Cours : Fractions : simplification et calculs

Fractions : simplification et calculs

Introduction :

Les objectifs de ce cours sont de simplifier des fractions, de savoir reconnaître deux fractions égales et d’apprendre à calculer la fraction d’une quantité.
Dans un premier temps, nous verrons comment donner différentes écritures d’une même fraction à l’aide de la formule de simplification. Puis, nous donnerons plusieurs méthodes pour calculer la fraction d’une quantité.

Simplification de fractions et fractions égales

Simplification de fractions

Propriété

Une fraction ne change pas lorsqu’on multiplie ou qu’on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre différent de $0$.

Ainsi, pour $\green a$ et $\blue b$ deux nombres entiers (avec $\blue b$ non nul) et $\red k$ un nombre entier non nul, on a : $$\dfrac{\green{a}}{\blue{b}} = \dfrac{\green{a}\times \red{k}}{\blue{b} \times \red{k}} = \dfrac{\green{a} \div \red{k}}{\blue{b} \div \red{k}}$$

Exemple

$\dfrac{4}{6} = \dfrac{4 \div 2}{6 \div 2} = \dfrac{2}{3}$

$\dfrac{9}{2} = \dfrac{9 \times 4}{2 \times 4} = \dfrac{36}{8}$

À retenir

Cette formule est utilisée pour simplifier une fraction, c'est-à-dire pour trouver une fraction qui lui est égale mais dont le dénominateur et le numérateur sont les plus petits possible.

MÉTHODE

On souhaite simplifier $\dfrac{\green{15}}{\blue{25}}$

On cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur de la fraction.
$\green {15}$ et $\blue {25}$ sont tous deux divisibles par $\red {5}$.
On divise le numérateur et le dénominateur par le diviseur trouvé.
On peut donc écrire :

$$\dfrac{\green {15}}{\blue {25}}= \dfrac{\green {15}\div \red {5}}{\blue {25} \div \red {5}} = \dfrac{3}{5}$$

Pour être certain d’avoir simplifié la fraction au maximum, on vérifie que le numérateur et le dénominateur de la fraction simplifiée n’ont pas de diviseur commun.
$3$ et $5$ n’ont pas de diviseur commun. La fraction a donc bien été simplifiée au maximum.

Exemple

On souhaite simplifier $\dfrac{\green{21}}{\blue{12}}$

$\green{21}$ et $\blue{12}$ sont tous deux divisibles par $\red{3}$.

On peut donc écrire : $\dfrac{\green{21}}{\blue{12}} = \dfrac{\green{21}\div \red{3}}{\blue{12} \div \red{3}} = \dfrac{7}{4}$

$7$ et $4$ n’ont pas de diviseur commun, on a donc bien simplifié la fraction au maximum.

On souhaite simplifier $\dfrac{\green{12}}{\blue{30}}$

$\green{12}$ et $\blue{30}$ sont tous deux divisibles par $\red{2}$.

On peut donc écrire : $\dfrac{\green{12}}{\blue{30}} = \dfrac{\green{12}\div \red{2}}{\blue{30} \div \red{2}} = \dfrac{6}{15}$

On s’aperçoit ici que $\green{6}$ et $\blue{15}$ ont un diviseur commun : $\red{3}$.
Cela signifie qu'on peut encore simplifier cette fraction.

On peut donc écrire : $\dfrac{\green{6}}{\blue{15}}=\dfrac{\green{6}\div \red{3}}{\blue{15}\div \red{3}} = \dfrac{2}{5}$

$2$ et $5$ n’ont pas de diviseur commun, on a donc bien simplifié la fraction au maximum.

Astuce

Si l’on avait vu dès la première étape que $\green{12}$ et $\blue{30}$ étaient divisibles par $\red 6$, on n’aurait eu à simplifier qu’une seule fois pour arriver au même résultat : $$\dfrac{\green{12}}{\blue{30}} = \dfrac{\green{12}\div \red{6}}{\blue{30} \div \red{6}} = \dfrac{2}{5}$$

Fractions égales

Dans certains cas, on peut avoir besoin d’écrire une fraction sous la forme d’une autre fraction qui lui est égale afin de changer son dénominateur.

MÉTHODE

Complétons l’égalité de fractions suivante :

$$\dfrac{\green{9}}{\blue{10}} = \dfrac{…}{100}$$

On cherche tout d’abord comment passer du dénominateur de la première fraction à celui de la deuxième.
Pour passer du nombre $\blue{10}$ au nombre $100$, il faut multiplier par $\red{10}$ puisque $\blue{10} \times \red{10} =100$
On cherche ensuite le numérateur de la fraction d’arrivée. Pour cela, on doit multiplier le numérateur de la première fraction par le même nombre que le dénominateur pour qu’il y ait égalité.
Le nombre cherché est donc $\green{9}\times \red{10} = 90$
L’égalité cherchée est donc :

$$\dfrac{\green{9}}{\blue{10}}=\dfrac{\green{9}\times \red{10}}{\blue{10}\times \red{10}}=\dfrac{90}{100}$$

Exemple

$\dfrac{\green{2}}{\blue{3}} = \dfrac{…}{15}$

Pour passer du dénominateur $\blue{3}$ au dénominateur $15$, il faut multiplier par $\red{5}$ puisque $\blue{3} \times \red{5} =15$

Le numérateur est donc $\green{2}\times \red{5} = 10$

L’égalité cherchée est :

$$\dfrac{\green{2}}{\blue{3}}=\dfrac{\green{2}\times \red{5}}{\blue{3}\times \red{5}}=\dfrac{10}{15}$$

$\dfrac{\green{7}}{\blue{5}} = \dfrac{…}{20}$

Pour passer du dénominateur $\blue{5}$ au dénominateur $20$, il faut multiplier par $\red{4}$ puisque $\blue{5} \times \red{4} =20$

Le numérateur cherché est donc $\green{7}\times \red{4} = 28$

L’égalité cherchée est :

$$\dfrac{\green{7}}{\blue{5}}=\dfrac{\green{7}\times \red{4}}{\blue{5}\times \red{4}}=\dfrac{28}{20}$$

Fraction d’une quantité

Propriété

Prendre une fraction d’un nombre, c’est multiplier cette fraction par ce nombre.

Soit $a$, $b$ et $c$ trois entiers avec $b$ non nul.
Prendre la fraction $\dfrac {a}{b}$ de $c$ correspond à calculer $\dfrac{a}{b} \times c$.

Astuce

Les mots clés « du », « de la », « d' », « de » et « des » se traduisent par l'opération « $\purple \times$ ».

Ainsi, on peut traduire « prendre $\dfrac ab$ de $c$ » par « $\dfrac ab \purple{\times} c$ ».

MÉTHODES

Pour calculer les trois quarts de $24$ élèves, nous devons calculer $\dfrac{3}{4} \times 24$

Pour effectuer ce type de calcul, il existe trois méthodes.

On écrit le calcul sous la forme d’une seule fraction.
$\dfrac{3}{4} \times 24 = \purple{\dfrac{3\times 24}{4}} = \dfrac{72}{4} = 18$
On déplace le dénominateur de la fraction car $\dfrac{24}{4}$ est simple à calculer.
$\dfrac{3}{\purple {4}} \times 24 = 3\times \dfrac{24}{\purple {4}} = 3\times 6 = 18$
On calcule la valeur décimale de $\dfrac{3}{4}$.
$\dfrac{3}{4} \times 24 = \purple{0,75} \times 24 = 18$

Astuce

Selon les nombres du calcul, une des trois méthodes peut être plus simple que les autres. La première méthode conviendra tout le temps, mais il faut effectuer une multiplication puis une division.
Si les deuxième et troisième méthodes sont possibles, elles peuvent raccourcir les calculs ou les rendre plus simples.

Exemples de calcul

Exemple

Pour calculer les deux tiers de $60$, on peut :

écrire le calcul sous la forme d’une seule fraction :
$$\dfrac{2}{3} \times 60 = \dfrac{2\times 60}{3} = \dfrac{120}{3} = 40$$
déplacer le dénominateur de la fraction car $\dfrac{60}{3}$ est simple à calculer :
$$\dfrac{2}{3} \times 60 = 2\times \dfrac{60}{3} = 2\times 20 = 40$$

La troisième méthode ne peut pas être utilisée car la fraction $\dfrac{2}{3}$ n’est pas un nombre décimal.

Pour calculer les cinq demis de $36$, on peut :

écrire le calcul sous la forme d’une seule fraction :
$$\dfrac{5}{2} \times 36 = \dfrac{5\times 36}{2} = \dfrac{180}{2} = 90$$
déplacer le dénominateur de la fraction car $\dfrac{36}{2}$ est simple à calculer :
$$\dfrac{5}{2} \times 36 = 5\times \dfrac{36}{2} = 5\times 18 = 90$$
calculer la valeur décimale de $\dfrac{5}{2}$ :
$$\dfrac{5}{2} \times 36 = 2,5 \times 36 = 90$$

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons vu comment donner différentes écritures d’une même fraction en utilisant la formule $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a\times k}{b \times k} = \dfrac{a \div k}{b \div k}$ pour $a$ et $b$ deux nombres entiers (avec $b$ non nul) et $k$ un nombre entier non nul.

Nous avons également vu comment calculer la fraction d’un nombre de $3$ différentes manières.