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Les vecteurs de l’espace
Définition :
Soit et deux points de l’espace et un plan qui les contient :
Définition : égalité de deux vecteurs
Deux vecteurs non nuls et sont égaux si, et seulement si, est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Propriété :
et sont deux vecteurs représentant respectivement et .
La somme + est égale a vecteur tel que soit un parallélogramme.
Propriété : relation de Chasles
Pour tous les points et de l’espace on écrit :
Propriété : les opérations
Pour tous les vecteurs et et tous les nombres réels et :
Propriété : colinéarité de deux vecteurs
Une droite est définie par un point et un vecteur directeur non nul : appartient à la droite passant par le point et de vecteur directeur s’il existe un réel tel que
Deux droites sont parallèles si, et seulement si, elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
Propriété : caractéristique vectorielle d’un plan
et sont trois points non alignés de l’espace. Un point appartient au plan si, et seulement si, il existe des nombres réels et tels que
Propriété : coplanarité
, et trois vecteurs de l’espace tels que et ne sont pas colinéaires.
, et sont coplanaires si, et seulement si, il existe des nombres réels et tels que : .
Propriété : décomposition de vecteurs
, et sont trois vecteurs non coplanaires de l’espace ; pour tout vecteur , il existe un unique triplet de réel et tels que : .
Repérage dans l’espace
Définition : repère dans l’espace
Un repère de l’espace, noté est formé d’un point et d’un triplet , , de vecteurs non coplanaires.
Propriétés :
Soit et deux vecteurs dans un repère de l’espace.
Systèmes d’équations paramétriques
Propriété : représentation paramétrique d’une droite
Soit la droite passant par le point et de vecteur directeur
Un point appartient à D si et seulement si, il existe un réel tel que :
Propriété : représentation paramétrique d’un plan
Soit la droite passant par le point et dirigé par les vecteurs et
Un point appartient à si et seulement si, il existe deux réels et tels que :