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Introduction :
Dans cette leçon, nous allons commencer par expliquer la notion de vecteur de l’espace puis nous parlerons de repérage dans l’espace pour arriver enfin aux représentations paramétriques de droites et de plans.
Les vecteurs de l’espace
Notion de vecteur de l’espace
Vecteur :
Considérons deux points et de l’espace. Dans un plan qui contient et , le vecteur est le vecteur de la translation qui transforme en .
Lorsque le vecteur est le vecteur nul, noté .
Égalité de deux vecteurs :
Deux vecteurs non nuls et sont égaux si et seulement si est un parallélogramme (éventuellement aplati).
et sont deux vecteurs représentants et .
La somme est égale au vecteur tel que soit un parallélogramme.
Relation de Chasles : Pour tous points , et de l’espace, on écrit :
Les opérations :
Pour tous vecteurs et et tous nombres réels et :
La colinéarité de deux vecteurs :
Dire que deux vecteurs non nuls et de l’espace sont colinéaires signifie qu’il existe un nombre réel tel que .
Caractérisation vectorielle d’une droite
Les deux propriétés apprises l’an dernier s’appliquent donc toujours :
appartient à la droite passant par le point et de vecteur directeur si et seulement si il existe un réel tel que .
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
Caractéristique vectorielle d’un plan
, et sont trois points non alignés de l’espace. Un point appartient au plan si, et seulement si, il existe des nombres réels et tels que :
Coplanarité:
, et trois vecteurs de l’espace tels que et ne sont pas colinéaires.
, et sont coplanaires si, et seulement si, il existe des nombres réels et tels que :
Autrement dit, trois vecteurs sont coplanaires si on peut en décomposer un à l’aide des deux autres.
Décomposition de vecteurs
, et trois vecteurs non coplanaires de l’espace.
Pour tous vecteurs il existe un unique triplet de réels , et tels que :
Repérage dans l’espace
Repère de l’espace :
Un repère de l’espace, noté est formé d’un point et d’un triplet , , de vecteurs non coplanaires.
Dans un tel repère, pour tout point de l’espace, les réels , , tels que sont les coordonnées de M.
Propriété de calcul :
Soit et deux vecteurs dans un repère de l’espace.
Soit et deux points de l’espace rapporté au repère.
a pour coordonnées
Le milieu et a pour coordonnées :
Si le repère est orthonormé, alors :
Soit un point et un point .
Systèmes d’équations paramétriques
Représentation paramétrique d’une droite
Soit la droite passant par le point et de vecteur directeur
Un point de coordonnées appartient à si, et seulement si, il existe un réel tel que :
Ce système d’équations définit une représentation paramétrique de la droite .
Le réel s’appelle paramètre du point .
Tout comme dans le plan où une droite possède une infinité d’équations cartésiennes, dans l’espace une droite possède une infinité de représentations paramétriques puisque ni le point ni le vecteur ne sont uniques.
Donnons la représentation paramétrique de la droite passant par le point et le vecteur directeur .
Représentation paramétrique d’un plan
Soit le plan passant par le point et dirigé par les vecteurs et
Un point M de coordonnées appartient à si, et seulement si, il existe deux réels et tels que :
Ce système d’équations définit une représentation paramétrique du plan .
Le couple est dit couple de paramètres du point .