L'homothétie

Rappels

La symétrie axiale, la symétrie centrale, la rotation et la translation conservent :

• les longueurs ;
• les angles (au sens près pour la symétrie axiale) ;
• les aires.

Par une symétrie centrale ou une translation, l'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle.

Transformation par homothétie

Homothétie de rapport positif :

Le point $M'$ est l'image du point $M$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ positif si :

• $M'$ appartient à $[OM)$ (soit : $M, M'$ et $O$ alignés et $M$ et $M'$ du même côté par rapport à $O$)
• et $OM' = k \times OM$

Homothétie de rapport négatif :

Le point $M'$ est l'image du point $M$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ négatif si :

• $M'$ appartient à $[MO)$ (soit : $M, M'$ et $O$ alignés et $M$ et $M'$ de part et d'autre de $O$)
• et $OM' = -\ k \times OM$

Pour construire l'image $F'$ d'une figure $F$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ :

• On construit l'image d'un point $M$ de la figure en respectant bien le signe du rapport $k$ :
• si $k$ est positif (image dans le même sens), on reporte sur la demi-droite $[OM)$ la distance du centre $O$ au point $M$, à partir du centre $O$, autant de fois que la valeur $k$. On obtient le point image $M'$ ;
• si $k$ est négatif (image dans le sens contraire), on reporte sur la demi-droite $[MO)$ la distance du point $M$ au centre $O$, à partir du centre $O$, autant de fois que la valeur $-k$. On obtient le point image $M'$.
• On répète cette étape pour tous les points de $F$.
• On relie les points images et on obtient $F'$ image de $F$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$.
• Par une homothétie de rapport $k$ :
• les angles sont conservés ;
• les longueurs sont multipliées par $k$ (ou $-k$ si $k$ négatif) ;
• les aires sont multipliées par $k^2$ ;
• l'image d'une droite (d'un segment) est une droite (un segment) qui lui est parallèle.