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Marianne

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Géométrie dans l'espace

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Introduction :

En seconde, outre la géométrie plane où on manipulera les fonctions de référence et les vecteurs, il faut aussi consolider les connaissances en géométrie dans l’espace.

Dans un premier temps nous verrons les positions relatives entre droites et plans, puis les propriétés qui permettent de démontrer le parallélisme ou l’orthogonalité et enfin, nous verrons la perspective cavalière et les formules de calcul d’aires et volumes.

Positions relatives de droites et de plans

  • Une droite est définie par deux points distincts. Elle est notée (AB)(AB).
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Définition

Plan :

Un plan est défini par trois points non alignés ; un plan est donc noté (ABC)(ABC) .

  • Un plan peut aussi être défini par une droite et un point extérieur à cette droite ou par deux droites sécantes.
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À retenir

Aussi, toute droite dont deux points distincts appartiennent à un plan PP est entièrement contenue dans ce plan.

Position relative de deux droites

Lorsqu’on demande la position relative entre deux droites, on veut savoir si elles sont coplanaires. Si c’est le cas, on voudra savoir si elles sont parallèles ou sécantes.

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Définition

Droites coplanaires :

On dit que deux droites de l’espace sont coplanaires lorsqu’elles sont incluses dans un même plan.

  • Soit DD et DD' deux droites distinctes de l’espace.

Il existe trois possibilités, et trois seulement :

  • ou les droites DD et DD' n’ont aucun point commun et ne sont pas coplanaires ;
  • ou les droites DD et DD' n’ont aucun point commun et sont coplanaires ;
  • ou les droites DD et DD' ont un seul point commun.

Ce qui amène aux définitions suivantes :

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Définition

Droites parallèles :

On dit que deux droites de l’espace sont parallèles lorsqu’elles sont coplanaires et n’ont aucun point commun, ou lorsqu’elles sont confondues.

Alt texte
Droites coplanaires parallèles (confondues)

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Astuce

Lorsque deux droites de l’espace sont parallèles et n’ont aucun point en commun, on dit qu’elles sont strictement parallèles.

Alt texte Droites coplanaires strictement parallèles

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Définition

Droites sécantes :

Deux droites de l’espace sont sécantes lorsqu’elles ont un seul point commun.

Alt texte Droites coplanaires sécantes

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À retenir

  • Deux droites sécantes de l’espace définissent un plan et un seul.
  • Si deux droites de l’espace sont sécantes, alors elles sont coplanaires.
  • Si deux droites de l’espace ne sont pas coplanaires, alors elles n’ont aucun point commun.

Alt texte Droites non coplanaires

bannière attention

Attention

Les réciproques des deux dernières remarques sont fausses :

  • deux droites qui ne sont pas sécantes peuvent être coplanaires ;
  • deux droites peuvent être coplanaires sans avoir de point commun.

Position relative de deux plans

Lorsqu’on demande la position relative entre deux plans, on veut savoir s’ils sont parallèles ou sécants. S’ils sont parallèles, il faudra bien préciser s’ils sont strictement parallèles ou confondus.

  • Soit PP et PP' deux plans distincts de l’espace.

Il n’existe que deux possibilités :

  • ou PP et PP' n’ont aucun point commun,
  • ou PP et PP' se coupent suivant une droite.
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Définition

Plans parallèles :

On dit que deux plans sont parallèles lorsqu’ils n’ont aucun point commun ou lorsqu’ils sont confondus.

Alt texte Plans parallèles (confondus)

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Astuce

Lorsque deux plans n’ont aucun point commun, on dit qu’ils sont strictement parallèles.

Alt texte Plans strictement parallèles

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Définition

Plans sécants :

On dit que deux plans sont sécants lorsqu’ils ne sont pas parallèles. Leur intersection est donc une droite.

Alt texte Plans sécants

Position relative d’une droite et d’un plan

Lorsqu’on demande la position relative entre une droite et un plan, on veut savoir s’ils sont parallèles ou sécants. S’ils sont parallèles, il faudra préciser s’ils sont strictement parallèles ou si la droite est incluse dans le plan.

  • Soient PP un plan et DD une droite de l’espace.

Il existe trois cas possibles :

  • ou la droite DD et le plan PP n’ont aucun point commun ;
  • ou la droite DD est incluse dans le plan PP ;
  • ou la droite DD et le plan PP ont un seul point commun.
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Définition

Droite et plan parallèles :

On dit qu’une droite et un plan sont parallèles lorsqu’ils n’ont aucun point commun ou lorsque la droite est incluse dans le plan.

Alt texte Droite incluse dans le plan

bannière astuce

Astuce

On peut remarquer que lorsqu’une droite et un plan n’ont aucun point commun, on dit qu’ils sont strictement parallèles.

Alt texte Droite et plan strictement parallèles

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Définition

Droite et plan sécants :

On dit qu’une droite et un plan sont sécants lorsqu’ils ne sont pas parallèles. Leur intersection est alors un point.

Alt texte Droite et plan sécants

Parallélisme et orthogonalité entre droites et plans

Théorèmes sur le parallélisme

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Théorème

  • Si deux droites sont parallèles, tout plan qui coupe l’une coupe l’autre. Si deux plans sont parallèles, toute droite qui coupe l’un coupe l’autre.
  • Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.
  • Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors ces deux droites sont parallèles. Si deux plans sont parallèles à une même troisième alors ces deux plans sont parallèles.
  • Si une droite DD est parallèle à un plan PP alors tout plan QQ qui contient DD coupe le plan PP suivant une parallèle à DD.
  • Les plans PP et RR sont parallèles. Ils coupent QQ suivant deux droites parallèles DD et DD'. La droite DD'' qui coupe RR coupe aussi PP.

Théorèmes sur l’orthogonalité

De même que pour le parallélisme, l’orthogonalité est démontrable à partir de plusieurs théorèmes. Il faut donc choisir le plus approprié en fonction de l’énoncé.

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Attention

Il faut faire la différence entre le mot perpendiculaire et le mot orthogonal.

  • Perpendiculaire veut dire qu’il y a une intersection qui forme un angle droit.
  • Orthogonal veut dire la même chose mais il n’y a pas d’intersection.

La nuance se fait donc dans l’espace.

bannière exemple

Exemple

  • Soit le cube ABCDEFGHABCDEFGH.

Les droites (AB)(AB) et (BC)(BC) sont perpendiculaires mais les droites (AB)(AB) et (FG)(FG) sont orthogonales.

Alt texte

bannière theoreme

Théorème

  • Pour qu’une droite soit perpendiculaire à un plan, il suffit qu’elle soit orthogonale à deux sécantes de ce plan, cette droite est alors orthogonale à toutes les droites du plan.
  • Deux droites sont orthogonales si l’une des droites appartient à un plan perpendiculaire à l’autre.
  • Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.
  • Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

Aires et volumes

Pour représenter une figure en trois dimensions sur un cahier qui est en deux dimensions, on utilise une technique particulière appelée la perspective cavalière.

Perspective cavalière

Cette façon de représenter les solides n’est pas compliquée mais il faut suivre quelques règles.

  • Les segments cachés sont représentés en pointillés.
  • Les segments visibles sont représentés en traits pleins.
  • Il y a conservation de l’alignement des points, de l’ordre des points et des rapports de longueurs sur un segment, ainsi que sur des segments parallèles.
  • Les figures situées dans le plan de face sont représentées en vraie grandeur (angles et longueurs éventuellement à l’échelle).
  • Tous les théorèmes de géométrie plane sont applicables à chaque plan de l’espace.

Alt texte Cube en perspective cavalière

Formules à connaître

  • Formules d’aires dans le plan

Figure du plan Formule de calcul d’aire Abréviations
Rectangle A=L×lA=L\times l LL longueur

ll largeur

Carré A=c2A=c^2 cc côté du carré
Losange A=D×d2A=\dfrac{D\times d}{2} DD longueur de la grande diagonale

dd longueur de la petite diagonale

Parallélogramme A=L×hA=L\times h LL longueur

hh hauteur relative à LL

Triangle A=b×h2A=\dfrac{b\times h}{2} bb base

hh hauteur relative à bb

Trapèze A=B+b2×hA=\dfrac{B+ b}{2}\times h bb petite base

BB grande base

hh hauteur (distance entre les bases)

Les bases sont les côtés parallèles.

Cercle A=π r2A=\pi\ r^2 rr rayon du cercle
  • Formules de volumes dans l’espace

Figure du plan Formule de calcul d’aire Abréviations
Pavé droit V=L×l×hV=L\times l\times h LL longueur

ll largeur

hh hauteur

Cube V=c3V=c^3 cc côté du cube
Prisme droit V=B×hV=B\times h BB aire de la base

hh hauteur relative à la base

Cylindre de révolution V=π×r2V=\pi\times r^2 rr rayon du cercle de la base
Pyramide V=B×h3V=\dfrac{B\times h}{3} BB aire de la base

hh hauteur relative à la base

Cône de révolution V=13π r2× hV=\dfrac{1}{3}\pi\ r^2\times\ h rr rayon du cercle de la base

hh hauteur relative à la base

Boule V=43πr3V=\dfrac{4}{3}\pi r^3 rr rayon de la boule
  • Formules d’aires latérales dans l’espace

Figure de l’espace Formule de calcul d’aire latérale Abréviations
Cylindre de révolution A=2π r×hA=2\pi\ r\times h rr rayon du cercle de la base

hh hauteur relative à la base

Cône de révolution A=π r×gA=\pi\ r\times g rr rayon du cercle de la base

gg distance entre le sommet et un point du cercle de la base

Sphère A=4 πr2A=4\ \pi r^2 rr rayon de la sphère
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Attention

Une sphère est creuse alors qu’une boule est pleine.