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Géométrie dans l'espace

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Positions relatives de droites et de plans

Position relative de deux droites

Définition

  • On dit que deux droites de l'espace sont coplanaires lorsqu'elles sont incluses dans un même plan.

Soient $D$ et $D'$ deux droites distinctes de l'espace.

Il existe trois possibilités, et trois seulement :

  • ou les droites $D$ et $D'$ n'ont aucun point commun et ne sont pas coplanaires ;
  • ou les droites $D$ et $D'$ n'ont aucun point commun et sont coplanaires ;
  • ou les droites $D$ et $D'$ ont un seul point commun.

Définitions

  • On dit que deux droites de l'espace sont parallèles lorsqu'elles sont coplanaires et n'ont aucun point commun, ou lorsqu'elles sont confondues.
  • Deux droites de l'espace sont sécantes lorsqu'elles ont un seul point commun.

Position relative de deux plans

Soient $P$ et $P'$ deux plans distincts de l'espace.

Il n'existe que deux possibilités :

  • ou $P$ et $P'$ n'ont aucun point commun ;
  • ou $P$ et $P'$ se coupent suivant une droite.

Définitions

  • On dit que deux plans sont parallèles lorsqu'ils n'ont aucun point commun ou lorsqu'ils sont confondus.
  • On dit que deux plans sont sécants lorsqu'ils ne sont pas parallèles. Leur intersection est donc une droite.

Position relative d'une droite et d'un plan

Soient $P$ un plan et $D$ une droite de l'espace. Il existe cas possibles et encore une fois seulement ces trois-là :

  • ou la droite $D$ et le plan $P$ n'ont aucun point commun ;
  • ou la droite $D$ est incluse dans le plan ;
  • ou la droite $D$ et le plan $P$ ont un seul point commun.

Définitions

  • On dit qu'une droite et un plan sont parallèles lorsqu'ils n'ont aucun point commun ou lorsque la droite est incluse dans le plan.
  • On dit qu'une droite et un plan sont sécants lorsqu'ils ne sont pas parallèles. Leur intersection est alors un point.

Parallélisme et orthogonalité entre droites et plans

Théorèmes sur le parallélisme

  • Si deux droites sont parallèles, tout plan qui coupe l'une coupe l'autre. Si deux plans sont parallèles, toute droite qui coupe l'un coupe l'autre.
  • Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
  • Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors ces deux droites sont parallèles. Si deux plans sont parallèles à une même troisième alors ces deux plans sont parallèles.
  • Si une droite $D$ est parallèle à un plan $P$ alors tout plan $Q$ qui contient $D$ coupe le plan $P$ suivant une parallèle à $D$.
  • Les plans $P$ et $R$ sont parallèles. Ils coupent $Q$ suivant deux droites parallèles $D$ et $D'$. La droite $D''$ qui coupe $R$ coupe aussi $P$.

Théorèmes sur l'orthogonalité

  • Pour qu'une droite soit perpendiculaire à un plan, il suffit qu'elle soit orthogonale à deux sécantes de ce plan, cette droite est alors orthogonale à toutes les droites du plan.
  • Deux droites sont orthogonales si l'une des droites appartient à un plan perpendiculaire à l'autre.
  • Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.
  • Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

Aires et volumes

Formules

  • Formules d'aires dans le plan :

Figure du plan Formule de calcul d'aire Abréviations
Rectangle $A=L\times l$ $L$ longueur

$l$ largeur

Carré $A=c^2$ $c$ côté du carré
Losange $A=\dfrac{D\times d}{2}$ $D$ longueur de la grande diagonale

$d$ longueur de la petite diagonale

Parallélogramme $A=L\times h$ $L$ longueur

$h$ hauteur relative à $L$

Triangle $A=\dfrac{b\times h}{2}$ $b$ base

$h$ hauteur relative à $b$

Trapèze $A=\dfrac{B+ b}{2}\times h$ $b$ petite base

$B$ grande base

$h$ hauteur (distance entre les bases)

Les bases sont les côtés parallèles.

Cercle $A=\pi\ r^2$ $r$ rayon du cercle
  • Formules de volumes dans l'espace

Figure du plan Formule de calcul d'aire Abréviations
Pavé droit $V=L\times l\times h$ $L$ longueur

$l$ largeur

$h$ hauteur

Cube $V=c^3$ $c$ côté du cube
Prisme droit $V=B\times h$ $B$ aire de la base

$h$ hauteur relative à la base

Cylindre de révolution $V=\pi\times r^2$ $r$ rayon du cercle de la base
Pyramide $V=\dfrac{B\times h}{3}$ $B$ aire de la base

$h$ hauteur relative à la base

Cône de révolution $V=\dfrac{1}{3}\pi\ r^2\times\ h$ $r$ rayon du cercle de la base

$h$ hauteur relative à la base

Boule $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$ $r$ rayon de la boule
  • Formules d'aires latérales dans l'espace

Figure de l'espace Formule de calcul d'aire latérale Abréviations
Cylindre de révolution $A=2\pi\ r\times h$ $r$ rayon du cercle de la base

$h$ hauteur relative à la base

Cône de révolution $A=\pi\ r\times g$ $r$ rayon du cercle de la base

$g$ distance entre le sommet et un point du cercle de la base

Sphère $A=4\ \pi r^2$ $r$ rayon de la sphère