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Marianne

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Géométrie vectorielle

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Introduction :

Dans cette leçon, nous allons commencer par expliquer la notion de vecteur de l’espace puis nous parlerons de repérage dans l’espace pour arriver enfin aux représentations paramétriques de droites et de plans.

Les vecteurs de l’espace

Notion de vecteur de l’espace

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Définition

Vecteur :

Considérons deux points AA et BB de l’espace. Dans un plan qui contient AA et BB, le vecteur AB\overrightarrow{AB} est le vecteur de la translation qui transforme AA en BB.

Lorsque A=BA=B le vecteur AA\overrightarrow{AA} est le vecteur nul, noté 0\overrightarrow{0}.

Vecteur de l’espace-maths-tle

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Définition

Égalité de deux vecteurs :

Deux vecteurs non nuls AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} sont égaux si et seulement si ABCDABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Égalité de deux vecteurs-maths-tle

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Propriété

u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont deux vecteurs représentants AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC}.

La somme u+v\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} est égale au vecteur AD\overrightarrow{AD} tel que ABDCABDC soit un parallélogramme.

Somme de vectuers et parallélogramme-maths-tle

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Propriété

Relation de Chasles : Pour tous points AA, BB et CC de l’espace, on écrit :

AB+BC=AC\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}

Géométrie vectorielle et relation de Chasles-maths-tle

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Propriété

Les opérations :

Pour tous vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} et tous nombres réels λλ et λλ' :

λ(u+v)=λu+λvλ(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=λ\overrightarrow{u}+λ\overrightarrow{v}

(λ+λ)u=λu+λu(λ+λ')\overrightarrow{u}=λ\overrightarrow{u}+λ'\overrightarrow{u}

λ(λu)=(λλ)uλ(λ'\overrightarrow{u})=(λλ')\overrightarrow{u}

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Propriété

La colinéarité de deux vecteurs :

Dire que deux vecteurs non nuls u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} de l’espace sont colinéaires signifie qu’il existe un nombre réel λλ tel que v=λu\overrightarrow{v}=λ \overrightarrow{u}.

Caractérisation vectorielle d’une droite

  • Une droite est définie par un point et un vecteur directeur non nul.

Les deux propriétés apprises l’an dernier s’appliquent donc toujours :

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Propriété

  • MM appartient à la droite dd passant par le point AA et de vecteur directeur u\overrightarrow{u} si et seulement si il existe un réel tt tel que AM=tu\overrightarrow{AM}=t \overrightarrow{u}.

  • Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.

Caractéristique vectorielle d’un plan

Caractéristique vectorielle d’un plan-maths-tle

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Propriété

AA, BB et CC sont trois points non alignés de l’espace. Un point MM appartient au plan (ABC)(ABC) si, et seulement si, il existe des nombres réels xx et yy tels que :

AM=xAB+yAC\overrightarrow{AM}=x \overrightarrow{AB}+y \overrightarrow{AC}

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Propriété

Coplanarité:

u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} trois vecteurs de l’espace tels que u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires.

u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} sont coplanaires si, et seulement si, il existe des nombres réels aa et bb tels que :

w=au+bv\overrightarrow{w}=a \overrightarrow{u}+b \overrightarrow{v}

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Astuce

Autrement dit, trois vecteurs sont coplanaires si on peut en décomposer un à l’aide des deux autres.

Décomposition de vecteurs

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Propriété

u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} trois vecteurs non coplanaires de l’espace.

Pour tous vecteurs t\overrightarrow{t} il existe un unique triplet de réels aa, bb et cc tels que :

t=au+bv+cw\overrightarrow{t}=a \overrightarrow{u}+b \overrightarrow{v}+c \overrightarrow{w}

Décomposition de vecteurs-maths-tle

Repérage dans l’espace

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Définition

Repère de l’espace :

Un repère de l’espace, noté (0,i,j,k)(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) est formé d’un point OO et d’un triplet i\overrightarrow{i}, j\overrightarrow{j}, k\overrightarrow{k} de vecteurs non coplanaires.

Repère de l’espace-maths-tle

Dans un tel repère, pour tout point MM de l’espace, les réels xx , yy, zz tels que OM=xi+yj+zk\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k} sont les coordonnées de M.

  • xx est l’abscisse de MM,
  • yy est l’ordonnée de MM,
  • zz est la cote de MM.
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Propriété

Propriété de calcul :

Soit u(x,y,z)\overrightarrow{u}(x, y, z) et v(x,y,z)\overrightarrow{v}(x', y', z') deux vecteurs dans un repère (0,i,j,k)(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) de l’espace.

  • u=v\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v} équivaut à x=xx=x' y=yy=y' z=zz=z'
  • u+v\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} a pour coordonnées (x+x;y+y;z+z)(x+x';y+y';z+z')
  • Si aa est un réel, alors aua\overrightarrow{u} a pour coordonnées (ax;ay;az)(ax;ay;az).
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Propriété

Soit A(xA;yA;zA)A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB)B(xB;yB;zB) deux points de l’espace rapporté au repère.

AB\overrightarrow{AB} a pour coordonnées (xBxA;yByA;zBzA)(xB-xA;yB-yA;zB-zA)

Le milieu II et [AB][AB] a pour coordonnées : (xB+xA2;yB+yA2;zB+zA2)({{xB+xA}\over 2};{{yB+yA}\over 2};{{zB+zA}\over 2})

Si le repère (0,i,j,k)(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) est orthonormé, alors :

AB=(xBxA)2+(yByA)2+(zBzA)2AB=\sqrt{(xB-xA )^2+(yB-yA )^2+(zB-zA)^2}

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Exemple

Soit un point A(3 ;0 ;5)A(3\ ;0\ ;5) et un point B(2 ;2 ;4)B(2\ ;2\ ;4).

  • Calculons les coordonnées du vecteur AB:\overrightarrow{AB} :

AB(23 ;20 ;45)\overrightarrow{AB} (2-3\ ;2-0\ ;4-5)

AB(1 ;2 ;1)\overrightarrow{AB}(-1\ ;2\ ;-1)

  • Calculons maintenant les coordonnées du millieu II du vecteur AB\overrightarrow{AB}.

I(3+22;0+22;5+42)=I(52;1;92)I({3+2\over 2} ; {0+2\over 2} ; {5+4\over 2})=I({5\over 2} ;1 ;{ 9\over 2})

  • Enfin, la troisième propriété nous permet de calculer la distance ABAB (si le repère est orthonormé) :

AB=(23)2+(20)2+(45)2=(1)2+22+(1)2=1+4+1=6\begin{aligned}AB&=\sqrt{(2-3)^2+(2-0)^2+(4-5)^2} \ &=\sqrt{(-1)^2+2^2+(-1)^2} \ &=\sqrt{1+4+1} \ &=\sqrt6\end{aligned}

Systèmes d’équations paramétriques

Représentation paramétrique d’une droite

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Propriété

Soit DD la droite passant par le point A(xA ;yA ;zA)A(xA\ ;yA\ ;z_A) et de vecteur directeur u(a;b;c)\overrightarrow{u}(a;b;c)

Un point MM de coordonnées (x;y;z)(x;y;z) appartient à DD si, et seulement si, il existe un réel tt tel que :

{x=xA+aty=yA+btz=zA+ct\Bigg\lbrace \begin{array}{rcr} x=xA+at \ y=yA+bt \ z=z_A+ct \end{array}

Ce système d’équations définit une représentation paramétrique de la droite DD.

Le réel tt s’appelle paramètre du point MM.

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Astuce

Tout comme dans le plan où une droite possède une infinité d’équations cartésiennes, dans l’espace une droite possède une infinité de représentations paramétriques puisque ni le point AA ni le vecteur u\overrightarrow{u} ne sont uniques.

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Exemple

Donnons la représentation paramétrique de la droite Δ\Delta passant par le point A(3 ;5 ;2)A(3\ ;5\ ;2) et le vecteur directeur u(1,1,3)\overrightarrow{u}(-1, 1, 3).

{x=3ty=5+tz=2+3tavec tR\Bigg\lbrace \begin{aligned} &x=3-t \ &y=5+t \ &z=2+3t \end{aligned} \text {avec}\ t∈R

Représentation paramétrique d’un plan

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Propriété

Soit PP le plan passant par le point A(xA ;yA ;zA)A(xA\ ;yA\ ;z_A) et dirigé par les vecteurs u(a;b;c)\overrightarrow{u}(a;b;c) et v(a;b;c)\overrightarrow{v}(a';b';c')

Un point M de coordonnées (x,y,z)(x,y,z) appartient à PP si, et seulement si, il existe deux réels tt et tt' tels que :

{x=xA+at+aty=yA+bt+btz=zA+ct+ct\Bigg\lbrace \begin{aligned} x&=xA+at+a't'\ y&=yA+bt+b't' \ z&=z_A+ct+c't' \end{aligned}

Ce système d’équations définit une représentation paramétrique du plan PP.

Le couple (t ;t)(t\ ;t') est dit couple de paramètres du point MM.