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Marianne

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Homothéties

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Rappels

Transformation par homothétie

  • Homothétie de rapport positif
  • Le point MM' est l'image du point MM par l'homothétie de centre OO et de rapport kk positif si :
  • MM' appartient à [OM)[OM) (soit : M,MM, M' et OO alignés et MM et MM' du même côté par rapport à OO)
  • et OM=k×OMOM' = k \times OM

Homothéties mathématiques troisième

  • Homothétie de rapport négatif
  • Le point MM' est l'image du point MM par l'homothétie de centre OO et de rapport kk négatif si :
  • MM' appartient à [MO)[MO) (soit : M,MM, M' et OO alignés et MM et MM' de part et d'autre de OO)
  • et OM= k×OMOM' = -\ k \times OM

Homothéties mathématiques troisième

Valeur de kk Effet de l'homothétie
k<1k< -1 « Sens contraire » et agrandissement
k=1k=-1 Symétrie centrale
1<k<0-1 < k < 0 « Sens contraire » et réduction
k=0k=0 L'image est réduite au point OO
0<k<10 < k < 1 Réduction
k=1k=1 Pas de transformation
1<k1 < k Agrandissement

Pour construire l'image FF' d'une figure FF par une homothétie de centre OO et de rapport kk :

  • on construit l'image d'un point MM de la figure en respectant bien le signe du rapport kk :
  • si kk est positif (image dans le même sens), on reporte sur la demi-droite [OM)[OM) la distance du centre OO au point MM, à partir du centre OO, autant de fois que la valeur kk. On obtient le point image MM' ;
  • si kk est négatif (image dans le sens contraire), on reporte sur la demi-droite [MO)[MO) la distance du point MM au centre OO, à partir du centre OO, autant de fois que la valeur k-k. On obtient le point image MM' ;
  • on répète cette étape pour tous les points de FF ;
  • on relie les points images et on obtient FF' image de FF par l'homothétie de centre OO et de rapport kk.
  • Par une homothétie de rapport kk :
  • les angles sont conservés ;
  • les longueurs sont multipliées par kk (ou k-k si kk négatif) ;
  • les aires sont multipliées par k2k^2 ;
  • l'image d'une droite (d'un segment) est une droite (un segment) qui lui est parallèle.