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Fractions égales

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Introduction :

La notion de quotients égaux a été abordée en 5e pour apprendre à simplifier des fractions. En 4e, la notion de fractions égales est importante car elle a de nombreuses applications dans les calculs et la résolution de problèmes qui mettent en œuvre les fractions.

Nous commencerons ce cours par un rappel de la notion et apprendrons à déterminer des fractions égales et à démontrer que des fractions sont égales. Nous parlerons ensuite des nombreuses applications de cette notion en terminant par la comparaison de fractions que nous élargirons en peu.

Fractions égales

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Propriété

Deux fractions sont égales quand leurs numérateurs et dénominateurs sont proportionnels.

Autrement dit, la valeur d'une fraction ne change pas quand on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

Ainsi, pour tous nombres entiers aa, bb et kk, avec bb et kk non nuls : ab=a×kb×k\dfrac ab = \dfrac{a \times k}{b \times k} et ab=a÷kb÷k\dfrac ab = \dfrac{a \div k}{b \div k}.

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Exemple

12=1×22×2=24\dfrac{1}{2}= \dfrac{1 \times 2}{2 \times 2} = \dfrac{2}{4} donc 12=24\dfrac{1}{2}= \dfrac{2}{4}

45=4×35×3=1215\dfrac{-4}{5}= \dfrac{-4 \times 3}{5 \times 3} = \dfrac{-12}{15} donc 45=1215\dfrac{-4}{5}= \dfrac{-12}{15}

618=6÷618÷6=13\dfrac{6}{-18} = \dfrac{6 \div 6}{-18 \div 6} = \dfrac{1}{-3} donc 618=13\dfrac{6}{-18} = \dfrac{1}{-3}

Trouver des fractions égales

MÉTHODOLOGIE

Pour trouver deux fractions égales :

  • s'il n'y a pas d'indication précise, il suffit de prendre une fraction puis de multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par le nombre de notre choix ;
  • si le numérateur ou le dénominateur de la fraction égale est donné, il s'agira de trouver le nombre kk par lequel le numérateur (ou le dénominateur) a été multiplié ou divisé et d'appliquer la même opération au dénominateur (ou au numérateur).
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Exemple

  • Trouver deux fractions égales à 1815\frac{-18}{15}.

1818 et 1515 sont divisibles par 3\red{3}.

On peut écrire 1815=18÷315÷3=65\dfrac{-18}{15} = \dfrac{-18\div \red{3}}{15\div \red{3}} = \dfrac{-6}{5}

Pour trouver une deuxième fraction égale, on peut par exemple multiplier le numérateur et le dénominateur par 2\red{2} : 1815=18×215×2=3630\dfrac{-18}{15} = \dfrac{-18\times \red{2}}{15\times \red{2}} = \dfrac{-36}{30}

Donc 65\dfrac{-6}{5} et 3630\dfrac{-36}{30} sont deux fractions égales à 1815\dfrac{-18}{15}.

  • On a : 1815=65=3630\frac{-18}{15} =\frac{-6}{5}= \frac{-36}{30}
  • Déterminer le nombre manquant à l'égalité 117=28\frac{11}{-7} = \frac{…}{28}.

28=7×(4)28 = -7 \times (-4) ; le dénominateur a ainsi été multiplié par 4-4.
Pour obtenir une fraction égale, il faut multiplier le numérateur par 4-4 ce qui donne 11×(4)=4411 \times (-4) = -44

Donc 117=11×(4)7×(4)=4428\dfrac{11}{-7} = \dfrac{11 \times (-4)}{-7 \times (-4)}=\dfrac{-44}{28}

  • 44-44 est le nombre manquant à l'égalité.
  • Trouver la fraction égale à 138\frac{13}{8} dont le dénominateur est 44.

4=8÷24 = 8 \div 2 ; le dénominateur a ainsi été divisé par 22.
Pour obtenir une fraction égale, il faudrait donc diviser le numérateur par 22, or 1313 n'est pas divisible par 22.

  • Il n'y a donc pas de fraction égale à 138\frac{13}{8} dont le dénominateur est 44.

Démontrer que deux fractions sont égales

MÉTHODOLOGIE

Pour démontrer que deux fractions sont égales, il suffira de montrer que l'une est obtenue en multipliant ou divisant le numérateur et le dénominateur de l'autre par un même nombre.

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Exemple

  • Démontrer que 74\frac{-7}{4} et 2112\frac{-21}{12} sont des fractions égales.

21-21 et 1212 sont divisibles par 33 ; on a 21÷3=7-21\div 3= -7 et 12÷3=412\div 3=4 d'où 21÷312÷3=74\frac{-21 \div 3}{12 \div 3}= \frac{-7}{4}

74\frac{-7}{4} est obtenu en divisant le numérateur et le dénominateur de 2112\frac{-21}{12} par 33.

  • On peut conclure que 74\frac{-7}{4} et 2112\frac{-21}{12} sont des fractions égales. On a 74=2112\frac{-7}{4}= \frac{-21}{12}.
  • Les fractions 54\frac 54 et 158\frac{15}{8} sont-elles égales ?

15=5×315 = 5 \times 3 ; le numérateur est multiplié par 33.
8=4×28 = 4 \times 2 ; le dénominateur est multiplié par 22.
Le numérateur et le dénominateur ne sont pas multipliés par le même nombre.

  • On peut conclure que 54\frac 54 et 158\frac{15}{8} ne sont pas des fractions égales. On a 54158\frac 54 \neq \frac{15}{8}.
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Astuce

Pour démontrer que deux fractions sont égales, on peut également utiliser l'égalité des produits en croix.

Soient aa, bb, cc et dd quatre nombres avec cc et dd non nuls.

  • Si ab=cd\frac ab = \frac cd alors a×d=c×ba \times d = c \times b.
  • Si a×d=c×ba \times d = c \times b alors ab=cd\frac ab = \frac cd.
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Exemple

Démontrer que 54\frac{-5}{4} et 2520\frac{25}{-20} sont des fractions égales.

5×(20)=100-5 \times (-20) = 100 et 25×4=10025 \times 4 = 100 ; les produits en croix sont égaux donc les fractions sont égales.

  • 54=2520\frac{-5}{4} = \frac{25}{-20}

Applications

Simplifier une fraction

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Rappel

Simplifier une fraction, c'est lui trouver une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits.

MÉTHODOLOGIE

Soient deux entiers aa et bb avec bb non nul.
Pour simplifier la fraction ab\frac ab, il s'agira de trouver, si possible, un entier kk non nul tel que aa et bb soient divisibles par kk.
Une simplification de ab\frac ab sera alors a÷kb÷k\frac{a\div k}{b\div k}.

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Rappel

Cette méthodologie nécessite un rappel des critères de divisibilité :

  • un entier est divisible par 22 s'il se termine par un chiffre pair ;
  • un entier est divisible par 33 si la somme des chiffres qui le composent est dans la table de 33 ;
  • un entier est divisible par 44 si les deux derniers chiffres qui le composent forment un nombre qui est dans la table de 44 ;
  • un entier est divisible par 55 s'il se termine par 00 ou 55 ;
  • un entier est divisible par 99 si la somme des chiffres qui le composent est dans la table de 99 ;
  • un entier est divisible par 1010 s'il se termine par 00.
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Exemple

Simplifier la fraction 4827-\frac{48}{27}.

4848 et 2727 sont divisibles par 33 ; on peut écrire 4827=48÷327÷3=169-\frac{48}{27} = -\frac{48 \div 3}{27 \div 3}=-\frac{16}{9}

  • Donc 4827=169-\frac{48}{27} = -\frac{16}{9}

Une autre formulation est possible en utilisant la propriété des fractions égales dans l'autre sens.

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Exemple

4848 et 2727 appartiennent à la table de 33 ; on a 48=16×348 = 16 \times 3 et 27=9×327 = 9 \times 3 donc 4827=16×39×3-\frac{48}{27}=-\frac{16 \times 3}{9 \times 3}

Or la propriété des fractions égales nous permet d'écrire 16×39×3=169-\frac{16 \times 3}{9 \times 3} = -\frac{16}{9} donc 4827=16×39×3=169-\frac{48}{27}=-\frac{16 \times 3}{9 \times 3}= -\frac{16}{9}

La fraction 4827-\frac{48}{27} a bien été simplifiée par 33. Pour visualiser cette simplification, on peut barrer le « ×3\times 3 » du numérateur et du dénominateur :
4827=16 × 39 × 3=169-\dfrac{48}{27}=-\dfrac{16\ \xcancel{\red{\times\ 3}}}{9\ \xcancel{\red{\times\ 3}}}= -\dfrac{16}{9}

  • Il ne reste plus que 169-\frac{16}{9}.

Cette technique est celle utilisée pour simplifier certains calculs comme des multiplications ou des divisions d'écritures fractionnaires ; on décompose le numérateur et le dénominateur pour mettre en évidence des facteurs communs puis on simplifie.

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Exemple

Simplifier 19201440\frac{1920}{1440} de façon à ce que le numérateur et dénominateur soient les plus petits possible.

Rapidement, on peut établir que : ÷10÷2÷2÷2÷2÷319201440=192144=9672=4836=2418=129=43\begin{array}{ccccccccccccc}&\scriptsize \red {{\div 10}}&&\scriptsize \red {{\div 2}}&&\scriptsize \red {{\div 2}}&&\scriptsize \red {{\div 2}}&&\scriptsize \red {{\div 2}}&&\scriptsize \red {{\div 3}}\ &\red {\curvearrowright}&&\red {\curvearrowright}&&\red {\curvearrowright}&&\red {\curvearrowright}&&\red {\curvearrowright}&&\red {\curvearrowright}\ \dfrac{1920}{1440}&=&\dfrac{192}{144} &=& \dfrac{96}{72} &=& \dfrac{48}{36} &=& \dfrac{24}{18} &=& \dfrac{12}{9} &=& \dfrac 43\end{array}

On ne peut pas diviser 44 et 33 par un même nombre.

  • La forme la plus simplifiée de 19201440\frac{1920}{1440} est 43\frac 43.

Calculer astucieusement

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Exemple

Calculer astucieusement la fraction 1225\frac{12}{25}.

On remarque que 25×4=10025 \green{\times 4} = 100, donc en multipliant 1212 par 4\green{4} on obtiendra une fraction égale plus simple à calculer.

12×4=4812 \green{\times 4} = 48 donc on peut écrire 1225=12×425×4=48100=0,48\dfrac{12}{25}= \dfrac{12 \green{\times 4}}{25 \green{\times 4}}=\dfrac{48}{100} = 0,48

  • 0,480,48 est le résultat attendu.

Diviser par un nombre décimal

MÉTHODOLOGIE

Pour effectuer une division par un nombre décimal, on multiplie le numérateur et le dénominateur par un même nombre de façon à ce que le dénominateur soit un nombre entier.

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Exemple

Calculer 7,82÷3,47,82 \div 3,4

L'écriture fractionnaire de ce quotient est 7,823,4\frac{7,82}{3,4}

Or 7,823,4=7,82×103,4×10=78,234\frac{7,82}{3,4}= \frac{7,82\times 10}{3,4 \times 10}=\frac{78,2}{34}

Ainsi 7,82÷3,4=78,2÷347,82 \div 3,4 = 78,2 \div 34, et nous savons poser cette division :

Fractions égales mathématiques quatrième

  • On obtient 7,82÷3,4=78,2÷34=2,37,82 \div 3,4 = 78,2 \div 34=2,3

Mettre des fractions au même dénominateur

Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut que ces dernières soient au même dénominateur. Mettre des fractions au même dénominateur est donc très souvent nécessaire.

MÉTHODOLOGIE

Pour mettre des fractions au même dénominateur, on doit rechercher le plus petit multiple commun aux dénominateurs de départ.

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Exemple

  • Mettre au mettre dénominateur les fractions 83\frac{-8}{3} et 1712\frac{17}{12}.

On remarque que 12=3×412 = 3 \times 4.

En transformant 83\frac{-8}{3} en 8×43×4=3212\frac{-8 \times 4}{3 \times 4} = \frac{-32}{12}, les deux fractions sont au même dénominateur.

  • Mettre au mettre dénominateur les fractions 718\frac{7}{-18} et 112\frac{1}{12}.

On remarque que 18=2×3×3-18 = -2 \times 3 \times 3 et 12=2×2×312 = 2 \times 2 \times 3.

En multipliant 18-18 par 2-2 et 1212 par 33 on obtiendra le même dénominateur.
Ainsi :
718=7×(2)18×(2)=1436\frac{7}{-18} = \frac{7\times(-2)}{-18\times (-2)} = \frac{-14}{36} et 112=1×312×3=336\frac{1}{12} = \frac{1\times 3}{12\times 3} = \frac{3}{36}

Cette méthode permet également de comparer des fractions lorsqu'elles ne sont pas au même dénominateur.

Comparer des fractions

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Rappel

  • Si deux nombres sont de signe opposé, le plus grand est toujours le nombre positif.
  • Si deux nombres sont positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.
  • Si deux nombres sont négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro.
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Astuce

Les problèmes de comparaison ne se posent que si les nombres ont le même signe. Si ce n'est pas le cas, on suit tout simplement la première règle qui permet de conclure immédiatement : le plus grand sera toujours le nombre positif.

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Propriété

Si deux fractions ont le même dénominateur positif, la plus petite est celle qui a le plus petit numérateur.

Autrement dit, soient aa, bb et cc trois entiers avec cc positif non nul :
si a<ba < b alors ac<bc\frac ac < \frac bc.

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Exemple

  • Comparer 56\frac{5}{-6} et 76\frac{-7}{6}.

Les fractions, mises au même dénominateur positif, deviennent56\frac{-5}{6} et 76\frac{-7}{6}.

7<5-7 < -5 donc 76<56\frac{-7}{6} <\frac{-5}{6} d'où 76<56\frac{-7}{6} <\frac{5}{-6}

  • Comparer 116\frac{11}{6} et 137\frac{13}{7}.

Le dénominateur commun de ces deux fractions est 6×7=426 \times 7 = 42
116=11×76×7=7742\frac{11}{6} = \frac{11\times 7}{6\times 7}= \frac{77}{42} et 137=13×67×6=7842\frac{13}{7}=\frac{13\times 6}{7 \times 6}= \frac{78}{42}

77<7877 < 78 donc 7742<7842 \frac{77}{42} < \frac{78}{42} d'où 116<137\frac{11}{6} < \frac{13}{7}

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Astuce

Cette méthode de comparaison n'est pas la seule. On peut aussi mettre les fractions au même numérateur ou les comparer à l'unité (mais aussi chercher leur écriture décimale, les positionner sur une droite graduée, etc.).

Fractions de même numérateur

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Propriété

Si deux fractions ont le même numérateur positif, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.
Autrement dit : soient aa, bb et cc trois entiers avec cc positif et aa et bb non nuls, si a<ba < b alors ca>cb\frac ca > \frac cb.

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Exemple

Comparer 1723\frac{-17}{23} et 1749\frac{17}{-49}.

Les fractions, mises au même numérateur positif, deviennent1723\frac{17}{-23} et 1749\frac{17}{-49}.

On a 23>49-23 > - 49 donc 1723<1749\frac{17}{-23} < \frac{17}{-49} d'où 1723<1749\frac{-17}{23} < \frac{17}{-49}

Comparaison à l'unité

Soit une fraction dont le dénominateur et le numérateur sont positifs.

  • Si son numérateur est plus grand que son dénominateur, alors la fraction est supérieure à 11.
  • Si son numérateur est plus petit que son dénominateur, alors la fraction est inférieure à 11.
  • Si son numérateur est égal à son dénominateur, alors la fraction est égale à 11.

Autrement dit : soient aa et bb deux entiers positifs avec bb non nul :

  • si a>ba > b alors ab>1\frac ab > 1 ;
  • si a<ba < b alors ab<1\frac ab < 1 ;
  • si a=ba = b alors ab=1\frac ab = 1.
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Exemple

Comparer 54\frac{5}{-4} et 23\frac{-2}{3}.

Sachant que des nombres négatifs sont rangés dans le sens inverse de leurs opposés, comparons d'abord les fractions positives 54\frac 54 et 23\frac 23 par rapport à 11.

5>45 > 4 donc 54>1\frac 54 > 1 et 2<32 < 3 donc 23<1\frac 23 < 1.

  • On peut écrire 23<1<54\frac 23 < 1 < \frac 54 d'où 23<54\frac 23 < \frac 54 donc 23>54\frac{-2}{3} > \frac{-5}{4}

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons consolidé la notion de fractions égales ce qui nous permettra d'aborder les calculs et les problèmes faisant intervenir des fractions sereinement (simplification, additions, soustractions, comparaisons, calculs astucieux…).