Grandeurs simples et grandeurs composées : Fiche de cours - Mathématiques

Introduction :

L’objectif de ce cours est d’étudier les grandeurs, et plus particulièrement de différencier grandeurs simples et grandeurs composées.

Pour cela, nous allons d’abord rappeler la notion de grandeur, puis nous l’élargirons à la notion de grandeurs simples et de grandeurs composées.

Rappels

Définition

Grandeur :

Une grandeur est une caractéristique d’un objet qui se mesure ou se calcule, comme par exemple la masse, la masse volumique, la longueur, l’aire, le volume, l’angle, la durée, la vitesse, la température, l’intensité, la tension, la puissance, l’énergie, le débit, le prix, le prix au kilo…

La valeur d’une grandeur est exprimée par un nombre (la mesure) et une unité. La mesure dépend de l’unité choisie.

Un même objet peut être caractérisé par différentes grandeurs.

Exemple

Intéressons-nous au rectangle $ABCD$ ci-dessous :

$rectangle grandeurs mathématiques quatrième$

Deux grandeurs de ce rectangle nous sont données.

Astuce

Sur un dessin en grandeur réelle, nous aurions pu les mesurer directement.

Ces grandeurs sont :

la longueur du rectangle, qui est égale à $3\text{ cm}$ ;
La mesure est $3$ et l’unité est le $\text{cm}$ .

Elle aurait aussi pu nous être donnée en $\text{mm}$ par exemple, auquel cas la mesure aurait été $30$ .

la largeur du rectangle, qui est égale à $20\text{ mm}$ ;
La mesure est $20$ et l’unité est le $\text{mm}$ .

De la même manière, cette grandeur aurait pu nous être donnée dans une autre unité.

Définition

Nature d’une grandeur :

La nature d’une grandeur est le type d’information qu’elle caractérise.

Exemple

La longueur, la largueur, la hauteur, le diamètre, le rayon, le périmètre ou encore la distance sont des grandeurs de même nature puisqu’elles caractérisent toutes une longueur.

Propriété

On peut additionner des mesures de grandeurs de même nature exprimées dans la même unité.

Exemple

Reprenons notre rectangle $ABCD$ .

$rectangle grandeurs mathématiques quatrième$

Une autre grandeur de ce rectangle est son périmètre. Le périmètre d’un rectangle est la somme des longueurs de ses cotés. Ce sont des grandeurs de même nature dont nous connaissons les valeurs. Il faut donc simplement les exprimer dans la même unité.

Exprimons sa largeur en $\text{cm}$ soit $20 \text{ mm}=2\text{ cm}$ .

Ainsi le périmètre de $ABCD$ est égal à $3\text{ cm} + 2\text{ cm} + 3\text{ cm} + 2\text{ cm} = 10\text{ cm}$ .

Une autre grandeur encore de ce rectangle est son aire dont le calcul nécessite de multiplier deux longueurs entre elles, plus précisément la longueur et la largeur. En effet, l’aire, contrairement au périmètre, ne peut pas être mesurée directement sur une figure, il faut la calculer.

Ainsi, l’aire de $ABCD$ est égale à $3\text{ cm} \times 2\text{ cm} = 6\text{ cm} \times \text{cm} = 6\text{ cm}^2$ .

On remarque que l’unité de cette grandeur est une composition des unités des grandeurs qui ont permis de la calculer.

Nous entrevoyons ici qu’il existe deux types de grandeurs :

les grandeurs dites « simples » (par exemple $10\text{ cm}$ ),
et les grandeurs dites « composées » (par exemple $6\text{ cm}^2$ ).

Ce sont ces notions que nous allons étudier maintenant.

Les grandeurs simples

Définition

Grandeur simple :

Les grandeurs simples sont les grandeurs qui peuvent être obtenues à l’aide d’une mesure directe.

Parmi les grandeurs citées plus haut, voici les grandeurs simples, associées à leurs unités de mesures les plus courantes.

Grandeurs simples	Unités de mesures courantes
Masse	$\text{mg}$ , $\text{g}$ , $\text{kg}$ , $\text{t}$ …
Longueur (distance)	$\text{mm}$ , $\text{cm}$ , $\text{m}$ , $\text{km}$ …
Angle	$\degree$ , $\text{rad}$ (radian)
Temps (durée)	dixièmes de $\text{s}$ , $\text{s}$ , $\text{min}$ , $\text{h}$ , $\text{j}$ …
Température	$\degree \text{C}$ , $\text{K}$ (Kelvin), $\text{F}$ (Farenheit)…
Intensité	$\text{mA}$ , $\text{A}$ …
Tension	$\text{mV}$ , $\text{V}$ , $\text{MV}$ (mégavolt)…
Puissance	$\text{W}$ , $\text{kW}$ , $\text{MW}$ (mégawatt)…
Prix	€, $\text{\textdollar}$ , $\pounds$ …

Les grandeurs composées

Définition

Grandeur composée :

Les grandeurs composées ne s’obtiennent que par calcul, en composant (c’est-à-dire en multipliant ou en divisant) deux grandeurs entre elles.

Parmi les grandeurs citées plus haut, voici les grandeurs composées, associées à leurs unités de mesures les plus courantes.

Grandeurs composées	Unités de mesures courantes
Masse volumique	$\text{kg/m}^3$ (ou $\text{kg.m}^{-3}$ )
Aire	$\text{mm}^2$ , $\text{cm}^2$ , $\text{m}^2$ , $\text{km}^2$ …
Volume	$\text{mm}^3$ , $\text{cm}^3$ , $\text{m}^3$ , $\text{km}^3$ … $\text{L}$ , $\text{dL}$ , $\text{cL}$ …
Vitesse	$\text{km/h}$ (ou $\text{km.h}^{-1}$ ), $\text{m/s}$ (ou $\text{m.s}^{-1}$ )…
Énergie électrique	$\text{Wh}$ , $\text{kWh}$ …
Débit	$\text{mm}^3\text{/s}$ (ou $\text{mm}^3\text{.s}^{-1}$ ), $\text{m}^3\text{/h}$ (ou $\text{m}^3\text{.h}^{-1}$ )…
Prix au kilo	€ $\text{/kg}$ …

Conclusion :

Ce cours permet de faire un rappel sur les grandeurs et de différencier grandeurs simples et grandeurs composées.

La notion de grandeur composée est particulièrement importante : elle permettra non seulement de calculer des grandeurs composées mais également de retrouver des grandeurs « simples » à partir de ces grandeurs composées données.