Cours : Homothéties

Homothéties

Introduction :

L'objectif de ce cours est d'étudier les transformations par homothétie.
Après un bref rappel sur les transformations (symétries axiale et centrale, translation, rotation), nous introduirons les homothéties dont nous donnerons les définitions, les effets et les propriétés, illustrées à travers deux exemples. Nous terminerons ce cours par l'étude d'une configuration particulière.

Rappels sur les transformations par symétries, translation et rotation

Symétrie axiale

Définition

Symétrie axiale :

Deux points $M$ et $M'$ sont symétriques par rapport à une droite $(d)$, appelée axe de symétrie, si :

$[MM']$ est perpendiculaire à $(d)$ ;
et $M$ et $M'$ sont à égale distance de $(d)$.

$Homothéties mathématiques troisième$

Deux figures symétriques par symétrie axiale se superposent parfaitement par un pliage le long de l'axe de symétrie.

Symétrie centrale

Définition

Symétrie centrale :

Deux points $M$ et $M'$ sont symétriques par rapport au point $O$, appelé centre de symétrie, si $O$ est le milieu de $[MM']$ (soit : $M$, $M'$ et $O$ sont alignés et $OM'=MO$).

$Homothéties mathématiques troisième$

Deux figures symétriques par symétrie centrale se superposent parfaitement par un demi-tour autour du centre de symétrie.

Translation

Définition

Translation :

Le point $M'$ est l'image du point $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ si $ABM'M$ est un parallélogramme.

$Homothéties mathématiques troisième$

Une translation fait glisser une figure dans une direction, un sens et une longueur données.

Rotation

Définition

Rotation :

Le point $M'$ est l'image du point $M$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$ dans le sens contraire des aiguilles d'une montre si :

$\widehat{MOM'}=\alpha $
et $OM' = OM$

$Homothéties mathématiques troisième$

Une rotation fait tourner une figure autour d'un point et selon un angle donnés.

Propriétés communes

Propriété

La symétrie axiale, la symétrie centrale, la rotation et la translation conservent :
les longueurs ;
les angles (au sens près pour la symétrie axiale) ;
les aires.
Par une symétrie centrale ou une translation, l'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle.

Intéressons-nous maintenant à la transformation par homothétie.

Transformation par homothétie

Définitions

Homothétie de rapport positif

Définition

Homothétie de rapport positif :

Le point $M'$ est l'image du point $M$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ positif si :

$M'$ appartient à $[OM)$ (soit : $M, M'$ et $O$ alignés et $M$ et $M'$ du même côté par rapport à $O$)
et $OM' = k \times OM$

$Homothéties mathématiques troisième$

Homothétie de rapport négatif

Définition

Homothétie de rapport négatif :

Le point $M'$ est l'image du point $M$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ négatif si :

$M'$ appartient à $[MO)$ (soit : $M, M'$ et $O$ alignés et $M$ et $M'$ de part et d'autre de $O$)
et $OM' = -\ k \times OM$

$Homothéties mathématiques troisième$

Effets d'une homothétie

Pour $k>1$ ou $k<-1$, l'image d'une figure par une homothétie est un agrandissement à partir d'un point donné.
Pour $-1<k<1$, c'est une réduction à partir d'un point donné.
À noter que pour $k<0$, l'image sera dans le « sens contraire » de celui de la figure de départ.

Cas particuliers :

Si $k = 1$, il n'y a pas de transformation ; l'image d'une figure est la figure elle-même.
Si $k = -1$, l'homothétie revient à une symétrie centrale.

Tableau récapitulatif :

Valeur de $k$	Effet de l'homothétie
$k< -1$	« Sens contraire » et agrandissement
$k=-1$	Symétrie centrale
$-1 < k < 0$	« Sens contraire » et réduction
$k=0$	L'image est réduite au point $O$
$0 < k < 1$	Réduction
$k=1$	Pas de transformation
$1 < k$	Agrandissement

Exemple

$Homothéties mathématiques troisième$

Les points $O$, $A$ et $A'$ sont alignés, comme $O$, $B$ et $B'$, ainsi que $O$, $C$ et $C'$ et $O$, $D$ et $D'$.
Les points $A'$, $B'$, $C'$ et $D'$ sont du même côté par rapport à $O$ que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ (même sens, rapport positif).
De plus $OA' =\dfrac14 \times OA$, $OB' =\dfrac14 \times OB$, $OC' = \dfrac14 \times OC$ et $OD' =\dfrac14\times OD$ (réduction).
Le rectangle $A'B'C'D'$ est l'image du rectangle $ABCD$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\dfrac14$.
$A'B'C'D'$ est une réduction de $ABCD$ de rapport $\dfrac14$, dans le même sens que $ABCD$.

Exemple

$Homothéties mathématiques troisième$

Les points $O$, $A$ et $A'$ sont alignés, ainsi que les points $O$, $B$ et $B'$ et les points $O$, $C$ et $C'$.
Les points $A'$, $B'$ et $C'$ et les points $A$, $B$ et $C$ sont de part et d'autre du point $O$ (sens contraire, rapport négatif).
De plus $OA' = 2 \times OA$, $OB' = 2 \times OB$ et $OC' = 2 \times OC$ (agrandissement).
Le triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle $ABC$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-2$
$A'B'C'$ est un agrandissement de $ABC$ de rapport $2$, dans le sens contraire de celui de $ABC$

Construction d'une image

Méthodologie :

Pour construire l'image $F'$ d'une figure $F$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ :

On construit l'image d'un point $M$ de la figure en respectant bien le signe du rapport $k$ :
Si $k$ est positif (image dans le même sens), on reporte sur la demi-droite $[OM)$ la distance du centre $O$ au point $M$, à partir du centre $O$, autant de fois que la valeur $k$. On obtient le point image $M'$.
Si $k$ est négatif (image dans le sens contraire), on reporte sur la demi-droite $[MO)$ la distance du point $M$ au centre $O$, à partir du centre $O$, autant de fois que la valeur $-k$. On obtient le point image $M'$.
On répète cette étape pour tous les points de $F$.
On relie les points images et on obtient $F'$ image de $F$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$.

Exemple

$Homothéties mathématiques troisième$

Dans cet exemple, le rapport est positif, les points images $A', B', C'$ et $D'$ appartiennent aux demi-droites passant respectivement par les points $A, B, C$ et $D$ et dont $O$ est l'origine.

Exemple

$Homothéties mathématiques troisième$

Dans cet exemple, le rapport est négatif, les points images $A', B'$ et $C'$ appartiennent aux demi-droites passant par $O$ et dont les points $A, B$ et $C$ sont respectivement l'origine.

Propriétés d'une homothétie

Propriété

Par une homothétie de rapport $k$ :

les angles sont conservés ;
les longueurs sont multipliées par $k$ (ou $-k$ si $k$ négatif) ;
les aires sont multipliées par $k^2$ ;
l'image d'une droite (d'un segment) est une droite (un segment) qui lui est parallèle.

Exemple

Le rectangle $A'B'C'D'$ est l'image du rectangle $ABCD$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\dfrac14$
$A'B'C'D'$ est donc une réduction de $ABCD$ de rapport $\dfrac14$

Les longueurs sont multipliées par $\dfrac14$ ; on a par exemple :
$A'D' = \dfrac14 \times AD = \dfrac14 \times 4 = 1\ \text{cm}$
L'aire du rectangle est multipliée par $\left( \dfrac14 \right)^2$
On a $A_{A'B'C'D'}=\left( \dfrac14 \right)^2\times A_{ABCD}= \dfrac{1}{16} \times 8=\dfrac12\ \text{cm}^2$
Les angles sont conservés ; tous les angles restent des angles droits.
Chaque segment a pour image un segment qui lui est parallèle ; par exemple $[A'B']//[AB]$.

Exemple

$Homothéties mathématiques troisième$

Le triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle $ABC$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-2$.
$A'B'C'$ est donc un agrandissement de $ABC$ de rapport $2$, dans le sens contraire de celui de $ABC$.

Les longueurs sont multipliées par $-(-2)$ ; on a par exemple $B'C' = 2 \times BC$ avec $BC = 3,16\ \text{cm}$ et $B'C' = 6,32\ \text{cm}$
L'aire du triangle est multipliée par $(-2)^2$ ; on a $A_{A'B'C'}=4 \times A_{ABC}$ avec $A_{ABC}=3,5\ \text{cm}^2$ et $A_{ABC}=14\ \text{cm}^2$
Les angles sont conservés ; on a par exemple $\widehat{A'B'C'}=\widehat{ABC}$.
Chaque segment a pour image un segment qui lui est parallèle ; entre autres $[A'C']//[AC]$.

Cas particulier où le centre de l'homothétie est le sommet d'un triangle

Exemple

$Homothéties mathématiques troisième$

Sur la figure ci-contre, on passe du triangle $ABC$ au triangle $ADE$ par une homothétie.

Déterminer le centre et le rapport de cette homothétie.
Les points $A, C$ et $E$ sont alignés ainsi que les points $A, B$ et $D$. Dans cette homothétie par laquelle $ABC$ devient $ADE$, $A$ a pour image lui-même, $B$ a pour image $D$ et $C$ a pour image $E$. C'est donc l'homothétie de centre $A$ et de rapport $k$ tel que $AD = k \times AB$ d'où $k = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{7,5}{3} = 2,5$
Que peut-on dire des droites $(BC)$ et $(DE)$ ?
Dans une homothétie, l'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle, or l'image de $(BC)$ est $(DE)$ d'où $(BC) // (DE)$
Calculer les longueurs $AE$ et $DE$
Par définition : $AE = k \times AC$ d'où $AE = 2,5 \times 5 = 12,5\ \text{cm}$. Dans une homothétie, les longueurs sont multipliées par le rapport $k$ d'où : $DE = k \times BC = 2,5 \times 3,16 = 7,9\ \text{cm}$

Remarque :
Dans cette configuration nous avons :
$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}=k$ et $(BC)//(DE)$

Nous étudierons plus précisément cette configuration particulière dans l’étude du théorème de Thalès et de sa réciproque.

Conclusion :

Il est important de comprendre les effets d'une homothétie sur une figure et de savoir les relier aux agrandissements-réductions. Il est également nécessaire d'en retenir les propriétés, notamment celles concernant les longueurs et le parallélisme entre les droites et leurs droites images.