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Marianne

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Géométrie vectorielle

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Les vecteurs de l’espace

Définition :

Soit AA et BB deux points de l’espace et un plan qui les contient :

  • Le vecteur AB\overrightarrow{AB} représente la translation qui transforme AA en BB.
  • Lorsque A=BA=B le vecteur AA\overrightarrow{AA} est le vecteur nul, noté0\overrightarrow{0}.

Définition : égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs non nuls AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} sont égaux si, et seulement si, ABDCABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Propriété :

u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont deux vecteurs représentant respectivement AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC}.

La somme u\overrightarrow{u} +v\overrightarrow{v} est égale a vecteur AD\overrightarrow{AD} tel que ABDCABDC soit un parallélogramme.

Propriété : relation de Chasles

Pour tous les points A,BA, B et CC de l’espace on écrit :

AB+BC=AC\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}

Propriété : les opérations

Pour tous les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} et tous les nombres réels λ\lambda et λ\lambda' :

λ(u+v)=λu+λv\lambda(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=\lambda\overrightarrow{u}+\lambda\overrightarrow{v}

(λ+λ)u=λu+λu(\lambda+\lambda')\overrightarrow{u}=\lambda\overrightarrow{u}+ \lambda'\overrightarrow{u}

λ(λu)=(λλ)u\lambda(\lambda '\overrightarrow{u})= (\lambda\lambda')\overrightarrow{u}

Propriété : colinéarité de deux vecteurs

Une droite est définie par un point et un vecteur directeur non nul : MM appartient à la droite dd passant par le point AA et de vecteur directeur u\overrightarrow{u} s’il existe un réel tt tel que AM=tu\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{tu}

Deux droites sont parallèles si, et seulement si, elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.

Propriété : caractéristique vectorielle d’un plan

A,BA, B et CC sont trois points non alignés de l’espace. Un point MM appartient au plan ABCABC si, et seulement si, il existe des nombres réels xx ety y tels que AM=xAB+yAC\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}

Propriété : coplanarité

u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} trois vecteurs de l’espace tels que u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires.

u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} sont coplanaires si, et seulement si, il existe des nombres réels aa et bb tels que : w=au+bv\overrightarrow{w}=a \overrightarrow{u}+b \overrightarrow{v}.

Propriété : décomposition de vecteurs

u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} sont trois vecteurs non coplanaires de l’espace ; pour tout vecteur tt, il existe un unique triplet de réel a,ba, b et cc tels que : t=au+bv+cw\overrightarrow{t}=a \overrightarrow{u}+b \overrightarrow{v}+c \overrightarrow{w}.

Repérage dans l’espace

Définition : repère dans l’espace

Un repère de l’espace, noté (0,i,j,k)(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) est formé d’un point OO et d’un triplet i\overrightarrow{i}, j\overrightarrow{j}, k\overrightarrow{k} de vecteurs non coplanaires.

Repère de l’espace-maths-tle

Propriétés :

Soit u(xyz)\overrightarrow{u} \left( \begin{array}{ c c } x \ y\ z \end{array} \right) et v(xyz)\overrightarrow{v} \left( \begin{array}{ c c } x' \ y'\ z' \end{array} \right) deux vecteurs dans un repère (0,i,j,k)(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) de l’espace.

  • u=v\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v} équivaut à x=xx=x' y=yy=y' z=zz=z'
  • u+v\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} a pour coordonnées (x+xy+yz+z)\left( \begin{array}{ c c } x+x' \ y+y'\ z+z' \end{array} \right)
  • Si aa est un réel, alors aua\overrightarrow{u} a pour coordonnées (axayaz)\left( \begin{array}{ c c } ax \ ay\ az \end{array} \right)
  • Soit AA (xA,yA,zA)(xA, yA,zA) et BB (xB,yB,zB)(xB, yB,zB) deux points de l’espace :
  • AB\overrightarrow{AB} (xBxAyByAzBzA)\left( \begin{array}{ c c } xB - xA \ yB-yA\ zB-zA \end{array} \right)
  • Le milieu II de [AB][AB] a pour coordonnées I(xB+xA2;yB+yA2;zB+zA2)I ({{xB+xA}\over 2};{{yB+yA}\over 2};{{zB+zA}\over 2})
  • AB=(xBxA)2+(yByA)2+(zBzA)2AB=\sqrt{(xB-xA )^2+(yB-yA )^2+(zB-zA)^2}

Systèmes d’équations paramétriques

Propriété : représentation paramétrique d’une droite

Soit DD la droite passant par le point A(xA,yA,zA)A(xA,yA,z_A ) et de vecteur directeur u\overrightarrow{u} (abc)\left( \begin{array}{ c c } a \ b\ c \end{array} \right)

Un point M(x,y,z)M (x,y,z) appartient à D si et seulement si, il existe un réel tt tel que :

{x=xA+aty=yA+btz=zA+ct\Bigg\lbrace \begin{aligned} &x=xA+at\ &y=yA+bt \ &z=z_A+ct \end{aligned}

  • Ce système d’équations défini une représentation paramétrique de la droite DD ;
  • Le réel tt s’appelle paramètre du point MM.

Propriété : représentation paramétrique d’un plan

Soit PP la droite passant par le point A(xA,yA,zA)A(xA,yA,z_A ) et dirigé par les vecteurs u\overrightarrow{u} (ab c)\left( \begin{array}{ c c } a \ b\\ c \end{array}\right) et v\overrightarrow{v} (ab c)\left( \begin{array}{ c c } a' \ b'\\ c' \end{array}\right)

Un point M(x,y,z)M(x,y,z) appartient à PP si et seulement si, il existe deux réels tt et tt' tels que :

{x=xA+at+aty=yA+bt+btz=zA+ct+ct\Bigg\lbrace \begin{aligned} &x=xA+at+a't'\ &y=yA+bt+b't' \ &z=z_A+ct+c't' \end{aligned}

  • Ce système d’équations définit une représentation paramétrique du plan PP ;
  • Le couple (t;t)(t;t') est dit couple paramètre du point MM.