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Fractions : simplification et calculs

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Simplification de fractions et fractions égales

  • Une fraction ne change pas lorsqu’on multiplie ou qu’on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre différent de 00.
  • Pour a\green a et b\blue b deux nombres entiers (avec b\blue b non nul) et k\red k un nombre entier non nul, on a : ab=a×kb×k=a÷kb÷k\dfrac{\green{a}}{\blue{b}} = \dfrac{\green{a}\times \red{k}}{\blue{b} \times \red{k}} = \dfrac{\green{a} \div \red{k}}{\blue{b} \div \red{k}}
  • Pour simplifier une fraction :
  • On cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur de la fraction.
  • On divise le numérateur et le dénominateur par le diviseur trouvé.
  • On vérifie que le numérateur et le dénominateur de la fraction simplifiée n’ont pas de diviseur commun pour être certain d’avoir simplifié la fraction au maximum.
  • Pour compléter l’égalité d’une fraction :
    Exemple : 910=100\dfrac{\green{9}}{\blue{10}} = \dfrac{…}{100}
  • On cherche comment passer du dénominateur de la première fraction à celui de la deuxième.
  • Pour passer du nombre 10\blue{10} au nombre 100100, il faut multiplier par 10\red{10} puisque 10×10=100\blue{10} \times \red{10} =100
  • On cherche ensuite le numérateur de la fraction d’arrivée. Pour cela, on doit multiplier le numérateur de la première fraction par le même nombre que le dénominateur pour qu’il y ait égalité.
  • Le nombre cherché est donc 9×10=90\green{9}\times \red{10} = 90
    L’égalité cherchée est donc :

910=9×1010×10=90100\dfrac{\green{9}}{\blue{10}}=\dfrac{\green{9}\times \red{10}}{\blue{10}\times \red{10}}=\dfrac{90}{100}

Fraction d’une quantité

  • Prendre une fraction d’un nombre, c’est multiplier cette fraction par ce nombre.
  • Soit aa, bb et cc trois entiers avec bb non nul.
    Prendre la fraction ab\dfrac {a}{b} de cc correspond à calculer ab×c\dfrac{a}{b} \times c.
  • Pour effectuer ce type de calcul, il existe trois méthodes.
  • On écrit le calcul sous la forme d’une seule fraction.
  • 34×24=3×244=724=18\dfrac{3}{4} \times 24 = \purple{\dfrac{3\times 24}{4}} = \dfrac{72}{4} = 18
  • On déplace le dénominateur de la fraction car 244\dfrac{24}{4} est simple à calculer.
  • 34×24=3×244=3×6=18\dfrac{3}{\purple {4}} \times 24 = 3\times \dfrac{24}{\purple {4}} = 3\times 6 = 18
  • On calcule la valeur décimale de 34\dfrac{3}{4}.
  • 34×24=0,75×24=18\dfrac{3}{4} \times 24 = \purple{0,75} \times 24 = 18