Géométrie vectorielle
Introduction :
Dans cette leçon, nous allons commencer par expliquer la notion de vecteur de l’espace puis nous parlerons de repérage dans l’espace pour arriver enfin aux représentations paramétriques de droites et de plans.
Les vecteurs de l’espace
Les vecteurs de l’espace
Notion de vecteur de l’espace
Notion de vecteur de l’espace
Définition
Vecteur :
Considérons deux points $A$ et $B$ de l’espace. Dans un plan qui contient $A$ et $B$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur de la translation qui transforme $A$ en $B$.
Lorsque $A=B$ le vecteur $\overrightarrow{AA}$ est le vecteur nul, noté $\overrightarrow{0}$.
Définition
Égalité de deux vecteurs :
Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si et seulement si $ABCD$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Propriété
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs représentants $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
La somme $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ est égale au vecteur $\overrightarrow{AD}$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.
Propriété
Relation de Chasles : Pour tous points $A$, $B$ et $C$ de l’espace, on écrit :
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
Propriété
Les opérations :
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et tous nombres réels $λ$ et $λ'$ :
$λ(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=λ\overrightarrow{u}+λ\overrightarrow{v}$
$(λ+λ')\overrightarrow{u}=λ\overrightarrow{u}+λ'\overrightarrow{u}$
$λ(λ'\overrightarrow{u})=(λλ')\overrightarrow{u}$
Propriété
La colinéarité de deux vecteurs :
Dire que deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de l’espace sont colinéaires signifie qu’il existe un nombre réel $λ $ tel que $\overrightarrow{v}=λ \overrightarrow{u}$.
Caractérisation vectorielle d’une droite
Caractérisation vectorielle d’une droite
- Une droite est définie par un point et un vecteur directeur non nul.
Les deux propriétés apprises l’an dernier s’appliquent donc toujours :
Propriété
$M$ appartient à la droite $d$ passant par le point $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{AM}=t \overrightarrow{u}$.
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
Caractéristique vectorielle d’un plan
Caractéristique vectorielle d’un plan
Propriété
$A$, $B$ et $C$ sont trois points non alignés de l’espace. Un point $M$ appartient au plan $(ABC)$ si, et seulement si, il existe des nombres réels $x$ et $y$ tels que :
$\overrightarrow{AM}=x \overrightarrow{AB}+y \overrightarrow{AC}$
Propriété
Coplanarité:
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs de l’espace tels que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires si, et seulement si, il existe des nombres réels $a$ et $b$ tels que :
$\overrightarrow{w}=a \overrightarrow{u}+b \overrightarrow{v}$
Astuce
Autrement dit, trois vecteurs sont coplanaires si on peut en décomposer un à l’aide des deux autres.
Décomposition de vecteurs
Décomposition de vecteurs
Propriété
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs non coplanaires de l’espace.
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{t}$ il existe un unique triplet de réels $a$, $b$ et $c$ tels que :
$\overrightarrow{t}=a \overrightarrow{u}+b \overrightarrow{v}+c \overrightarrow{w}$
Repérage dans l’espace
Repérage dans l’espace
Définition
Repère de l’espace :
Un repère de l’espace, noté $(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ est formé d’un point $O$ et d’un triplet $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$ de vecteurs non coplanaires.
Dans un tel repère, pour tout point $M$ de l’espace, les réels $x $, $y$, $z$ tels que $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ sont les coordonnées de M.
- $x $ est l’abscisse de $M$,
- $y$ est l’ordonnée de $M$,
- $z$ est la cote de $M$.
Propriété
Propriété de calcul :
Soit $\overrightarrow{u}(x, y, z)$ et $\overrightarrow{v}(x', y', z')$ deux vecteurs dans un repère $(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ de l’espace.
- $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$ équivaut à $x=x'$ $y=y'$ $z=z'$
- $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ a pour coordonnées $(x+x';y+y';z+z')$
- Si $a$ est un réel, alors $a\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $(ax;ay;az)$.
Propriété
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ deux points de l’espace rapporté au repère.
$\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$
Le milieu $I$ et $[AB]$ a pour coordonnées : $({{x_B+x_A}\over 2};{{y_B+y_A}\over 2};{{z_B+z_A}\over 2})$
Si le repère $(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ est orthonormé, alors :
$AB=\sqrt{(x_B-x_A )^2+(y_B-y_A )^2+(z_B-z_A)^2}$
Exemple
Soit un point $A(3\ ;0\ ;5)$ et un point $B(2\ ;2\ ;4)$.
- Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB} :$
$\overrightarrow{AB} (2-3\ ;2-0\ ;4-5)$
$\overrightarrow{AB}(-1\ ;2\ ;-1)$
- Calculons maintenant les coordonnées du millieu $I$ du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
$I({3+2\over 2} ; {0+2\over 2} ; {5+4\over 2})=I({5\over 2} ;1 ;{ 9\over 2})$
- Enfin, la troisième propriété nous permet de calculer la distance $AB $ (si le repère est orthonormé) :
$\begin{aligned}AB&=\sqrt{(2-3)^2+(2-0)^2+(4-5)^2} \\ &=\sqrt{(-1)^2+2^2+(-1)^2} \\ &=\sqrt{1+4+1} \\ &=\sqrt6\end{aligned}$
Systèmes d’équations paramétriques
Systèmes d’équations paramétriques
Représentation paramétrique d’une droite
Représentation paramétrique d’une droite
Propriété
Soit $D$ la droite passant par le point $A(x_A\ ;y_A\ ;z_A)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(a;b;c)$
Un point $M$ de coordonnées $(x;y;z)$ appartient à $D$ si, et seulement si, il existe un réel $t$ tel que :
$\Bigg\lbrace \begin{array}{rcr} x=x_A+at \\ y=y_A+bt \\ z=z_A+ct \end{array}$
Ce système d’équations définit une représentation paramétrique de la droite $D$.
Le réel $t$ s’appelle paramètre du point $M$.
Astuce
Tout comme dans le plan où une droite possède une infinité d’équations cartésiennes, dans l’espace une droite possède une infinité de représentations paramétriques puisque ni le point $A$ ni le vecteur $\overrightarrow{u}$ ne sont uniques.
Exemple
Donnons la représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par le point $A(3\ ;5\ ;2)$ et le vecteur directeur $\overrightarrow{u}(-1, 1, 3)$.
$\Bigg\lbrace \begin{aligned} &x=3-t \\ &y=5+t \\ &z=2+3t \end{aligned} \text {avec}\ t∈R$
Représentation paramétrique d’un plan
Représentation paramétrique d’un plan
Propriété
Soit $P$ le plan passant par le point $A(x_A\ ;y_A\ ;z_A)$ et dirigé par les vecteurs $\overrightarrow{u}(a;b;c)$ et $\overrightarrow{v}(a';b';c')$
Un point M de coordonnées $(x,y,z)$ appartient à $P$ si, et seulement si, il existe deux réels $t$ et $t'$ tels que :
$\Bigg\lbrace \begin{aligned} x&=x_A+at+a't'\\ y&=y_A+bt+b't' \\ z&=z_A+ct+c't' \end{aligned}$
Ce système d’équations définit une représentation paramétrique du plan $P$.
Le couple $(t\ ;t')$ est dit couple de paramètres du point $M$.