Géométrie vectorielle

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Épisode 1

1. Vecteurs de l'espace

Épisode 2

2. Repérage dans l'espace

Épisode 3

3. Systèmes d'équations paramétriques

Introduction :

Dans cette leçon, nous allons commencer par expliquer la notion de vecteur de l’espace puis nous parlerons de repérage dans l’espace pour arriver enfin aux représentations paramétriques de droites et de plans.

Les vecteurs de l’espace

Notion de vecteur de l’espace

Définition

Vecteur :

Considérons deux points $A$ et $B$ de l’espace. Dans un plan qui contient $A$ et $B$ , le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur de la translation qui transforme $A$ en $B$ .

Lorsque $A=B$ le vecteur $\overrightarrow{AA}$ est le vecteur nul, noté $\overrightarrow{0}$ .

Vecteur de l’espace-maths-tle

Définition

Égalité de deux vecteurs :

Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si et seulement si $ABCD$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Égalité de deux vecteurs-maths-tle

Propriété

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs représentants $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .

La somme $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ est égale au vecteur $\overrightarrow{AD}$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.

Somme de vectuers et parallélogramme-maths-tle

Propriété

Relation de Chasles : Pour tous points $A$ , $B$ et $C$ de l’espace, on écrit :

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

Géométrie vectorielle et relation de Chasles-maths-tle

Propriété

Les opérations :

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et tous nombres réels $λ$ et $λ'$ :

$λ(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=λ\overrightarrow{u}+λ\overrightarrow{v}$

$(λ+λ')\overrightarrow{u}=λ\overrightarrow{u}+λ'\overrightarrow{u}$

$λ(λ'\overrightarrow{u})=(λλ')\overrightarrow{u}$

Propriété

La colinéarité de deux vecteurs :

Dire que deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de l’espace sont colinéaires signifie qu’il existe un nombre réel $λ$ tel que $\overrightarrow{v}=λ \overrightarrow{u}$ .

Caractérisation vectorielle d’une droite

Une droite est définie par un point et un vecteur directeur non nul.

Les deux propriétés apprises l’an dernier s’appliquent donc toujours :

Propriété

$M$ appartient à la droite $d$ passant par le point $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{AM}=t \overrightarrow{u}$ .
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.

Caractéristique vectorielle d’un plan

Caractéristique vectorielle d’un plan-maths-tle

Propriété

$A$ , $B$ et $C$ sont trois points non alignés de l’espace. Un point $M$ appartient au plan $(ABC)$ si, et seulement si, il existe des nombres réels $x$ et $y$ tels que :

$\overrightarrow{AM}=x \overrightarrow{AB}+y \overrightarrow{AC}$

Propriété

Coplanarité:

$\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs de l’espace tels que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.

$\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires si, et seulement si, il existe des nombres réels $a$ et $b$ tels que :

$\overrightarrow{w}=a \overrightarrow{u}+b \overrightarrow{v}$

Astuce

Autrement dit, trois vecteurs sont coplanaires si on peut en décomposer un à l’aide des deux autres.

Décomposition de vecteurs

Propriété

$\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs non coplanaires de l’espace.

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{t}$ il existe un unique triplet de réels $a$ , $b$ et $c$ tels que :

$\overrightarrow{t}=a \overrightarrow{u}+b \overrightarrow{v}+c \overrightarrow{w}$

Décomposition de vecteurs-maths-tle

Repérage dans l’espace

Définition

Repère de l’espace :

Un repère de l’espace, noté $(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ est formé d’un point $O$ et d’un triplet $\overrightarrow{i}$ , $\overrightarrow{j}$ , $\overrightarrow{k}$ de vecteurs non coplanaires.

Repère de l’espace-maths-tle

Dans un tel repère, pour tout point $M$ de l’espace, les réels $x$ , $y$ , $z$ tels que $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ sont les coordonnées de M.

$x$ est l’abscisse de $M$ ,
$y$ est l’ordonnée de $M$ ,
$z$ est la cote de $M$ .

Propriété

Propriété de calcul :

Soit $\overrightarrow{u}(x, y, z)$ et $\overrightarrow{v}(x', y', z')$ deux vecteurs dans un repère $(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ de l’espace.

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$ équivaut à $x=x'$ $y=y'$ $z=z'$
$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ a pour coordonnées $(x+x';y+y';z+z')$
Si $a$ est un réel, alors $a\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $(ax;ay;az)$ .

Propriété

Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ deux points de l’espace rapporté au repère.

$\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$

Le milieu $I$ et $[AB]$ a pour coordonnées : $({{x_B+x_A}\over 2};{{y_B+y_A}\over 2};{{z_B+z_A}\over 2})$

Si le repère $(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ est orthonormé, alors :

$AB=\sqrt{(x_B-x_A )^2+(y_B-y_A )^2+(z_B-z_A)^2}$

Exemple

Soit un point $A(3\ ;0\ ;5)$ et un point $B(2\ ;2\ ;4)$ .

Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB} :$

$\overrightarrow{AB} (2-3\ ;2-0\ ;4-5)$

$\overrightarrow{AB}(-1\ ;2\ ;-1)$

Calculons maintenant les coordonnées du millieu $I$ du vecteur $\overrightarrow{AB}$ .

$I({3+2\over 2} ; {0+2\over 2} ; {5+4\over 2})=I({5\over 2} ;1 ;{ 9\over 2})$

Enfin, la troisième propriété nous permet de calculer la distance $AB$ (si le repère est orthonormé) :

$\begin{aligned}AB&=\sqrt{(2-3)^2+(2-0)^2+(4-5)^2} \\ &=\sqrt{(-1)^2+2^2+(-1)^2} \\ &=\sqrt{1+4+1} \\ &=\sqrt6\end{aligned}$

Systèmes d’équations paramétriques

Représentation paramétrique d’une droite

Propriété

Soit $D$ la droite passant par le point $A(x_A\ ;y_A\ ;z_A)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(a;b;c)$

Un point $M$ de coordonnées $(x;y;z)$ appartient à $D$ si, et seulement si, il existe un réel $t$ tel que :

$\Bigg\lbrace \begin{array}{rcr} x=x_A+at \\ y=y_A+bt \\ z=z_A+ct \end{array}$

Ce système d’équations définit une représentation paramétrique de la droite $D$ .

Le réel $t$ s’appelle paramètre du point $M$ .

Astuce

Tout comme dans le plan où une droite possède une infinité d’équations cartésiennes, dans l’espace une droite possède une infinité de représentations paramétriques puisque ni le point $A$ ni le vecteur $\overrightarrow{u}$ ne sont uniques.

Exemple

Donnons la représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par le point $A(3\ ;5\ ;2)$ et le vecteur directeur $\overrightarrow{u}(-1, 1, 3)$ .

$\Bigg\lbrace \begin{aligned} &x=3-t \\ &y=5+t \\ &z=2+3t \end{aligned} \text {avec}\ t∈R$

Représentation paramétrique d’un plan

Propriété

Soit $P$ le plan passant par le point $A(x_A\ ;y_A\ ;z_A)$ et dirigé par les vecteurs $\overrightarrow{u}(a;b;c)$ et $\overrightarrow{v}(a';b';c')$

Un point M de coordonnées $(x,y,z)$ appartient à $P$ si, et seulement si, il existe deux réels $t$ et $t'$ tels que :

$\Bigg\lbrace \begin{aligned} x&=x_A+at+a't'\\ y&=y_A+bt+b't' \\ z&=z_A+ct+c't' \end{aligned}$

Ce système d’équations définit une représentation paramétrique du plan $P$ .

Le couple $(t\ ;t')$ est dit couple de paramètres du point $M$ .

Cette fiche de cours fait appel aux contenus suivants

Repère orthonormé

Définition

Mathématiques

Équation cartésienne d’un plan

Définition

Mathématiques