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Géométrie dans l'espace
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Introduction :
En seconde, outre la géométrie plane où on manipulera les fonctions de référence et les vecteurs, il faut aussi consolider les connaissances en géométrie dans l’espace.
Dans un premier temps nous verrons les positions relatives entre droites et plans, puis les propriétés qui permettent de démontrer le parallélisme ou l’orthogonalité et enfin, nous verrons la perspective cavalière et les formules de calcul d’aires et volumes.
Positions relatives de droites et de plans
Plan :
Un plan est défini par trois points non alignés ; un plan est donc noté .
Aussi, toute droite dont deux points distincts appartiennent à un plan est entièrement contenue dans ce plan.
Position relative de deux droites
Lorsqu’on demande la position relative entre deux droites, on veut savoir si elles sont coplanaires. Si c’est le cas, on voudra savoir si elles sont parallèles ou sécantes.
Droites coplanaires :
On dit que deux droites de l’espace sont coplanaires lorsqu’elles sont incluses dans un même plan.
Il existe trois possibilités, et trois seulement :
Ce qui amène aux définitions suivantes :
Droites parallèles :
On dit que deux droites de l’espace sont parallèles lorsqu’elles sont coplanaires et n’ont aucun point commun, ou lorsqu’elles sont confondues.
Droites coplanaires parallèles (confondues)
Lorsque deux droites de l’espace sont parallèles et n’ont aucun point en commun, on dit qu’elles sont strictement parallèles.
Droites coplanaires strictement parallèles
Droites sécantes :
Deux droites de l’espace sont sécantes lorsqu’elles ont un seul point commun.
Droites coplanaires sécantes
Droites non coplanaires
Les réciproques des deux dernières remarques sont fausses :
Position relative de deux plans
Lorsqu’on demande la position relative entre deux plans, on veut savoir s’ils sont parallèles ou sécants. S’ils sont parallèles, il faudra bien préciser s’ils sont strictement parallèles ou confondus.
Il n’existe que deux possibilités :
Plans parallèles :
On dit que deux plans sont parallèles lorsqu’ils n’ont aucun point commun ou lorsqu’ils sont confondus.
Plans parallèles (confondus)
Lorsque deux plans n’ont aucun point commun, on dit qu’ils sont strictement parallèles.
Plans strictement parallèles
Plans sécants :
On dit que deux plans sont sécants lorsqu’ils ne sont pas parallèles. Leur intersection est donc une droite.
Plans sécants
Position relative d’une droite et d’un plan
Lorsqu’on demande la position relative entre une droite et un plan, on veut savoir s’ils sont parallèles ou sécants. S’ils sont parallèles, il faudra préciser s’ils sont strictement parallèles ou si la droite est incluse dans le plan.
Il existe trois cas possibles :
Droite et plan parallèles :
On dit qu’une droite et un plan sont parallèles lorsqu’ils n’ont aucun point commun ou lorsque la droite est incluse dans le plan.
Droite incluse dans le plan
On peut remarquer que lorsqu’une droite et un plan n’ont aucun point commun, on dit qu’ils sont strictement parallèles.
Droite et plan strictement parallèles
Droite et plan sécants :
On dit qu’une droite et un plan sont sécants lorsqu’ils ne sont pas parallèles. Leur intersection est alors un point.
Droite et plan sécants
Parallélisme et orthogonalité entre droites et plans
Théorèmes sur le parallélisme
Théorèmes sur l’orthogonalité
De même que pour le parallélisme, l’orthogonalité est démontrable à partir de plusieurs théorèmes. Il faut donc choisir le plus approprié en fonction de l’énoncé.
Il faut faire la différence entre le mot perpendiculaire et le mot orthogonal.
La nuance se fait donc dans l’espace.
Les droites et sont perpendiculaires mais les droites et sont orthogonales.
Aires et volumes
Pour représenter une figure en trois dimensions sur un cahier qui est en deux dimensions, on utilise une technique particulière appelée la perspective cavalière.
Perspective cavalière
Cette façon de représenter les solides n’est pas compliquée mais il faut suivre quelques règles.
Cube en perspective cavalière
Formules à connaître
Figure du plan | Formule de calcul d’aire | Abréviations |
Rectangle | longueur
largeur |
|
Carré | côté du carré | |
Losange | longueur de la grande diagonale
longueur de la petite diagonale |
|
Parallélogramme | longueur
hauteur relative à |
|
Triangle | base
hauteur relative à |
|
Trapèze | petite base
grande base hauteur (distance entre les bases) Les bases sont les côtés parallèles. |
|
Cercle | rayon du cercle |
Figure du l’espace | Formule de calcul de volume | Abréviations |
Pavé droit | longueur
largeur hauteur |
|
Cube | côté du cube | |
Prisme droit | aire de la base
hauteur relative à la base |
|
Cylindre de révolution | rayon du cercle de la base
hauteur relative à la base |
|
Pyramide | aire de la base
hauteur relative à la base |
|
Cône de révolution | rayon du cercle de la base
hauteur relative à la base |
|
Boule | rayon de la boule |
Figure de l’espace | Formule de calcul d’aire latérale | Abréviations |
Cylindre de révolution | rayon du cercle de la base
hauteur relative à la base |
|
Cône de révolution | rayon du cercle de la base
distance entre le sommet et un point du cercle de la base |
|
Sphère | rayon de la sphère |
Une sphère est creuse alors qu’une boule est pleine.