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Introduction :
Les objectifs de ce cours sont de rappeler les bases de géométrie, de donner des propriétés sur les positions relatives de droites, d'apprendre à tracer la droite perpendiculaire ou parallèle à une droite passant par un point ainsi que ce qu’est la médiatrice d'un segment et comment la tracer. Dans un premier temps, nous reverrons le vocabulaire de géométrie puis, dans un deuxième temps, nous donnerons quelques propriétés concernant les positions relatives de droites. Dans un troisième temps, nous étudierons la méthode pour tracer la droite perpendiculaire ou parallèle à une droite et passant par un point donné. Enfin, nous verrons ce qu'est une médiatrice et comment la tracer.
Vocabulaire de géométrie
Droite, demi-droite et segment
La droite qui passe par les points et est notée .
La demi-droite ayant pour origine le point et qui passe par le point est notée .
Le segment ayant pour extrémités les points et est noté .
Des points sont alignés s’ils appartiennent à une même droite.
Ici, le point appartient à la droite , donc les points , et sont alignés.
Symboles et
Pour noter si un point appartient ou non à une droite ou à un segment, on utilise respectivement les symboles et .
Le point appartient à la droite , on note donc : .
Le point n’appartient pas au segment , on note donc : .
Positions relatives de droites
Droites sécantes :
Des droites sécantes sont des droites qui se coupent en un seul point (commun). Ce point est appelé « point d'intersection ».
Droites perpendiculaires :
Des droites perpendiculaires sont des droites sécantes dont l’intersection forme un angle droit.
Deux droites sont toujours soit sécantes, soit parallèles.
Si deux droites sont sécantes et qu’elles forment un angle droit, alors elles sont perpendiculaires.
Si deux droites sont parallèles, elles ne se couperont jamais, même si on les prolonge indéfiniment. Elles peuvent être soit confondues (et avoir une infinité de points communs), soit strictement parallèles (n'avoir aucun point commun).
On peut résumer cette classification des positions relatives de deux droites dans un tableau.
Droites sécantes | Droites parallèles | ||
Quelconque | Formant un angle droit | Ayant une infinité de points communs | N’ayant aucun point commun |
Droites perpendiculaires | Droites confondues | Droites strictement parallèles | |
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Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires
Si deux droites sont parallèles, toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.
Si et , alors .
Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
Si et , alors .
Si deux droites sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à l’une est parallèle à l’autre.
Si et , alors .
Tracé de droites parallèles et perpendiculaires
Tracé de la perpendiculaire à une droite passant par un point
On souhaite tracer la perpendiculaire à la droite passant par le point .
Tracé de la parallèle à une droite passant par un point
On souhaite tracer la parallèle à la droite passant par le point .
Il est également possible de tracer une droite passant par le point et parallèle à la droite en plaçant un point situé à la même distance de que le point et placé du même côté de la droite.
Médiatrice d'un segment
Définition
Médiatrice :
La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui est perpendiculaire à ce segment.
Dans le schéma ci-contre, est la médiatrice du segment :
La médiatrice d'un segment peut être tracée à l'équerre et à la règle graduée ou au compas et à la règle graduée. Nous allons le voir en traçant la médiatrice d'un segment de longueur .
Tracé avec l'équerre et la règle graduée
Tracé au compas et à la règle
Propriété de la médiatrice
La médiatrice du segment est l'ensemble des points équidistants des points et .
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons vu que deux droites sont soit sécantes, soit parallèles. Si elles sont sécantes et que leur intersection forme un angle droit, alors on dit qu'elles sont perpendiculaires. Nous avons également vu certaines propriétés de deux droits parallèles ou perpendiculaires. Nous avons vu comment tracer une droite perpendiculaire ou parallèle à une autre droite et passant par un point donné. Enfin, nous avons appris ce qu'était la médiatrice d'un segment ainsi que comment la tracer.