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Fractions : simplification et calculs
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Introduction :
Les objectifs de ce cours sont de simplifier des fractions, de savoir reconnaître deux fractions égales et d’apprendre à calculer la fraction d’une quantité.
Dans un premier temps, nous verrons comment donner différentes écritures d’une même fraction à l’aide de la formule de simplification. Puis, nous donnerons plusieurs méthodes pour calculer la fraction d’une quantité.
Simplification de fractions et fractions égales
Simplification de fractions
Une fraction ne change pas lorsqu’on multiplie ou qu’on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre différent de .
Ainsi, pour et deux nombres entiers (avec non nul) et un nombre entier non nul, on a :
Cette formule est utilisée pour simplifier une fraction, c'est-à-dire pour trouver une fraction qui lui est égale mais dont le dénominateur et le numérateur sont les plus petits possible.
MÉTHODE
On souhaite simplifier
et sont tous deux divisibles par .
et n’ont pas de diviseur commun, on a donc bien simplifié la fraction au maximum.
et sont tous deux divisibles par .
On s’aperçoit ici que et ont un diviseur commun : .
Cela signifie qu'on peut encore simplifier cette fraction.
et n’ont pas de diviseur commun, on a donc bien simplifié la fraction au maximum.
Si l’on avait vu dès la première étape que et étaient divisibles par , on n’aurait eu à simplifier qu’une seule fois pour arriver au même résultat :
Fractions égales
Dans certains cas, on peut avoir besoin d’écrire une fraction sous la forme d’une autre fraction qui lui est égale afin de changer son dénominateur.
MÉTHODE
Complétons l’égalité de fractions suivante :
Pour passer du dénominateur au dénominateur , il faut multiplier par puisque
Le numérateur est donc
L’égalité cherchée est :
Pour passer du dénominateur au dénominateur , il faut multiplier par puisque
Le numérateur cherché est donc
L’égalité cherchée est :
Fraction d’une quantité
Prendre une fraction d’un nombre, c’est multiplier cette fraction par ce nombre.
Soit , et trois entiers avec non nul.
Prendre la fraction de correspond à calculer .
Les mots clés « du », « de la », « d' », « de » et « des » se traduisent par l'opération « ».
Ainsi, on peut traduire « prendre de » par « ».
MÉTHODES
Pour calculer les trois quarts de élèves, nous devons calculer
Pour effectuer ce type de calcul, il existe trois méthodes.
Selon les nombres du calcul, une des trois méthodes peut être plus simple que les autres.
La première méthode conviendra tout le temps, mais il faut effectuer une multiplication puis une division.
Si les deuxième et troisième méthodes sont possibles, elles peuvent raccourcir les calculs ou les rendre plus simples.
Exemples de calcul
Pour calculer les deux tiers de , on peut :
La troisième méthode ne peut pas être utilisée car la fraction n’est pas un nombre décimal.
Pour calculer les cinq demis de , on peut :
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons vu comment donner différentes écritures d’une même fraction en utilisant la formule pour et deux nombres entiers (avec non nul) et un nombre entier non nul.
Nous avons également vu comment calculer la fraction d’un nombre de différentes manières.