons maintenant voir que l’on peut décomposer une fraction en somme d’un nombre entier et d’une fraction strictement inférieure à .
Prenons pour exemple la fraction .
Par le calcul
On cherche ici le plus grand multiple de qui soit inférieur à .
Les multiples de sont :
donc
Donc
On vérifie que la décomposition obtenue prend bien la forme d’un nombre entier accompagné d’une fraction strictement inférieure à . .
Avec une demi-droite graduée
Pour placer , nous devons graduer une demi-droite en divisant chaque unité en .
La demi-droite sera donc graduée de en .
On place le point d’abscisse à la dix-neuvième graduation.
Nous observons ici que le point est situé trois graduations après le point d’abscisse .
Encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs
Encadrer une fraction par deux entiers consécutifs, c’est écrire une double inégalité avec le nombre entier qui lui est inférieur et le nombre entier suivant qui lui est supérieur.
Par le calcul
Nous avons vu précédemment que
Nous avons aussi vu que et donc que .
Avec une demi-droite graduée
Si l’on place le point d’abscisse sur une demi-droite graduée, nous pouvons observer directement l’encadrement de la fraction par deux nombres entiers consécutifs :
La fraction est placée entre les repères d’unités et .
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons vu ce qu’était une fraction ainsi que le vocabulaire associé.
Nous avons également vu qu’une demi-droite graduée était définie par une origine, une unité de longueur et un sens positif et que nous pouvions la graduer à l’aide de fractions.
Enfin, nous avons vu comment décomposer une fraction en somme d’un nombre entier et d’une fraction strictement inférieure à pour ensuite pouvoir l’encadrer facilement par deux nombres entiers consécutifs.