Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Fractions : définition, décomposition et encadrement

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Écriture fractionnaire d’un quotient

  • Pour aa et bb deux nombres entiers (avec bb non nul), le quotient de la division décimale de aa par bb est noté a÷ba \div b.
  • En écriture fractionnaire, ce quotient est noté ab\dfrac{\green{a}}{\blue{b}}.
    aa est le numérateur de la fraction et bb son dénominateur.
  • Par définition, ab\dfrac{a}{b} est le quotient du nombre aa par le nombre bb, c'est-à-dire le nombre qui multiplié par bb donne aa :

ab×b=a\dfrac{a}{b} \times b = a

  • Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’une fraction de dénominateur 1010, 100100, 1 0001\ 000, etc.
  • La fraction ab\dfrac{a}{b} (aa et bb deux nombres entiers avec bb non nul) est égale au quotient a÷ba \div b.
    Il existe ensuite deux possibilités :
  • La division décimale de aa par bb s’arrête.
  • La fraction ab\dfrac{a}{b} est alors égale au quotient de cette division qui est un nombre décimal.
  • La division décimale de aa par bb ne s’arrête pas.
  • La fraction ab\dfrac{a}{b} ne peut alors pas être égale à un nombre décimal.

Repérer une fraction sur une demi-droite graduée

  • Une demi-droite graduée est définie par une origine à laquelle on associe le nombre 00 et par une unité de longueur qui est associée à 11. Elle a également un sens positif.
  • À partir de l’unité de longueur d’une demi-droite graduée, on peut définir une graduation avec des nombres entiers, décimaux ou avec des fractions.
  • Sur une demi-droite graduée, le nombre associé à un point est appelé abscisse de ce point.
  • Pour lire une abscisse fractionnaire sur une demi-droite graduée, il faut savoir que l’unité est sous-divisée en XX graduation. Chaque graduation correspond donc à 1X\dfrac{1}{X}

demi-droite graduée fractions

  • Sur cette demi-droite graduée,
  • L’abscisse du point AA est 14\frac{1}{4} car le point AA est situé sur la première graduation à partir de 00.
  • L’abscisse du point BB est 74\frac{7}{4} car le point BB est situé sur la septième graduation à partir de 00.
  • Pour placer une abscisse fractionnaire ayant pour dénominateur X\blue X, il faut graduer la demi-droite de 1X\frac{1}{\blue X} en 1X\frac{1}{\blue X}, c'est-à-dire diviser chaque unité en X\blue X graduations de même longueur.
  • On souhaite placer le point B(83)B(\frac{8}{3}) sur une demi-droite graduée.
  • le point B(83)B(\frac{\green 8}{\blue 3}) est situé sur la huitième graduation à partir de 00.

demi-droite graduée fractions

Décomposer une fraction en somme d’un entier et d’une fraction strictement inférieure à 11

Par le calcul

  • On doit chercher le plus grand multiple du dénominateur qui soit inférieur au numérateur.
  • On calcule la différence entre le multiple obtenu et le numérateur.
  • L’écriture de la fraction sous forme de la somme d’un entier et d’une fraction strictement inférieure à 11.

Avec une demi-droite graduée

  • Pour placer une fraction sur une demi-droite graduée, on doit graduer la demi-droite en divisant chaque unité par le dénominateur.
  • On place ensuite la fraction sur la demi-droite graduée en s’éloignant du 00 d’autant de graduations que l'indique le numérateur.
  • Pour obtenir la décomposition de la fraction, on lit sur la demi-droite l’unité qui précède la fraction et on lui ajoute le nombre de gradations restantes pour atteindre l’abscisse de la fraction sous forme d’une fraction au même dénominateur.

Encadrer une fraction par deux entiers consécutifs

Encadrer une fraction par deux entiers consécutifs, c’est écrire une double inégalité avec le nombre entier qui lui est inférieur et le nombre entier suivant qui lui est supérieur.
Prenons pour exemple la fraction 194\dfrac{\green {19}}{\blue 4}.

  • Par le calcul.
  • Pour encadrer 19\green{19} (le numérateur de 194\frac{\green{19}}{\blue{4}}) par des multiples de 4\blue 4 (le dénominateur de 194\frac{\green{19}}{\blue{4}}) :

4×4<19<5×44\times \blue{4} < \green{19} < 5\times \blue{4} 4×44<194<5×44\frac{4\times \blue{4}}{\blue{4}} < \frac{\green{19}}{\blue{4}} < \frac{5\times \blue{4}}{\blue{4}} 4<194<54 < \frac{\green{19}}{\blue{4}} < 5

  • Avec une demi-droite graduée.
  • Si l’on place le point d’abscisse 194\dfrac{\green{19}}{\blue{4}} sur une demi-droite graduée, nous pouvons observer directement l’encadrement de la fraction par deux entiers consécutifs :

demi-droite graduée fractions

  • La fraction 194\dfrac{\green{19}}{\blue{4}} est placée entre les repères d’unités 44 et 55.
    On peut donc en déduire l’encadrement de cette fraction : 4<194<54 < \dfrac{\green{19}}{\blue{4}} < 5