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Marianne

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Homothéties

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Introduction :

L'objectif de ce cours est d'étudier les transformations par homothétie.
Après un bref rappel sur les transformations (symétries axiale et centrale, translation, rotation), nous introduirons les homothéties dont nous donnerons les définitions, les effets et les propriétés, illustrées à travers deux exemples. Nous terminerons ce cours par l'étude d'une configuration particulière.

Rappels sur les transformations par symétries, translation et rotation

Symétrie axiale

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Définition

Symétrie axiale :

Deux points MM et MM' sont symétriques par rapport à une droite (d)(d), appelée axe de symétrie, si :

  • [MM][MM'] est perpendiculaire à (d)(d) ;
  • et MM et MM' sont à égale distance de (d)(d).

Homothéties mathématiques troisième

Deux figures symétriques par symétrie axiale se superposent parfaitement par un pliage le long de l'axe de symétrie.

Symétrie centrale

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Définition

Symétrie centrale :

Deux points MM et MM' sont symétriques par rapport au point OO, appelé centre de symétrie, si OO est le milieu de [MM][MM'] (soit : MM, MM' et OO sont alignés et OM=MOOM'=MO).

Homothéties mathématiques troisième

Deux figures symétriques par symétrie centrale se superposent parfaitement par un demi-tour autour du centre de symétrie.

Translation

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Définition

Translation :

Le point MM' est l'image du point MM par la translation qui transforme AA en BB si ABMMABM'M est un parallélogramme.

Homothéties mathématiques troisième

Une translation fait glisser une figure dans une direction, un sens et une longueur donnés.

Rotation

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Définition

Rotation :

Le point MM' est l'image du point MM par la rotation de centre OO et d'angle α\alpha dans le sens contraire des aiguilles d'une montre si :

  • MOM^=α\widehat{MOM'}=\alpha
  • et OM=OMOM' = OM

Homothéties mathématiques troisième

Une rotation fait tourner une figure autour d'un point et selon un angle donnés.

Propriétés communes

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Propriété

  • La symétrie axiale, la symétrie centrale, la rotation et la translation conservent :
  • les longueurs ;
  • les angles (au sens près pour la symétrie axiale) ;
  • les aires.
  • Par une symétrie centrale ou une translation, l'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle.

Intéressons-nous maintenant à la transformation par homothétie.

Transformation par homothétie

Définitions

  • Homothétie de rapport positif
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Définition

Homothétie de rapport positif :

Le point MM' est l'image du point MM par l'homothétie de centre OO et de rapport kk positif si :

  • MM' appartient à [OM)[OM) (soit : M,MM, M' et OO alignés et MM et MM' du même côté par rapport à OO)
  • et OM=k×OMOM' = k \times OM

Homothéties mathématiques troisième

  • Homothétie de rapport négatif
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Définition

Homothétie de rapport négatif :

Le point MM' est l'image du point MM par l'homothétie de centre OO et de rapport kk négatif si :

  • MM' appartient à [MO)[MO) (soit : M,MM, M' et OO alignés et MM et MM' de part et d'autre de OO)
  • et OM= k×OMOM' = -\ k \times OM

Homothéties mathématiques troisième

Effets d'une homothétie

Pour k>1k>1 ou k<1k<-1, l'image d'une figure par une homothétie est un agrandissement à partir d'un point donné.
Pour 1<k<1-1, c'est une réduction à partir d'un point donné.
À noter que pour k<0k<0, l'image sera dans le « sens contraire » de celui de la figure de départ.

Cas particuliers :

  • Si k=1k = 1, il n'y a pas de transformation ; l'image d'une figure est la figure elle-même.
  • Si k=1k = -1, l'homothétie revient à une symétrie centrale.

Tableau récapitulatif :

Valeur de kk Effet de l'homothétie
k<1k< -1 « Sens contraire » et agrandissement
k=1k=-1 Symétrie centrale
1<k<0-1 < k < 0 « Sens contraire » et réduction
k=0k=0 L'image est réduite au point OO
0<k<10 < k < 1 Réduction
k=1k=1 Pas de transformation
1<k1 < k Agrandissement
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Exemple

Homothéties mathématiques troisième

  • Les points OO, AA et AA' sont alignés, comme OO, BB et BB', ainsi que OO, CC et CC' et OO, DD et DD'.
  • Les points AA', BB', CC' et DD' sont du même côté par rapport à OO que les points AA, BB, CC et DD (même sens, rapport positif).
  • De plus OA=14×OAOA' =\dfrac14 \times OA, OB=14×OBOB' =\dfrac14 \times OB, OC=14×OCOC' = \dfrac14 \times OC et OD=14×ODOD' =\dfrac14\times OD (réduction).
  • Le rectangle ABCDA'B'C'D' est l'image du rectangle ABCDABCD par l'homothétie de centre OO et de rapport 14\dfrac14.
  • ABCDA'B'C'D' est une réduction de ABCDABCD de rapport 14\dfrac14, dans le même sens que ABCDABCD.
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Exemple

Homothéties mathématiques troisième

  • Les points OO, AA et AA' sont alignés, ainsi que les points OO, BB et BB' et les points OO, CC et CC'.
  • Les points AA', BB' et CC' et les points AA, BB et CC sont de part et d'autre du point OO (sens contraire, rapport négatif).
  • De plus OA=2×OAOA' = 2 \times OA, OB=2×OBOB' = 2 \times OB et OC=2×OCOC' = 2 \times OC (agrandissement).
  • Le triangle ABCA'B'C' est l'image du triangle ABCABC par l'homothétie de centre OO et de rapport 2-2
  • ABCA'B'C' est un agrandissement de ABCABC de rapport 22, dans le sens contraire de celui de ABCABC

Construction d'une image

Méthodologie :

Pour construire l'image FF' d'une figure FF par une homothétie de centre OO et de rapport kk :

  • On construit l'image d'un point MM de la figure en respectant bien le signe du rapport kk :
  • Si kk est positif (image dans le même sens), on reporte sur la demi-droite [OM)[OM) la distance du centre OO au point MM, à partir du centre OO, autant de fois que la valeur kk. On obtient le point image MM'.
  • Si kk est négatif (image dans le sens contraire), on reporte sur la demi-droite [MO)[MO) la distance du point MM au centre OO, à partir du centre OO, autant de fois que la valeur k-k. On obtient le point image MM'.
  • On répète cette étape pour tous les points de FF.
  • On relie les points images et on obtient FF' image de FF par l'homothétie de centre OO et de rapport kk.
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Exemple

Homothéties mathématiques troisième

Dans cet exemple, le rapport est positif, les points images A,B,CA', B', C' et DD' appartiennent aux demi-droites passant respectivement par les points A,B,CA, B, C et DD et dont OO est l'origine.

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Exemple

Homothéties mathématiques troisième

Dans cet exemple, le rapport est négatif, les points images A,BA', B' et CC' appartiennent aux demi-droites passant par OO et dont les points A,BA, B et CC sont respectivement l'origine.

Propriétés d'une homothétie

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Propriété

Par une homothétie de rapport kk :

  • les angles sont conservés ;
  • les longueurs sont multipliées par kk (ou k-k si kk négatif) ;
  • les aires sont multipliées par k2k^2 ;
  • l'image d'une droite (d'un segment) est une droite (un segment) qui lui est parallèle.
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Exemple

Le rectangle ABCDA'B'C'D' est l'image du rectangle ABCDABCD par l'homothétie de centre OO et de rapport 14\dfrac14
ABCDA'B'C'D' est donc une réduction de ABCDABCD de rapport 14\dfrac14

  • Les longueurs sont multipliées par 14\dfrac14 ; on a par exemple :
    AD=14×AD=14×4=1 cmA'D' = \dfrac14 \times AD = \dfrac14 \times 4 = 1\ \text{cm}
  • L'aire du rectangle est multipliée par (14)2\left( \dfrac14 \right)^2
    On a AABCD=(14)2×AABCD=116×8=12 cm2A{A'B'C'D'}=\left( \dfrac14 \right)^2\times A{ABCD}= \dfrac{1}{16} \times 8=\dfrac12\ \text{cm}^2
  • Les angles sont conservés ; tous les angles restent des angles droits.
  • Chaque segment a pour image un segment qui lui est parallèle ; par exemple [AB]//[AB][A'B']//[AB].
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Exemple

Homothéties mathématiques troisième

Le triangle ABCA'B'C' est l'image du triangle ABCABC par l'homothétie de centre OO et de rapport 2-2.
ABCA'B'C' est donc un agrandissement de ABCABC de rapport 22, dans le sens contraire de celui de ABCABC.

  • Les longueurs sont multipliées par (2)-(-2) ; on a par exemple BC=2×BCB'C' = 2 \times BC avec BC=3,16 cmBC = 3,16\ \text{cm} et BC=6,32 cmB'C' = 6,32\ \text{cm}
  • L'aire du triangle est multipliée par (2)2(-2)^2 ; on a AABC=4×AABCA{A'B'C'}=4 \times A{ABC} avec AABC=3,5 cm2A{ABC}=3,5\ \text{cm}^2 et AABC=14 cm2A{ABC}=14\ \text{cm}^2
  • Les angles sont conservés ; on a par exemple ABC^=ABC^\widehat{A'B'C'}=\widehat{ABC}.
  • Chaque segment a pour image un segment qui lui est parallèle ; entre autres [AC]//[AC][A'C']//[AC].

Cas particulier où le centre de l'homothétie est le sommet d'un triangle

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Exemple

Homothéties mathématiques troisième

Sur la figure ci-contre, on passe du triangle ABCABC au triangle ADEADE par une homothétie.

  • Déterminer le centre et le rapport de cette homothétie.
  • Les points A,CA, C et EE sont alignés ainsi que les points A,BA, B et DD. Dans cette homothétie par laquelle ABCABC devient ADEADE, AA a pour image lui-même, BB a pour image DD et CC a pour image EE. C'est donc l'homothétie de centre AA et de rapport kk tel que AD=k×ABAD = k \times AB d'où k=ADAB=7,53=2,5k = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{7,5}{3} = 2,5
  • Que peut-on dire des droites (BC)(BC) et (DE)(DE) ?
  • Dans une homothétie, l'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle, or l'image de (BC)(BC) est (DE)(DE) d'où (BC)//(DE)(BC) // (DE)
  • Calculer les longueurs AEAE et DEDE
  • Par définition : AE=k×ACAE = k \times AC d'où AE=2,5×5=12,5 cmAE = 2,5 \times 5 = 12,5\ \text{cm}. Dans une homothétie, les longueurs sont multipliées par le rapport kk d'où : DE=k×BC=2,5×3,16=7,9 cmDE = k \times BC = 2,5 \times 3,16 = 7,9\ \text{cm}

Remarque :
Dans cette configuration nous avons :
ADAB=AEAC=DEBC=k\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}=k et (BC)//(DE)(BC)//(DE)

Nous étudierons plus précisément cette configuration particulière dans l’étude du théorème de Thalès et de sa réciproque.

Conclusion :

Il est important de comprendre les effets d'une homothétie sur une figure et de savoir les relier aux agrandissements-réductions. Il est également nécessaire d'en retenir les propriétés, notamment celles concernant les longueurs et le parallélisme entre les droites et leurs droites images.