Géométrie vectorielle

Les vecteurs de l’espace

Définition :

Soit $A$ et $B$ deux points de l’espace et un plan qui les contient :

• Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ représente la translation qui transforme $A$ en $B$.
• Lorsque $A=B$ le vecteur $\overrightarrow{AA}$ est le vecteur nul, noté$\overrightarrow{0}$.

Définition : égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si, et seulement si, $ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Propriété :

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs représentant respectivement $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

La somme $\overrightarrow{u}$ +$\overrightarrow{v}$ est égale a vecteur $\overrightarrow{AD}$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.

Propriété : relation de Chasles

Pour tous les points $A, B$ et $C$ de l’espace on écrit :

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

Propriété : les opérations

Pour tous les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et tous les nombres réels $\lambda$ et $\lambda'$ :

$\lambda(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=\lambda\overrightarrow{u}+\lambda\overrightarrow{v}$

$(\lambda+\lambda')\overrightarrow{u}=\lambda\overrightarrow{u}+ \lambda'\overrightarrow{u}$

$\lambda(\lambda '\overrightarrow{u})= (\lambda\lambda')\overrightarrow{u}$

Propriété : colinéarité de deux vecteurs

Une droite est définie par un point et un vecteur directeur non nul : $M$ appartient à la droite $d$ passant par le point $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ s’il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{tu}$

Deux droites sont parallèles si, et seulement si, elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.

Propriété : caractéristique vectorielle d’un plan

$A, B$ et $C$ sont trois points non alignés de l’espace. Un point $M$ appartient au plan $ABC$ si, et seulement si, il existe des nombres réels $x$ et$y$ tels que $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$

Propriété : coplanarité

$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs de l’espace tels que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.

$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires si, et seulement si, il existe des nombres réels $a$ et $b$ tels que : $\overrightarrow{w}=a \overrightarrow{u}+b \overrightarrow{v}$.

Propriété : décomposition de vecteurs

$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont trois vecteurs non coplanaires de l’espace ; pour tout vecteur $t$, il existe un unique triplet de réel $a, b$ et $c$ tels que : $\overrightarrow{t}=a \overrightarrow{u}+b \overrightarrow{v}+c \overrightarrow{w}$.

Repérage dans l’espace

Définition : repère dans l’espace

Un repère de l’espace, noté $(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ est formé d’un point $O$ et d’un triplet $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$ de vecteurs non coplanaires.

Propriétés :

Soit $\overrightarrow{u} \left( \begin{array}{ c c } x \\ y\\ z \end{array} \right)$ et $\overrightarrow{v} \left( \begin{array}{ c c } x' \\ y'\\ z' \end{array} \right)$ deux vecteurs dans un repère $(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ de l’espace.

• $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$ équivaut à $x=x'$ $y=y'$ $z=z'$
• $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ a pour coordonnées $\left( \begin{array}{ c c } x+x' \\ y+y'\\ z+z' \end{array} \right)$
• Si $a$ est un réel, alors $a\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $\left( \begin{array}{ c c } ax \\ ay\\ az \end{array} \right)$
• Soit $A$ $(x_A, y_A,z_A)$ et $B$ $(x_B, y_B,z_B)$ deux points de l’espace :
• $\overrightarrow{AB}$ $\left( \begin{array}{ c c } x_B - x_A \\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{array} \right)$
• Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $I ({{x_B+x_A}\over 2};{{y_B+y_A}\over 2};{{z_B+z_A}\over 2})$
• $AB=\sqrt{(x_B-x_A )^2+(y_B-y_A )^2+(z_B-z_A)^2}$

Systèmes d’équations paramétriques

Propriété : représentation paramétrique d’une droite

Soit $D$ la droite passant par le point $A(x_A,y_A,z_A )$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ $\left( \begin{array}{ c c } a \\ b\\ c \end{array} \right)$

Un point $M (x,y,z)$ appartient à D si et seulement si, il existe un réel $t$ tel que :

$\Bigg\lbrace \begin{aligned} &x=x_A+at\\ &y=y_A+bt \\ &z=z_A+ct \end{aligned}$

• Ce système d’équations défini une représentation paramétrique de la droite $D$ ;
• Le réel $t$ s’appelle paramètre du point $M$.

Propriété : représentation paramétrique d’un plan

Soit $P$ la droite passant par le point $A(x_A,y_A,z_A )$ et dirigé par les vecteurs $\overrightarrow{u}$ $\left( \begin{array}{ c c } a \\ b\\ c \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}$ $\left( \begin{array}{ c c } a' \\ b'\\ c' \end{array}\right)$

Un point $M(x,y,z)$ appartient à $P$ si et seulement si, il existe deux réels $t$ et $t'$ tels que :

$\Bigg\lbrace \begin{aligned} &x=x_A+at+a't'\\ &y=y_A+bt+b't' \\ &z=z_A+ct+c't' \end{aligned}$

• Ce système d’équations définit une représentation paramétrique du plan $P$ ;
• Le couple $(t;t')$ est dit couple paramètre du point $M$.