Calcul littéral et équation

La distributivité

Distributivité simple

La multiplication est distributive par rapport à l’addition (et à la soustraction) : nous distribuons un facteur aux termes d’une somme (ou d’une différence).

Propriété

Distributivité simple :

Quels que soient les nombres relatifs $k$, $a$ et $b$, on a :

$$\begin{aligned} \red k(\purple a+ \orange b)=\red k \purple a+ \red k \orange b \\ \red k(\purple a- \orange b)=\red k \purple a- \red k \orange b \end{aligned}$$

À retenir

Cette propriété permet :

• de développer une expression, c’est-à-dire de transformer un produit en somme ;
• de factoriser une expression, c’est-à-dire de transformer une somme en produit.

Développer et factoriser

Regardons un cas particulier : l’opposé de l’expression littérale $a+b$, où $a$ et $b$ sont des nombres relatifs.

L’opposé de $a+b$ s’écrit $-(a+b)$.
Or, l’opposé d’un nombre est égal au produit du nombre par $-1$.
$-(a+b)$ revient donc à écrire : $(-1)\times (a+b)$.
Développons cette dernière expression :

$$\begin{aligned} (\red{-1})\times (\purple a+\orange b)&= (\red{-1})\times \purple a+(\red{-1})\times \orange b \\ &=-a-b \end{aligned}$$

Propriété

Soit $a+b$ une expression littérale, avec $a$ et $b$ des nombres relatifs.
Son opposé vaut :

$$-(a+b)=-a-b$$

Astuce

Pour prendre l’opposé d’une expression, on la réécrit en changeant tous les signes.
Si le premier terme est positif et que le signe $+$ est omis, on n’oublie pas de mettre un $-$.

Exemple

Illustrons cette propriété par quatre exemples, où $x$ et $y$ sont des nombres relatifs :

• $\begin{aligned} 3 -(x+2)&=3-x-2 \\ &= 1-x \end{aligned}$
• $\begin{aligned} 3-(x-2)&=3-x+2 \\ &=5-x \end{aligned}$
• $\begin{aligned} 7x-y+2-(-x+7-y)&=\green{7x}\blue{-y}\purple {+2}\green{+x}\purple{-7}\blue{+y} \\ &=\green{8x}\blue{+0}\purple{-5} \\ &=8x-5 \end{aligned}$
• $\begin{aligned} 4(x-7)-x+7&=4\pink{(x-7)}-\pink{(x-7)} \\ &=3\pink{(x-7)} \end{aligned}$

Double distributivité

Nous savons distribuer un facteur simple sur les termes d’une somme. Mais comment faire quand ce facteur est lui-même une somme ?
Nous utilisons pour cela la double distributivité.

Propriété

Quels que soient les nombres relatifs $a$, $b$, $c$ et $d$, on a :

$$(\green a+\blue b)(c+d)=\green ac+\green ad+\blue bc+\blue bd$$

Cette propriété est appelée double distributivité, car cela revient à :

• distribuer une première fois : $a$ sur $c$ et $d$ ;
• puis à distribuer une deuxième fois : $b$ sur $c$ et $d$.
• On distribue $\pink 2$ facteurs sur $\orange 2$ termes : on obtient une somme de $\pink 2\times \orange 2=4$ termes.

Démonstration

Nous pouvons prouver cette propriété en considérant quatre nombres relatifs $a$, $b$, $c$ et $d$, et le produit :

$$(a+b)(c+d)$$

Nous allons nous servir pour cela de la propriété de distributivité simple.

$$\begin{aligned} \red{(a+b)}(\purple c+\orange d)&=\red{(a+b)}\purple c + \red{(a+b)}\orange d \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en distribuant $\red{(a+b)}$ sur $\purple c$ et $\orange d$]}}} \\ &=\red c(\purple a+\orange b)+\red d(\purple a+\orange b) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car, dans un produit, on peut changer l’ordre des facteurs]}}} \\ &=\red c\purple a+\red c\orange b+\red d\purple a+\red d\orange b \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en distribuant $\red c$ puis $\red d$ sur $\purple a$ et $\orange b$]}}} \\ &=ac+bc+ad+bd \\ &=ac+ad+bc+bd \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car, dans une somme, on peut changer l’ordre des termes]}}} \end{aligned}$$

Nous retrouvons bien l’égalité de la double distributivité :

$$(a+b)(c+d)= ac+ad+bc+bd$$

Exemple

• Développons l’expression : $A=(7x+9)(2x+3)$.

$$\begin{aligned} A&=(\green{7x}+\blue9)(2x+3) \\ &=\green{7x}\times 2x+\green{7x}\times 3+\blue 9\times 2x+\blue 9\times 3 \\ &=7\times 2\times x\times x+7\times 3\times x+18x +27 \\ &=14x^2+21x+18x+27 \\ &=14x^2+39x+27 \end{aligned}$$

• Développons l’expression : $B=(x+6)(x-3)$.

$$\begin{aligned} B&=(\green x + \blue 6)\big(x+(-3)\big) \\ &=\green x \times x+\green x \times (-3)+\blue 6\times x+\blue 6\times (-3) \\ &=x^2+(-3x)+6x+(-18) \\ &=x^2+3x-18 \end{aligned}$$

Étudions maintenant un cas particulier : le produit de la somme de deux nombres par leur différence.
Soit $a$ et $b$ deux nombres relatifs. Développons le produit :

$$\begin{aligned} (\green a+\blue b)(a-b)&=\green a\times a-\green a\times b+\blue b \times a-\blue b\times b \\ &=a^2-ab+ba-b^2 \\ &=a^2\pink{-ab+ab}-b^2 \\ &=a^2\pink{+0}-b^2 \\ \end{aligned}$$

Nous obtenons finalement :

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

• Cette égalité est remarquable, on l’appelle donc : identité remarquable.

Propriété

Quels que soient les nombres relatifs $a$ et $b$, on a :

$$(\red a+\purple b)(\red a-\purple b)=\red a^2-\purple b^2$$

Remarque :
On a aussi : $(\red a-\purple b)(\red a+\purple b)=\red a^2-\purple b^2$.

À retenir

Cette identité permet :

• de développer très rapidement un produit de la forme $(a+b)(a-b)$ ou $(a-b)(a+b)$ ;
• de factoriser très rapidement une différence de la forme $a^2-b^2$.

Commençons par traiter deux exemples de développement.

Exemple

$x$ et $y$ désignent des nombres relatifs.

• Développer l’expression : $A=(x+7)(x-7)$.

$$\begin{aligned} A&=(\red x+\purple 7)(\red x - \purple 7) \\ &=\red x^2-\purple 7^2 \\ &=x^2-49 \end{aligned}$$

• Développer l’expression : $B=(9y-12)(9y+12)$.

$$\begin{aligned} B&=(\red{9y}-\purple{12})(\red{9y}+\purple{12}) \\ &=(\red{9y})^2-\purple{12}^2 \\ &=81y^2-144 \end{aligned}$$

Attention

Dans le développement de $B$, il faut bien veiller à faire la différence entre $9y^2$ et $(9y)^2$ :

• dans la première, seul $y$ est élevé au carré :

$$9\red y^2=9\times \red y \times \red y$$

• dans la seconde, c’est $9y$ qui est élevé au carré, soit :

$$\begin{aligned} (\red {9y})^2&=\red{9y}\times \red{9y} \\ &=9\times 9\times y\times y \\ &= 81y^2\neq 9y^2 \end{aligned}$$

Et montrons maintenant comment factoriser une expression, toujours grâce à cette identité remarquable.

Astuce

Quand on vous demande de factoriser une différence entre deux termes, la plupart du temps, il faudra utiliser l’identité remarquable :

$$\red a^2-\purple b^2=(\red a+\purple b)(\red a-\purple b)$$

Il est donc important de savoir reconnaître les carrés parfaits et de bien connaître la définition de la racine carrée d’un nombre positif, que vous pouvez retrouver dans le cours de 4^e sur les racines carrées d’un nombre positif. Vous pourrez ainsi :

• d’abord identifier rapidement s’il y a des carrés parfaits dans l’expression ;
• si ce n’est pas le cas, faire appel à la racine carrée.

Exemple

$x$, $y$ et $z$ désignent des nombres relatifs.

• Factoriser l’expression : $C=x^2-16$

$$\begin{aligned} C&=x^2-16 \\ &=\red x^2-\purple 4^2 \\ &=(\red x+\purple 4)(\red x-\purple 4) \end{aligned}$$

• Factoriser l’expression : $D=10-y^2$.

Par définition de la racine carrée d’un nombre positif, nous avons : $\sqrt{10}^2=10$.
Nous pouvons donc écrire :

$$\begin{aligned} D&=10-y^2 \\ &=\red {\sqrt{10}}^2-\purple y^2 \\ &=(\red {\sqrt{10}}+\purple y) (\red {\sqrt{10}}-\purple y) \end{aligned}$$

• Factoriser l’expression : $E=121z^2-(z+3)^2$.

$$\begin{aligned} E&=121z^2-(z+3)^2 \\ &=(\red{11z})^2-(\purple{z+3})^2 \\ &=\big(\red{11z}+(\purple{z+3})\big)\big(\red{11z}-(\purple {z+3})\big) \\ &=(11z+z+3)(11z\orange{-z-3}) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $-(z+3)=-z-3$]}}} \\ &=(12z+3)(10z-3) \end{aligned}$$

Astuce

Cette identité remarquable peut permettre d’effectuer mentalement des calculs. Par exemple :

$$\begin{aligned} 97\times 103&=(100-3)(100+3) \\ &=100^2-3^2 \\ &=10\,000-9 \\ &=9\,991 \end{aligned}$$

Terminons cette partie en précisant qu’il existe deux autres identités remarquables que vous rencontrerez souvent.
Quels que soient les nombres relatifs $a$ et $b$, on a :

• $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ;
• $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
• Vous apprendrez en seconde à les reconnaître et à vous en servir, autant pour développer que pour factoriser.

Résoudre des équations

Factoriser une expression littérale peut servir à résoudre une équation, comme nous allons le voir dans cette partie.

Définitions et propriétés (rappels)

Définition

Équation, solution :

Une équation est une égalité dans laquelle figure au moins un nombre inconnu, alors désigné par une lettre.
Une solution d’une équation est une valeur de l’inconnue qui rend l’égalité de l’équation vraie.

• Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses solutions.

Pour résoudre une équation, on a besoin des propriétés suivantes.

Propriété

Une égalité reste vraie si :

• on ajoute ou soustrait un même nombre à ses deux membres ;
• on multiplie ou divise ses deux membres par un même nombre non nul.

À retenir

Ainsi, pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, on se servira de ces deux propriétés pour isoler l’inconnue, en transformant successivement l’égalité de l’équation initiale.

Exemple

Résoudre l’équation :

$$3(2-4,5x)=-(1,5x+14)$$

Nous commençons par développer les deux membres ; nous pourrons ainsi rassembler d’un côté les termes avec $x$ et, de l’autre, les nombres connus :

$$\begin{aligned} 3\times 2-3\times 4,5x&=-1,5x-14 \\ \green 6-13,5x&=\red{-1,5x}-14 \\ -13,5x\red{+1,5x}&=-14\green{-6} \\ \pink{-12}x&=-20 \\ x&=\pink{\dfrac{\textcolor{#585858}{-20}}{-12}} \\ x&=\dfrac{-4\times 5}{-4\times 3} \\ x&=\dfrac {5}{3} \end{aligned}$$

• L’équation admet comme unique solution $\frac 53$.

Équations produits

Nous allons ici apprendre à résoudre des équations plus complexes, mais pour lesquelles on peut se ramener à la résolution d’équations du premier degré, grâce à la propriété suivante.

Propriété

On considère le produit de deux facteurs.

• Si au moins l’un des facteurs est nul, alors leur produit est nul.
• Si leur produit est nul, alors au moins l’un des facteurs est nul.

En effet :

• si vous multipliez n’importe quel nombre par $0$, alors le résultat sera $0$.
• si le résultat d’un produit est nul, il faut qu’au moins l’un des deux facteurs soit nul (si vous multipliez deux nombres non nuls, votre résultat ne sera jamais nul !).

Cela nous permettra de résoudre des équations appelées équations produits (ou équations produits nuls), comme dans l’exemple suivant.

Exemple

Résoudre l’équation :

$$(2x-7)(3x+4)=0$$

D’après la propriété sur le produit nul que nous venons de voir, on peut traduire cette équation par deux équations du premier degré :

$$2x-7=0\qquad \textcolor{#A9A9A9}{\text{ou\ :}}\qquad 3x+4=0$$

Nous résolvons donc ces deux équations comme nous en avons désormais l’habitude.

• Pour $2x-7=0$ :

$$\begin{aligned} 2x-7&=0 \\ 2x&=7 \\ x&=\dfrac 72=3,5 \end{aligned}$$

• Pour $3x+4=0$ :

$$\begin{aligned} 3x+4&=0 \\ 3x&=-4 \\ x&=-\dfrac 43 \end{aligned}$$

• L’équation $(2x-7)(3x+4)=0$ admet donc deux solutions :
  $-\dfrac 43$ et $3,5$.

À retenir

Il sera parfois nécessaire de factoriser, afin de faire apparaître une équation produit nul et ainsi pouvoir se ramener à la résolution d’équations du premier degré.

Exemple

On cherche à résoudre l’équation :

$$4x^2=-5x$$

On commence par rassembler les termes avec $x$ :

$$4x^2+5x=0$$

On peut factoriser par $x$ :

$$x(4x+5)=0$$

Ainsi, résoudre $4x^2=-5x$ revient à résoudre $x(4x+5)=0$.
Et $\pink x(\purple{4x+5})=0$ lorsque :

• $\pink{x=0}$ ;
• ou $\purple{4x+5}=0$.

On résout donc cette dernière équation du premier degré :

$$\begin{aligned} 4x+5&=0 \\ 4x&=-5 \\ x&=-\dfrac 54=-1,25 \end{aligned}$$

• L’équation $4x^2=-5x$ admet deux solutions :
  $\pink 0$ et $\purple{-1,25}$.

Équations de la forme $x^2=a$

Pour résoudre une équation de la forme $x^2=a$, avec $a$ un nombre relatif, on applique la propriété suivante.

Propriété

Soit $a$ un nombre relatif, et l’équation $x^2=a$.

• Si $a < 0$, l’équation n’admet aucune solution.
• Si $a = 0$, l’équation admet comme solution $0$.
• Si $a > 0$, l’équation admet deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.

Nous proposons une démonstration de ces propriétés, qui fera notamment appel à la propriété du produit nul.

Démonstration

• Si $a < 0$, l’équation n’admet aucune solution.

$x^2$ est le produit de $x$ par lui-même. C’est donc le produit de deux nombres de même signe. Nous savons alors que ce produit sera positif ou nul.
Il n’existe donc pas de valeur pour $x$ qui rende l’égalité vraie si $a$ est strictement négatif.

• Donc, si $a<0$, l’équation n’admet aucune solution.
• Si $a = 0$, l’équation admet comme solution $0$.

L’équation devient donc : $x^2 = 0$, soit : $x\times x=0$.
Par la propriété du produit nul, cela revient à dire qu’au moins l’un des facteurs est nul, soit $x=0$ (puisque les deux facteurs sont identiques ici).

• Donc, si $a=0$, l’équation admet $0$ comme solution.
• Si $a > 0$, l’équation admet deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.

On considère l’équation $x^2=a$, avec $a$ strictement positif. On peut la transformer en :

$$x^2-a=0$$

On sait que, pour tout $a$ positif : $\sqrt{a}^2=a$.
On peut donc transformer encore l’égalité :

$$ x^2-\sqrt{a}^2=0$$

Et on reconnaît ici l’identité remarquable que nous avons vue, qui nous permet de factoriser l’expression :

$$(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a})=0$$

On obtient ainsi une équation produit nul, que l’on résout en la ramenant à deux équations simples du premier degré :

$$x+\sqrt{a}=0\qquad \text{et\ :}\qquad x-\sqrt{a}=0$$

• Pour $x+\sqrt{a}=0$ :

$$\begin{aligned} x+\sqrt{a}&=0 \\ x&=-\sqrt{a} \end{aligned}$$

• Pour $x-\sqrt{a}=0$ :

$$\begin{aligned} x-\sqrt{a}&=0 \\ x&=\sqrt{a} \end{aligned}$$

• L’équation $x^2=a$ admet deux solutions : $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$.

Modéliser une situation par une équation

Méthode

Nous l’avons vu en quatrième, modéliser une situation par une équation permet de résoudre des problèmes divers. Nous commençons donc par rappeler ici la méthode, que nous appliquerons ensuite pour la résolution de deux petits problèmes, géométrique et numérique.

À retenir

Méthode : Comment modéliser une situation

Avant de se lancer, on s’assurera d’avoir bien compris l’énoncé, ce que l’on cherche. On pourra s’aider d’un schéma si nécessaire.

• Choisir l’inconnue (bien comprendre l’énoncé permet de l’identifier) et la nommer.
• S’il y a plusieurs nombres à chercher, il convient d’exprimer tous les nombres en fonction de l’inconnue.
• Traduire l’énoncé par une équation.
• Résoudre l’équation obtenue, en utilisant les propriétés sur les égalités et les opérations.
• Vérifier que la solution trouvée est cohérente et qu’elle répond bien au problème posé.
• Conclure en répondant à la question posée.

Application

Énoncé

La facture d’eau d’un jardinier s’élevait à $545\ \text €$ par an. Mais il vient d’installer un récupérateur d’eau, qui lui permettra d’économiser $55\ \text €$ par an.
Le récupérateur a coûté $199\ \text €$ à l’achat et va nécessiter chaque année $13\ \text €$ pour l’entretien (nettoyage, tuyau…).

• Au bout de combien d’années l’installation sera-t-elle rentable, c’est-à-dire qu’elle lui permettra d’économiser de l’argent ?

Corrigé

• Choix de l’inconnue

Ici, on s’intéresse au nombre d’années à partir duquel l’installation sera rentable. On décide donc de noter $x$ le nombre d’années.

• Mise en équation

Traduisons les différentes informations données dans l’énoncé.

D’une part, sans le récupérateur d’eau de pluie, la facture d’eau du jardinier se serait élevée à $545\ \text €$ par an.

• Ainsi, au bout de $x$ années, sans ce récupérateur, il aurait payé : $(\red{545x})\ \text €$.

D’autre part, avec le récupérateur, il économisera $55\ \text €$ :

$$545-55=490$$

Sa facture d’eau annuelle s’élèvera donc à $490\ \text €$.
Mais l’entretien lui coûtera $13\ \text €$ par an, il faut donc l’ajouter à la facture d’eau annuelle :

$$490+13=503$$

Soit une dépense annuelle, eau et entretien compris, de : $503\ \text €$.
Il ne faut pas oublier l’achat initial (et ponctuel) du récupérateur, qui vaut $199\ \text €$.

• Ainsi, au bout de $x$ années, avec le récupérateur, il aura payé : $(\green{199+503x})\ \text €$.

Testons les deux formules littérales avec $x=1$, ce qui nous donnera le montant payé après une année.

• Sans le récupérateur :

$$545\times 1=545$$

• Avec le récupérateur :

$$199+503\times 1=702$$

Ainsi, sans récupérateur, il aurait payé $545\ \text €$ au bout d’une année, tandis que, avec le récupérateur, il paiera $702\ \text €$.

• L’installation n’est visiblement pas rentable après une année.

Nous cherchons le moment à partir duquel ce sera rentable, c’est-à-dire le moment où les dépenses seront égales, que ce soit avec ou sans le récupérateur.

• Nous obtenons donc l’équation suivante, qui modélise le problème :

$$\red{545x}=\green{199+503x}$$

• Résolution de l’équation

Nous résolvons l’équation comme nous en avons l’habitude :

$$\begin{aligned} 545x&=199+503x \\ 545x-503x&=199 \\ 42x&=199 \\ x&=\dfrac{199}{42} \end{aligned}$$

• L’équation admet comme unique solution $\frac {199}{42}$.
• Vérification

On a : $\dfrac {199}{42}\approx 4,74$.
Donc, d’après notre résultat, l’installation devient rentable entre les années $4$ et $5$, soit durant la cinquième année.
Nous pouvons vérifier que :

• au bout de $4$ ans, le coût sans le récupérateur est toujours inférieur à celui avec récupérateur :

$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{sans\ :\ }} & 545\times 4=2\,180 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{avec\ :\ }} & 199+503\times 4=2\,211 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{on a bien\ :\ }} & 2\,180 < 2\,211 \end{aligned}$$

• au bout de $5$ ans, le coût sans le récupérateur est cette fois supérieur à celui avec récupérateur :

$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{sans\ :\ }} & 545\times 5=2\,725 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{avec\ :\ }} & 199+503\times 4=2\,714 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{on a bien\ :\ }} & 2\,725 > 2\,714 \end{aligned}$$

• Notre résultat est bien cohérent.
• Conclusion

On demande un nombre d’années, on donnera donc plutôt un nombre entier en réponse.

• L’installation sera rentable au bout de $5$ ans.

Astuce

Lors de la mise en équation, nous aurions pu raisonner autrement.

Avec le récupérateur :

• il l’achète au prix de $199\ \text €$ ;
• et il dépense $13\ \text €$ par an pour l’entretien ;
• en parallèle, il économise $55\ \text €$ par an.

Résoudre le problème revient à répondre à la question : quand les économies permises par le récupérateur compenseront les dépenses supplémentaires engendrées ?

• Nous obtenons ainsi l’équation :

$$199+13x=55x$$

En la résolvant, nous arrivons au même résultat.