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Homothéties
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Introduction :
L'objectif de ce cours est d'étudier les transformations par homothétie.
Après un bref rappel sur les transformations (symétries axiale et centrale, translation, rotation), nous introduirons les homothéties dont nous donnerons les définitions, les effets et les propriétés, illustrées à travers deux exemples. Nous terminerons ce cours par l'étude d'une configuration particulière.
Rappels sur les transformations par symétries, translation et rotation
Symétrie axiale
Symétrie axiale :
Deux points et sont symétriques par rapport à une droite , appelée axe de symétrie, si :
Deux figures symétriques par symétrie axiale se superposent parfaitement par un pliage le long de l'axe de symétrie.
Symétrie centrale
Symétrie centrale :
Deux points et sont symétriques par rapport au point , appelé centre de symétrie, si est le milieu de (soit : , et sont alignés et ).
Deux figures symétriques par symétrie centrale se superposent parfaitement par un demi-tour autour du centre de symétrie.
Translation
Translation :
Le point est l'image du point par la translation qui transforme en si est un parallélogramme.
Une translation fait glisser une figure dans une direction, un sens et une longueur données.
Rotation
Rotation :
Le point est l'image du point par la rotation de centre et d'angle dans le sens contraire des aiguilles d'une montre si :
Une rotation fait tourner une figure autour d'un point et selon un angle donnés.
Propriétés communes
Intéressons-nous maintenant à la transformation par homothétie.
Transformation par homothétie
Définitions
Homothétie de rapport positif :
Le point est l'image du point par l'homothétie de centre et de rapport positif si :
Homothétie de rapport négatif :
Le point est l'image du point par l'homothétie de centre et de rapport négatif si :
Effets d'une homothétie
Pour ou , l'image d'une figure par une homothétie est un agrandissement à partir d'un point donné.
Pour , c'est une réduction à partir d'un point donné.
À noter que pour , l'image sera dans le « sens contraire » de celui de la figure de départ.
Cas particuliers :
Tableau récapitulatif :
Valeur de | Effet de l'homothétie |
« Sens contraire » et agrandissement | |
Symétrie centrale | |
« Sens contraire » et réduction | |
L'image est réduite au point | |
Réduction | |
Pas de transformation | |
Agrandissement |
Construction d'une image
Méthodologie :
Pour construire l'image d'une figure par une homothétie de centre et de rapport :
Dans cet exemple, le rapport est positif, les points images et appartiennent aux demi-droites passant respectivement par les points et et dont est l'origine.
Dans cet exemple, le rapport est négatif, les points images et appartiennent aux demi-droites passant par et dont les points et sont respectivement l'origine.
Propriétés d'une homothétie
Par une homothétie de rapport :
Le rectangle est l'image du rectangle par l'homothétie de centre et de rapport
est donc une réduction de de rapport
Le triangle est l'image du triangle par l'homothétie de centre et de rapport .
est donc un agrandissement de de rapport , dans le sens contraire de celui de .
Cas particulier où le centre de l'homothétie est le sommet d'un triangle
Sur la figure ci-contre, on passe du triangle au triangle par une homothétie.
Remarque :
Dans cette configuration nous avons :
et
Nous étudierons plus précisément cette configuration particulière dans l’étude du théorème de Thalès et de sa réciproque.
Conclusion :
Il est important de comprendre les effets d'une homothétie sur une figure et de savoir les relier aux agrandissements-réductions. Il est également nécessaire d'en retenir les propriétés, notamment celles concernant les longueurs et le parallélisme entre les droites et leurs droites images.