Géométrie dans l'espace : Résumé et révision - Mathématiques

Géométrie dans l'espace

Positions relatives de droites et de plans

Définition

On dit que deux droites de l'espace sont coplanaires lorsqu'elles sont incluses dans un même plan.

Soient $D$ et $D'$ deux droites distinctes de l'espace.

Il existe trois possibilités, et trois seulement :

ou les droites $D$ et $D'$ n'ont aucun point commun et ne sont pas coplanaires ;
ou les droites $D$ et $D'$ n'ont aucun point commun et sont coplanaires ;
ou les droites $D$ et $D'$ ont un seul point commun.

Définitions

On dit que deux droites de l'espace sont parallèles lorsqu'elles sont coplanaires et n'ont aucun point commun, ou lorsqu'elles sont confondues.
Deux droites de l'espace sont sécantes lorsqu'elles ont un seul point commun.

Soient $P$ et $P'$ deux plans distincts de l'espace.

Il n'existe que deux possibilités :

Définitions

On dit que deux plans sont parallèles lorsqu'ils n'ont aucun point commun ou lorsqu'ils sont confondus.
On dit que deux plans sont sécants lorsqu'ils ne sont pas parallèles. Leur intersection est donc une droite.

Soient $P$ un plan et $D$ une droite de l'espace. Il existe cas possibles et encore une fois seulement ces trois-là :

Définitions

On dit qu'une droite et un plan sont parallèles lorsqu'ils n'ont aucun point commun ou lorsque la droite est incluse dans le plan.
On dit qu'une droite et un plan sont sécants lorsqu'ils ne sont pas parallèles. Leur intersection est alors un point.

Si deux droites sont parallèles, tout plan qui coupe l'une coupe l'autre. Si deux plans sont parallèles, toute droite qui coupe l'un coupe l'autre.
Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors ces deux droites sont parallèles. Si deux plans sont parallèles à une même troisième alors ces deux plans sont parallèles.
Si une droite $D$ est parallèle à un plan $P$ alors tout plan $Q$ qui contient $D$ coupe le plan $P$ suivant une parallèle à $D$.
Les plans $P$ et $R$ sont parallèles. Ils coupent $Q$ suivant deux droites parallèles $D$ et $D'$. La droite $D''$ qui coupe $R$ coupe aussi $P$.

Pour qu'une droite soit perpendiculaire à un plan, il suffit qu'elle soit orthogonale à deux sécantes de ce plan, cette droite est alors orthogonale à toutes les droites du plan.
Deux droites sont orthogonales si l'une des droites appartient à un plan perpendiculaire à l'autre.
Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.
Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

Figure du plan	Formule de calcul d'aire	Abréviations
Rectangle	$A=L\times l$	$L$ longueur $l$ largeur
Carré	$A=c^2$	$c$ côté du carré
Losange	$A=\dfrac{D\times d}{2}$	$D$ longueur de la grande diagonale $d$ longueur de la petite diagonale
Parallélogramme	$A=L\times h$	$L$ longueur $h$ hauteur relative à $L$
Triangle	$A=\dfrac{b\times h}{2}$	$b$ base $h$ hauteur relative à $b$
Trapèze	$A=\dfrac{B+ b}{2}\times h$	$b$ petite base $B$ grande base $h$ hauteur (distance entre les bases) Les bases sont les côtés parallèles.
Cercle	$A=\pi\ r^2$	$r$ rayon du cercle

Figure du plan	Formule de calcul d'aire	Abréviations
Pavé droit	$V=L\times l\times h$	$L$ longueur $l$ largeur $h$ hauteur
Cube	$V=c^3$	$c$ côté du cube
Prisme droit	$V=B\times h$	$B$ aire de la base $h$ hauteur relative à la base
Cylindre de révolution	$V=\pi\times r^2$	$r$ rayon du cercle de la base
Pyramide	$V=\dfrac{B\times h}{3}$	$B$ aire de la base $h$ hauteur relative à la base
Cône de révolution	$V=\dfrac{1}{3}\pi\ r^2\times\ h$	$r$ rayon du cercle de la base $h$ hauteur relative à la base
Boule	$V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$	$r$ rayon de la boule

Figure de l'espace	Formule de calcul d'aire latérale	Abréviations
Cylindre de révolution	$A=2\pi\ r\times h$	$r$ rayon du cercle de la base $h$ hauteur relative à la base
Cône de révolution	$A=\pi\ r\times g$	$r$ rayon du cercle de la base $g$ distance entre le sommet et un point du cercle de la base
Sphère	$A=4\ \pi r^2$	$r$ rayon de la sphère