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Colinéarité, vecteur directeur et équation de droite

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Introduction :

En première, la géométrie plane est étudiée au moyen des vecteurs. Nous commencerons par parler de la colinéarité de deux vecteurs et notamment de la condition analytique de colinéarité. Nous verrons ensuite les vecteurs directeurs d'une droite puis les équations de droites. La dernière partie sera consacrée à la décomposition d'un vecteur dans une base.

Colinéarité de deux vecteurs

Définition

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Définition

Colinéarité de deux vecteurs :

On considère u\vec u et v\vec v deux vecteurs non nuls.

Les vecteurs u\vec u et v\vec v sont colinéaires si et seulement si l'un est le produit de l'autre par un réel, c'est-à-dire s'il existe un réel kk tel que v=ku\vec v=k\vec u.

Le réel kk est le coefficient de colinéarité. Ainsi, deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction.

bannière à retenir

À retenir

​Par convention, 0\vec 0 (le vecteur nul) est colinéaire à tout vecteur.

  • Des vecteurs sont colinéaires quand ils ont la même direction. Leur sens importe peu.
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Exemple

Vecteurs colinéaires

Sur ce schéma, les vecteurs u\vec u, v\vec v et w\vec w sont colinéaires.

Condition de colinéarité

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Propriété

Condition de colinéarité :

Soient u(xy)\vec u\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} et v(xy)\vec v\begin{pmatrix} x' \ y' \end{pmatrix} deux vecteurs donnés par leurs coordonnées dans un repère du plan.

Les vecteurs u\vec u et v\vec v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c'est-à-dire uniquement si xyyx=0xy'-yx'=0.

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Exemple

Soit les vecteurs u(45)\vec u\begin{pmatrix} 4 \ 5 \end{pmatrix} et v(78)\vec v\begin{pmatrix} 7 \ 8 \end{pmatrix} : xyyx=4×85×7=3235=3\begin{aligned}xy'-yx'\&=4×8-5×7\&=32-35\&=-3\end{aligned}

Comme 30-3≠0, les vecteurs u\vec u et v\vec v ne sont pas colinéaires.

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Astuce

Il y a une autre façon de se servir de la formule de la condition de colinéarité. Pour cela, il faut transformer un peu l'égalité :

xyyx=0xy=yxxy'-yx'=0 \Leftrightarrow xy'= yx'

Deux vecteurs u(46)\vec u\begin{pmatrix} 4 \ 6 \end{pmatrix} et v(23)\vec v\begin{pmatrix} -2 \ -3 \end{pmatrix} seront colinéaires si et seulement si 4×3=2×64×-3 = -2 × 6.

C'est le cas ici, puisque et 4×3=2×6=124×-3 = -2 × 6=-12.

Les vecteurs u\vec u et v\vec v sont donc colinéaires comme on peut le vérifier par une rapide représentation graphique.

Représentation graphique des vecteur u et v Représentation graphique des vecteur u et v

Applications de la colinéarité

Lien entre colinéarité et parallélisme Lien entre colinéarité et parallélisme

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Propriété

Deux droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB{\overrightarrow{AB}} et CD{\overrightarrow{CD}} sont colinéaires.

Lien entre colinéarité et alignement Lien entre colinéarité et alignement

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Propriété

Trois points A,B et CA, B \text{ et } C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB{\overrightarrow{AB}} et AC{\overrightarrow{AC}} sont colinéaires.

Vecteurs directeurs d'une droite

Définition

Vecteur directeur d'une droite Vecteur directeur d'une droite

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Définition

Vecteur directeur d'une droite :

Soit D\mathscr D une droite et soit u\vec u un vecteur non nul du plan.

On dit que u\vec u est un vecteur directeur de D\mathscr D s'il existe deux points AA et BB de D\mathscr D tels que u=AB\vec u={\overrightarrow{AB}}.

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Propriété

Chaque droite admet une infinité de vecteurs directeurs.

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Propriété

Soit u\vec u un vecteur directeur d'une droite D\mathscr D.

Le vecteur v\vec v est un vecteur directeur de la droite D\mathscr D si et seulement si le vecteur v\vec v est non nul et colinéaire au vecteur u\vec u.

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Exemple

Sur ce schéma, les vecteurs u,u et u\vec {u}, \vec u'\text{ et }\vec u'' sont colinéaires. Ce sont tous des vecteurs directeurs de la droite (AB)(AB).

Une droite et quelques-uns de ses vecteurs directeurs possibles

Parallélisme et vecteurs directeurs

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Propriété

Propriété :

Soit D\mathscr D et D\mathscr D' deux droites de vecteurs directeurs u\vec u et v\vec v. D\mathscr D et D\mathscr D' sont parallèles si et seulement si u\vec u et v\vec v sont colinéaires.

Autrement dit, deux droites du plan sont parallèles si et seulement si tout vecteur directeur de l'une est colinéaire à tout vecteur directeur de l'autre.

Caractérisation de l'appartenance d'un point à une droite

Appartenance d'un point à une droite Appartenance d'un point à une droite

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Propriété

Soit AA un point du plan, u\vec u un vecteur non nul et D\mathscr D la droite passant par AA de vecteur directeur u.\vec u.

Un point MM appartient à la droite D\mathscr D si et seulement si les vecteurs u\vec u et AM{\overrightarrow{AM}} sont colinéaires.

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Exemple

Dans un repère (O ;ı ,ȷ)(O\ ; \vec\imath\ , \vec\jmath) du plan, on considère la droite D\mathscr D passant par A(2 ;0)A(2\ ;0) et de vecteur directeur u(r11)\vec u\left(\begin{aligned}{r} -1 \ 1 \end{aligned} \right).

L'objectif est de vérifier si le point M(1 ; 3)M(-1\ ;\ 3) appartient à D.\mathscr D.

D'après la propriété caractéristique précédente, il va falloir vérifier si AM{\overrightarrow{AM}} et u\vec u sont colinéaires ou non.

Calculons les coordonnées du vecteur

AM{\overrightarrow{AM}}

$\begin{aligned} {\overrightarrow{AM}} \left(\begin{array}{c}x_M-x_A \\ y_M-y_A\end{array}\right)&={\overrightarrow{AM}} \left(\begin{array}{r} -1-2 \\ 3-0 \end{array}\right) \\ &={\overrightarrow{AM}} \left(\begin{array}{r} -3 \\ 3 \end{array}\right)\end{aligned}$

On a donc ${\overrightarrow{AM}} \left(\begin{array}{r} -3 \\ 3 \end{array} \right)$ et $\vec u\left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \end{array} \right)$

$xy'-yx'=\big[-3×1\big]-\big[3×(-1)\big]=-3+3=0$

  • Les vecteurs ${\overrightarrow{AM}}$ et $\vec u$ sont donc colinéaires ce qui permet d'affirmer que le point $M$ appartient bien à la droite $\mathscr D.$

Équations de droites

Équations cartésiennes de droites

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Propriété

Les coordonnées $(x\ ;y)$ de tous les points $M$ d'une droite $\mathscr D$ vérifient une équation de la forme $ax+by+c=0$ où $a, b\text{ et }c$ sont des réels avec $(a\ ;b)≠(0\ ;0)$

Une telle équation s'appelle une équation cartésienne de $\mathscr D$.

Soient des réels $a, b\text{ et }c$ avec $(a\ ;b)≠(0\ ;0)$. L'ensemble des points $M(x\ ;y)$ vérifiant $ax+by+c=0$ est une droite de vecteur directeur $\vec u\left(\begin{array}{r} -b \\ a \end{array} \right)$.

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Exemple

Dans un repère du plan, on considère $\mathscr D$ l'ensemble des points $M(x\ ;y)$ tels que $-2x+4y-5=0$

Alors, $\mathscr D$ est une droite de vecteur directeur $\vec u\left(\begin{array}{r} -b \\ a \end{array} \right)=\vec u\left(\begin{array}{r} -4 \\ -2 \end{array} \right)$.

On remarque que les vecteurs $\vec v\left(\begin{array}{r} 4 \\ 2 \end{array} \right)$ et $\vec w\left(\begin{array}{r} 2 \\ 1 \end{array} \right)$ sont aussi des vecteurs directeurs de $\mathscr D$ puisqu'ils sont colinéaires à $\vec u$.

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Exemple

Si l'on considère une droite $\mathscr D'$ passant par le point $A(-4 ; 7)$ et dirigée par le vecteur $\vec u'\left(\begin{array}{r} -3 \\ 2 \end{array} \right)$, on peut en déterminer une équation cartésienne :

$\vec u'\left(\begin{array}{r} -3 \\ 2 \end{array}\right)$ alors $\left\lbrace\begin{array}{rcc} a&=&-3 \\ b&=&2\end{array}\right.$

Donc $ax+by+c=0$ devient $2x+3y+c=0$

On sait que $A(-4\ ;7)∈\mathscr D'$ ce qui permet de calculer $c$.

$\begin{aligned} 2×(-4)+3×7+c=0&⇔-8+21+c=0 \\ &⇔13+c=0 \\ &⇔c=-13 \end{aligned}$

Une équation cartésienne de $\mathscr D'$ est donc : $2x+3y-13=0$.

Équations réduites de droites

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Astuce

Le tableau récapitulatif suivant permet de faire le lien entre les équations cartésiennes de droites que tu viens de voir et les équations réduites de droites, verticales, horizontales ou obliques, que tu connais depuis plusieurs années.

Cas où Représentation graphique Équation cartésienne Équation réduite
$b$ = $0$ et a ≠ $0$

Alt texte

$ax$ + $c$ = $0$ $x=\dfrac{-c}{a}$

$x$ = constante

$a$ = $0$ et b ≠ $0$

Alt texte

$by$ + $c$ = $0$ $y=\dfrac{-c}{b}$

$y$ = constante

$c$ = $0$ et $a$ ≠ $0$ et b ≠ $0$

Alt texte

$ax$ + $by$ = $0$ $y=\dfrac{-a}{b}x$

$y = mx$

$c$ ≠ $0$ et $a$ ≠ $0$ et b ≠ $0$

Alt texte

$ax$ + $by$ + $c$ = $0$ $x=\dfrac{-a}{b}x$ + $\dfrac{-c}{b}$

$y = mx + p$

Décomposition d'un vecteur dans une base

Définition et principes de fonctionnement

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Définition

Base du plan vectoriel :

On appelle base du plan vectoriel tout couple de deux vecteurs non colinéaires.

Ainsi, deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ non colinéaires forment une base notée $\big(\vec u\ ,\ \vec v\big)$.

Tout vecteur du plan peut s'exprimer en fonction de deux vecteurs non colinéaires Tout vecteur du plan peut s'exprimer en fonction de deux vecteurs non colinéaires

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Théorème

Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non colinéaires du plan. Pour tout vecteur $\vec w$ du plan, il existe un unique couple de réels $(a\ ;b)$ tel que $\vec w=a\vec u+b\vec v$.

$a\text{ et }b$ sont appelés coordonnées du vecteur $\vec w$ dans la base $\big(\vec u,\ \vec v\big)$.

Cas particuliers

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Propriété

  • Pour tous points $A,\ B\text{ et }C$ du plan tels que $ABC$ est un triangle, la relation de Chasles se vérifie ${\overrightarrow{AC}}={\overrightarrow{AB}}+{\overrightarrow{BC}}$

Alt Triangle de la relation de Chasles Triangle de la relation de Chasles

  • Pour tous points $A,\ B,\ C\text{ et }D$ du plan tels que $ABCD$ est un parallélogramme, la règle suivante se vérifie ${\overrightarrow{AC}}={\overrightarrow{AB}}+{\overrightarrow{AD}}$

Relation vectorielle dans un parallélogramme Relation vectorielle dans un parallélogramme