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Marianne

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Fractions : simplification et calculs

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Introduction :

Les objectifs de ce cours sont de simplifier des fractions, de savoir reconnaître deux fractions égales et d’apprendre à calculer la fraction d’une quantité.
Dans un premier temps, nous verrons comment donner différentes écritures d’une même fraction à l’aide de la formule de simplification. Puis, nous donnerons plusieurs méthodes pour calculer la fraction d’une quantité.

Simplification de fractions et fractions égales

Simplification de fractions

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Propriété

Une fraction ne change pas lorsqu’on multiplie ou qu’on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre différent de 00.

Ainsi, pour a\green a et b\blue b deux nombres entiers (avec b\blue b non nul) et k\red k un nombre entier non nul, on a : ab=a×kb×k=a÷kb÷k\dfrac{\green{a}}{\blue{b}} = \dfrac{\green{a}\times \red{k}}{\blue{b} \times \red{k}} = \dfrac{\green{a} \div \red{k}}{\blue{b} \div \red{k}}

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Exemple

46=4÷26÷2=23\dfrac{4}{6} = \dfrac{4 \div 2}{6 \div 2} = \dfrac{2}{3}

92=9×42×4=368\dfrac{9}{2} = \dfrac{9 \times 4}{2 \times 4} = \dfrac{36}{8}

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À retenir

Cette formule est utilisée pour simplifier une fraction, c'est-à-dire pour trouver une fraction qui lui est égale mais dont le dénominateur et le numérateur sont les plus petits possible.

MÉTHODE

On souhaite simplifier 1525\dfrac{\green{15}}{\blue{25}}

  • On cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur de la fraction.
  • 15\green {15} et 25\blue {25} sont tous deux divisibles par 5\red {5}.
  • On divise le numérateur et le dénominateur par le diviseur trouvé.
  • On peut donc écrire :

1525=15÷525÷5=35\dfrac{\green {15}}{\blue {25}}= \dfrac{\green {15}\div \red {5}}{\blue {25} \div \red {5}} = \dfrac{3}{5}

  • Pour être certain d’avoir simplifié la fraction au maximum, on vérifie que le numérateur et le dénominateur de la fraction simplifiée n’ont pas de diviseur commun.
  • 33 et 55 n’ont pas de diviseur commun. La fraction a donc bien été simplifiée au maximum.
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Exemple

  • On souhaite simplifier 2112\dfrac{\green{21}}{\blue{12}}

21\green{21} et 12\blue{12} sont tous deux divisibles par 3\red{3}.

  • On peut donc écrire : 2112=21÷312÷3=74\dfrac{\green{21}}{\blue{12}} = \dfrac{\green{21}\div \red{3}}{\blue{12} \div \red{3}} = \dfrac{7}{4}

77 et 44 n’ont pas de diviseur commun, on a donc bien simplifié la fraction au maximum.

  • On souhaite simplifier 1230\dfrac{\green{12}}{\blue{30}}

12\green{12} et 30\blue{30} sont tous deux divisibles par 2\red{2}.

  • On peut donc écrire : 1230=12÷230÷2=615\dfrac{\green{12}}{\blue{30}} = \dfrac{\green{12}\div \red{2}}{\blue{30} \div \red{2}} = \dfrac{6}{15}

On s’aperçoit ici que 6\green{6} et 15\blue{15} ont un diviseur commun : 3\red{3}.
Cela signifie qu'on peut encore simplifier cette fraction.

  • On peut donc écrire : 615=6÷315÷3=25\dfrac{\green{6}}{\blue{15}}=\dfrac{\green{6}\div \red{3}}{\blue{15}\div \red{3}} = \dfrac{2}{5}

22 et 55 n’ont pas de diviseur commun, on a donc bien simplifié la fraction au maximum.

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Astuce

Si l’on avait vu dès la première étape que 12\green{12} et 30\blue{30} étaient divisibles par 6\red 6, on n’aurait eu à simplifier qu’une seule fois pour arriver au même résultat : 1230=12÷630÷6=25\dfrac{\green{12}}{\blue{30}} = \dfrac{\green{12}\div \red{6}}{\blue{30} \div \red{6}} = \dfrac{2}{5}

Fractions égales

Dans certains cas, on peut avoir besoin d’écrire une fraction sous la forme d’une autre fraction qui lui est égale afin de changer son dénominateur.

MÉTHODE

Complétons l’égalité de fractions suivante :

910=100\dfrac{\green{9}}{\blue{10}} = \dfrac{…}{100}

  • On cherche tout d’abord comment passer du dénominateur de la première fraction à celui de la deuxième.
  • Pour passer du nombre 10\blue{10} au nombre 100100, il faut multiplier par 10\red{10} puisque 10×10=100\blue{10} \times \red{10} =100
  • On cherche ensuite le numérateur de la fraction d’arrivée. Pour cela, on doit multiplier le numérateur de la première fraction par le même nombre que le dénominateur pour qu’il y ait égalité.
  • Le nombre cherché est donc 9×10=90\green{9}\times \red{10} = 90
    L’égalité cherchée est donc :

910=9×1010×10=90100\dfrac{\green{9}}{\blue{10}}=\dfrac{\green{9}\times \red{10}}{\blue{10}\times \red{10}}=\dfrac{90}{100}

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Exemple

  • 23=15\dfrac{\green{2}}{\blue{3}} = \dfrac{…}{15}

Pour passer du dénominateur 3\blue{3} au dénumérateur 1515, il faut multiplier par 5\red{5} puisque 3×5=15\blue{3} \times \red{5} =15

Le numérateur est donc 2×5=10\green{2}\times \red{5} = 10

L’égalité cherchée est :

23=2×53×5=1015\dfrac{\green{2}}{\blue{3}}=\dfrac{\green{2}\times \red{5}}{\blue{3}\times \red{5}}=\dfrac{10}{15}

  • 75=20\dfrac{\green{7}}{\blue{5}} = \dfrac{…}{20}

Pour passer du dénominateur 5\blue{5} au dénominateur 2020, il faut multiplier par 4\red{4} puisque 5×4=20\blue{5} \times \red{4} =20

Le numérateur cherché est donc 7×4=28\green{7}\times \red{4} = 28

L’égalité cherchée est :

75=7×45×4=2820\dfrac{\green{7}}{\blue{5}}=\dfrac{\green{7}\times \red{4}}{\blue{5}\times \red{4}}=\dfrac{28}{20}

Fraction d’une quantité

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Propriété

Prendre une fraction d’un nombre, c’est multiplier cette fraction par ce nombre.

Soit aa, bb et cc trois entiers avec bb non nul.
Prendre la fraction ab\dfrac {a}{b} de cc correspond à calculer ab×c\dfrac{a}{b} \times c.

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Astuce

Les mots clés « du », « de la », « d' », « de » et « des » se traduisent par l'opération « ×\purple \times ».

Ainsi, on peut traduire « prendre ab\dfrac ab de cc » par « ab×c\dfrac ab \purple{\times} c ».

MÉTHODES

Pour calculer les trois quarts de 2424 élèves, nous devons calculer 34×24\dfrac{3}{4} \times 24

Pour effectuer ce type de calcul, il existe trois méthodes.

  • On écrit le calcul sous la forme d’une seule fraction.
  • 34×24=3×244=724=18\dfrac{3}{4} \times 24 = \purple{\dfrac{3\times 24}{4}} = \dfrac{72}{4} = 18
  • On déplace le dénominateur de la fraction car 244\dfrac{24}{4} est simple à calculer.
  • 34×24=3×244=3×6=18\dfrac{3}{\purple {4}} \times 24 = 3\times \dfrac{24}{\purple {4}} = 3\times 6 = 18
  • On calcule la valeur décimale de 34\dfrac{3}{4}.
  • 34×24=0,75×24=18\dfrac{3}{4} \times 24 = \purple{0,75} \times 24 = 18
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Astuce

Selon les nombres du calcul, une des trois méthodes peut être plus simple que les autres. La première méthode conviendra tout le temps, mais il faut effectuer une multiplication puis une division.
Si les deuxième et troisième méthodes sont possibles, elles peuvent raccourcir les calculs ou les rendre plus simples.

Exemples de calcul

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Exemple

Pour calculer les deux tiers de 6060, on peut :

  • écrire le calcul sous la forme d’une seule fraction :
    23×60=2×603=1203=40\dfrac{2}{3} \times 60 = \dfrac{2\times 60}{3} = \dfrac{120}{3} = 40
  • déplacer le dénominateur de la fraction car 603\dfrac{60}{3} est simple à calculer :
    23×60=2×603=2×20=40\dfrac{2}{3} \times 60 = 2\times \dfrac{60}{3} = 2\times 20 = 40

La troisième méthode ne peut pas être utilisée car la fraction 23\dfrac{2}{3} n’est pas un nombre décimal.

Pour calculer les cinq demis de 3636, on peut :

  • écrire le calcul sous la forme d’une seule fraction :
    52×36=5×362=1802=90\dfrac{5}{2} \times 36 = \dfrac{5\times 36}{2} = \dfrac{180}{2} = 90
  • déplacer le dénominateur de la fraction car 362\dfrac{36}{2} est simple à calculer :
    52×36=5×362=5×18=90\dfrac{5}{2} \times 36 = 5\times \dfrac{36}{2} = 5\times 18 = 90
  • calculer la valeur décimale de 52\dfrac{5}{2} :
    52×36=2,5×36=90\dfrac{5}{2} \times 36 = 2,5 \times 36 = 90

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons vu comment donner différentes écritures d’une même fraction en utilisant la formule ab=a×kb×k=a÷kb÷k\dfrac{a}{b} = \dfrac{a\times k}{b \times k} = \dfrac{a \div k}{b \div k} pour aa et bb deux nombres entiers (avec bb non nul) et kk un nombre entier non nul.

Nous avons également vu comment calculer la fraction d’un nombre de 33 différentes manières.