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Marianne

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Géométrie : éléments de bases, propriétés des droites parallèles et perpendiculaires et médiatrice

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Introduction :

Les objectifs de ce cours sont de rappeler les bases de géométrie, de donner des propriétés sur les positions relatives de droites, d'apprendre à tracer la droite perpendiculaire ou parallèle à une droite passant par un point ainsi que ce qu’est la médiatrice d'un segment et comment la tracer. Dans un premier temps, nous reverrons le vocabulaire de géométrie puis, dans un deuxième temps, nous donnerons quelques propriétés concernant les positions relatives de droites. Dans un troisième temps, nous étudierons la méthode pour tracer la droite perpendiculaire ou parallèle à une droite et passant par un point donné. Enfin, nous verrons ce qu'est une médiatrice et comment la tracer.

Vocabulaire de géométrie

Droite, demi-droite et segment

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Rappel

droite segment demi-droite

La droite qui passe par les points AA et BB est notée (AB)(AB).
La demi-droite ayant pour origine le point AA et qui passe par le point BB est notée [AB)[AB).
Le segment ayant pour extrémités les points AA et BB est noté [AB][AB].

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À retenir

droite segment demi-droite

Des points sont alignés s’ils appartiennent à une même droite.
Ici, le point CC appartient à la droite (AB)(AB), donc les points AA, BB et CC sont alignés.

  • Une droite est formée d'une infinité de points alignés.

Symboles \in et \notin

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À retenir

Pour noter si un point appartient ou non à une droite ou à un segment, on utilise respectivement les symboles \in et \notin.

droite segment demi-droite

Le point CC appartient à la droite (AB)(AB), on note donc : C(AB)C\in (AB).
Le point CC n’appartient pas au segment [AB][AB], on note donc : C[AB]C\notin [AB].

Positions relatives de droites

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Définition

Droites sécantes :

Des droites sécantes sont des droites qui se coupent en un seul point (commun). Ce point est appelé « point d'intersection ».

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Définition

Droites perpendiculaires :

Des droites perpendiculaires sont des droites sécantes dont l’intersection forme un angle droit.

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Propriété

Deux droites sont toujours soit sécantes, soit parallèles.

Si deux droites sont sécantes et qu’elles forment un angle droit, alors elles sont perpendiculaires.

Si deux droites sont parallèles, elles ne se couperont jamais, même si on les prolonge indéfiniment. Elles peuvent être soit confondues (et avoir une infinité de points communs), soit strictement parallèles (n'avoir aucun point commun).

On peut résumer cette classification des positions relatives de deux droites dans un tableau.

Droites sécantes Droites parallèles
Quelconque Formant un angle droit Ayant une infinité de points communs N’ayant aucun point commun
Droites perpendiculaires Droites confondues Droites strictement parallèles

droites sécantes

droites perpendiculaires

droites confondues

droites parallèles

Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires

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Propriété

Si deux droites sont parallèles, toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.

Si (d1)//(d2)\green{(d1)} // \purple{(d2)} et (d1)//(d3)\green{(d1)} // \red{(d3)}, alors (d2)//(d3)\purple{(d2)} // \red{(d3)}.

Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires

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Propriété

Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Si (d1)//(d2)\green {(d1)} // \purple {(d2)} et (d1)(d3)\green {(d1)} \perp \red{(d3)}, alors (d2)(d3)\purple {(d2)}\perp \red{(d3)}.

Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires

bannière propriete

Propriété

Si deux droites sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à l’une est parallèle à l’autre.

Si (d1)(d2)\green {(d1)} \perp \purple{(d2)} et (d1)(d3)\green {(d1)} \perp \red{(d3)}, alors (d2)//(d3)\purple{(d2)} // \red{(d3)}.

Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires

Tracé de droites parallèles et perpendiculaires

Tracé de la perpendiculaire à une droite passant par un point

On souhaite tracer la perpendiculaire à la droite (d1)(d_1) passant par le point AA.

  • On place l’équerre le long de la droite (d1)(d_1).

tracer une droite perpendiculaire

  • On fait glisser un côté de l’angle droit de l’équerre le long de la droite (d1)(d1) jusqu’à ce que l’autre côté de l’angle droit soit situé sur le point AA et on commence à tracer la droite (d2)(d2).

tracer une droite perpendiculaire

  • On finit de tracer la droite (d2)(d2) avec la règle et on code ensuite l’angle droit formé par les droites (d1)(d1) et (d2)(d_2).

tracer une droite perpendiculaire

  • Si on note HH le point d’intersection des droites (d1)(d1) et (d2)(d2), la distance du point AA à la droite (d1)(d_1) est la distance AHAH.

Tracé de la parallèle à une droite passant par un point

On souhaite tracer la parallèle à la droite (d1)(d_1) passant par le point AA.

  • On place un côté de l’équerre le long de la droite (d1)(d_1). On place ensuite la règle contre l’autre côté de l’équerre, puis on déplace l’ensemble de sorte que le bord de la règle passe par le point AA.

tracer une droite parallèle

  • On décale maintenant l’équerre le long de la règle jusqu’à ce que son deuxième côté soit situé sur le point AA et on commence à tracer la droite (d2)(d_2) en suivant le bord de l’équerre.

tracer une droite parallèle

  • On finit de tracer la droite (d2)(d_2) à l’aide la règle.

tracer une droite parallèle

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Astuce

Il est également possible de tracer une droite d2d2 passant par le point AA et parallèle à la droite d1d1 en plaçant un point BB situé à la même distance de d1d_1 que le point AA et placé du même côté de la droite.

  • La droite d2d2 passant par les points AA et BB sera parallèle à la droite d1d1.

Médiatrice d'un segment

Définition

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Définition

Médiatrice :

La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui est perpendiculaire à ce segment.

Dans le schéma ci-contre, (d)(d) est la médiatrice du segment [AB][AB] :

  • la droite (d)(d) coupe le segment [AB][AB] en son milieu II ;
  • la droite (d)(d) est perpendiculaire au segment [AB][AB].

médiatrice segment droite géométrie sixième

La médiatrice d'un segment peut être tracée à l'équerre et à la règle graduée ou au compas et à la règle graduée. Nous allons le voir en traçant la médiatrice d'un segment [AB][AB] de longueur 10 cm10\text{ cm}.

Tracé avec l'équerre et la règle graduée

MÉTHODE

  • Sur le segment [AB][AB] de longueur 10 cm10\text{ cm} déjà tracé, plaçons son milieu II à la règle graduée.

cercle médiatrice triangle

  • Plaçons l'équerre le long du segment [AB][AB] pour tracer la droite perpendiculaire au segment [AB][AB] passant par II.

cercle médiatrice triangle

  • Prolongeons le tracé de la droite à l'aide de la règle : la droite (d)(d) est la médiatrice du segment [AB][AB].

cercle médiatrice triangle

bannière à retenir

À retenir

cercle médiatrice triangle

Tracé au compas et à la règle

MÉTHODE

  • À partir du segment [AB][AB] de longueur 10 cm10\text{ cm} déjà tracé, traçons quatre arcs de cercle de même rayon, à l'aide du compas : deux arcs de cercle de centre AA et deux arcs de cercle de centre BB.

cercle médiatrice triangle

  • Les deux points définis par les intersections des arcs de cercle permettent de tracer la médiatrice (d)(d) du segment [AB][AB] à la règle.
    La droite (d)(d) coupe le segment [AB][AB] en son milieu et elle est perpendiculaire à ce segment.

cercle médiatrice triangle

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À retenir

Alt texte

Propriété de la médiatrice

La médiatrice du segment [AB][AB] est l'ensemble des points équidistants des points AA et BB.

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Propriété

  • Si un point MM est sur la médiatrice du segment [AB][AB], alors MA=MBMA = MB (MM est équidistant des points AA et BB).
  • Si un point MM vérifie l'égalité MA=MBMA = MB, alors il est sur la médiatrice du segment [AB][AB].

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons vu que deux droites sont soit sécantes, soit parallèles. Si elles sont sécantes et que leur intersection forme un angle droit, alors on dit qu'elles sont perpendiculaires. Nous avons également vu certaines propriétés de deux droits parallèles ou perpendiculaires. Nous avons vu comment tracer une droite perpendiculaire ou parallèle à une autre droite et passant par un point donné. Enfin, nous avons appris ce qu'était la médiatrice d'un segment ainsi que comment la tracer.