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Soutien scolaire 6e - CollègeCours MathématiquesCours : Géométrie : éléments de bases, propriétés des droites parallèles et perpendiculaires et médiatriceGéométrie : éléments de bases, propriétés des droites parallèles et perpendiculaires et médiatrice
Introduction :
Les objectifs de ce cours sont de rappeler les bases de géométrie, de donner des propriétés sur les positions relatives de droites, d'apprendre à tracer la droite perpendiculaire ou parallèle à une droite passant par un point ainsi que ce qu’est la médiatrice d'un segment et comment la tracer. Dans un premier temps, nous reverrons le vocabulaire de géométrie puis, dans un deuxième temps, nous donnerons quelques propriétés concernant les positions relatives de droites. Dans un troisième temps, nous étudierons la méthode pour tracer la droite perpendiculaire ou parallèle à une droite et passant par un point donné. Enfin, nous verrons ce qu'est une médiatrice et comment la tracer.
Vocabulaire de géométrie
Vocabulaire de géométrie
Droite, demi-droite et segment
Droite, demi-droite et segment
Rappel
La droite qui passe par les points $A$ et $B$ est notée $(AB)$.
La demi-droite ayant pour origine le point $A$ et qui passe par le point $B$ est notée $[AB)$.
Le segment ayant pour extrémités les points $A$ et $B$ est noté $[AB]$.
À retenir
Des points sont alignés s’ils appartiennent à une même droite.
Ici, le point $C$ appartient à la droite $(AB)$, donc les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
- Une droite est formée d'une infinité de points alignés.
Symboles $\in$ et $\notin$
Symboles $\in$ et $\notin$
À retenir
Pour noter si un point appartient ou non à une droite ou à un segment, on utilise respectivement les symboles $\in$ et $\notin$.
Le point $C$ appartient à la droite $(AB)$, on note donc : $C\in (AB)$.
Le point $C$ n’appartient pas au segment $[AB]$, on note donc : $C\notin [AB]$.
Positions relatives de droites
Positions relatives de droites
Définition
Droites sécantes :
Des droites sécantes sont des droites qui se coupent en un seul point (commun). Ce point est appelé « point d'intersection ».
Définition
Droites perpendiculaires :
Des droites perpendiculaires sont des droites sécantes dont l’intersection forme un angle droit.
Propriété
Deux droites sont toujours soit sécantes, soit parallèles.
Si deux droites sont sécantes et qu’elles forment un angle droit, alors elles sont perpendiculaires.
Si deux droites sont parallèles, elles ne se couperont jamais, même si on les prolonge indéfiniment. Elles peuvent être soit confondues (et avoir une infinité de points communs), soit strictement parallèles (n'avoir aucun point commun).
On peut résumer cette classification des positions relatives de deux droites dans un tableau.
| Droites sécantes | Droites parallèles | ||
| Quelconque | Formant un angle droit | Ayant une infinité de points communs | N’ayant aucun point commun |
| Droites perpendiculaires | Droites confondues | Droites strictement parallèles | |
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Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires
Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires
Propriété
Si deux droites sont parallèles, toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.
Si $\green{(d_1)} // \purple{(d_2)}$ et $\green{(d_1)} // \red{(d_3)}$, alors $\purple{(d_2)} // \red{(d_3)}$.
Propriété
Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
Si $\green {(d_1)} // \purple {(d_2)}$ et $\green {(d_1)} \perp \red{(d_3)}$, alors $\purple {(d_2)}\perp \red{(d_3)}$.
Propriété
Si deux droites sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à l’une est parallèle à l’autre.
Si $\green {(d_1)} \perp \purple{(d_2)}$ et $\green {(d_1)} \perp \red{(d_3)}$, alors $\purple{(d_2)} // \red{(d_3)}$.
Tracé de droites parallèles et perpendiculaires
Tracé de droites parallèles et perpendiculaires
Tracé de la perpendiculaire à une droite passant par un point
Tracé de la perpendiculaire à une droite passant par un point
On souhaite tracer la perpendiculaire à la droite $(d_1)$ passant par le point $A$.
- On place l’équerre le long de la droite $(d_1)$.
- On fait glisser un côté de l’angle droit de l’équerre le long de la droite $(d_1)$ jusqu’à ce que l’autre côté de l’angle droit soit situé sur le point $A$ et on commence à tracer la droite $(d_2)$.
- On finit de tracer la droite $(d_2)$ avec la règle et on code ensuite l’angle droit formé par les droites $(d_1)$ et $(d_2)$.
- Si on note $H$ le point d’intersection des droites $(d_1)$ et $(d_2)$, la distance du point $A$ à la droite $(d_1)$ est la distance $AH$.
Tracé de la parallèle à une droite passant par un point
Tracé de la parallèle à une droite passant par un point
On souhaite tracer la parallèle à la droite $(d_1)$ passant par le point $A$.
- On place un côté de l’équerre le long de la droite $(d_1)$. On place ensuite la règle contre l’autre côté de l’équerre, puis on déplace l’ensemble de sorte que le bord de la règle passe par le point $A$.
- On décale maintenant l’équerre le long de la règle jusqu’à ce que son deuxième côté soit situé sur le point $A$ et on commence à tracer la droite $(d_2)$ en suivant le bord de l’équerre.
- On finit de tracer la droite $(d_2)$ à l’aide la règle.
Astuce
Il est également possible de tracer une droite $d_2$ passant par le point $A$ et parallèle à la droite $d_1$ en plaçant un point $B$ situé à la même distance de $d_1$ que le point $A$ et placé du même côté de la droite.
- La droite $d_2$ passant par les points $A$ et $B$ sera parallèle à la droite $d_1$.
Médiatrice d'un segment
Médiatrice d'un segment
Définition
Définition
Définition
Médiatrice :
La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui est perpendiculaire à ce segment.
Dans le schéma ci-contre, $(d)$ est la médiatrice du segment $[AB]$ :
- la droite $(d)$ coupe le segment $[AB]$ en son milieu $I$ ;
- la droite $(d)$ est perpendiculaire au segment $[AB]$.
La médiatrice d'un segment peut être tracée à l'équerre et à la règle graduée ou au compas et à la règle graduée. Nous allons le voir en traçant la médiatrice d'un segment $[AB]$ de longueur $10\text{ cm}$.
Tracé avec l'équerre et la règle graduée
Tracé avec l'équerre et la règle graduée
MÉTHODE
- Sur le segment $[AB]$ de longueur $10\text{ cm}$ déjà tracé, plaçons son milieu $I$ à la règle graduée.
- Plaçons l'équerre le long du segment $[AB]$ pour tracer la droite perpendiculaire au segment $[AB]$ passant par $I$.
- Prolongeons le tracé de la droite à l'aide de la règle : la droite $(d)$ est la médiatrice du segment $[AB]$.
À retenir
Tracé au compas et à la règle
Tracé au compas et à la règle
MÉTHODE
- À partir du segment $[AB]$ de longueur $10\text{ cm}$ déjà tracé, traçons quatre arcs de cercle de même rayon, à l'aide du compas : deux arcs de cercle de centre $A$ et deux arcs de cercle de centre $B$.
- Les deux points définis par les intersections des arcs de cercle permettent de tracer la médiatrice $(d)$ du segment $[AB]$ à la règle.
La droite $(d)$ coupe le segment $[AB]$ en son milieu et elle est perpendiculaire à ce segment.
À retenir
Propriété de la médiatrice
Propriété de la médiatrice
La médiatrice du segment $[AB]$ est l'ensemble des points équidistants des points $A$ et $B$.
Propriété
- Si un point $M$ est sur la médiatrice du segment $[AB]$, alors $MA = MB$ ($M$ est équidistant des points $A$ et $B$).
- Si un point $M$ vérifie l'égalité $MA = MB$, alors il est sur la médiatrice du segment $[AB]$.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons vu que deux droites sont soit sécantes, soit parallèles. Si elles sont sécantes et que leur intersection forme un angle droit, alors on dit qu'elles sont perpendiculaires. Nous avons également vu certaines propriétés de deux droites parallèles ou perpendiculaires. Nous avons vu comment tracer une droite perpendiculaire ou parallèle à une autre droite et passant par un point donné. Enfin, nous avons appris ce qu'était la médiatrice d'un segment ainsi que comment la tracer.