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Introduction :
Nous avons appris précédemment à résoudre une équation du premier degré à une inconnue et à mettre en équation un problème afin d’en trouver la solution.
Nous allons maintenant apprendre à résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue et à mettre en inéquation un problème afin d’en trouver les solutions.
Inéquation du premier degré à une inconnue
Définition
Inéquation :
Une inéquation est une inégalité dans laquelle une lettre désigne un nombre inconnu, cette lettre est appelée une inconnue.
La solution d’une inéquation est un nombre qui vérifie l’inégalité, c’est-à-dire que ce dernier confirme l’inégalité lorsqu’il est substitué à l’inconnue.
Résoudre une inéquation c’est trouver toutes ses solutions.
Tester des valeurs dans une inéquation
Considérons l’inéquation suivante dont est l’inconnue :
est le premier membre de l’inéquation.
est le deuxième membre de l’inéquation.
Propriété des inégalités
, et désignent trois nombres relatifs.
Si alors .
Si alors .
Lorsque l’on ajoute (ou l’on retranche) un même nombre aux deux membres d’une inégalité, on ne change pas le sens de cette inégalité.
, et désignent trois nombres relatifs.
Si et positif alors .
Si et négatif alors
Lorsque l’on multiplie par un même nombre non nul les deux membres d’une inégalité :
Ajoutons aux deux membres de l’inégalité.
L’inégalité ne change pas de sens.
Multiplions par les deux membres de l’inégalité.
L’inégalité ne change pas de sens puisque est un nombre positif.
Multiplions par les deux membres de l’inégalité.
L’inégalité change de sens puisque est un nombre négatif.
Représentation graphique des solutions d’une inéquation
Nous représentons les solutions d’une inéquation sur une droite graduée. Elles sont surlignées en couleur.
Signe inférieur ou égal : le crochet est tourné vers les solutions car 7 fait partie des solutions.
Signe strictement supérieur : le crochet n’est pas tourné vers les solutions car -10 ne fait pas partie des solutions.
Résolution d’une inéquation du premier degré à une inconnue
Méthodologie
La résolution d’une inéquation comporte 5 étapes :
Exemple
L’association sportive d’un collège souhaite acheter des licences pour les élèves désirant pratiquer du sport au sein de l’établissement.
Il existe deux sortes de tarifs :
À partir de combien de licenciés est-il plus avantageux pour ce collège de choisir le tarif B ?
est le nombre de licenciés de ce collège.
Avec le tarif A, la dépense du collège est , c’est-à-dire . Avec le tarif B, la dépense du collège est , c’est-à-dire .
On cherche pour quelle valeur de le tarif B est moins cher que le tarif A. Ce qui revient à savoir pour quelles valeurs de nous avons .
Nous retranchons à chaque membre de l’inégalité :
Nous réduisons chaque membre de l’inégalité :
Nous multiplions chaque membre de l’inégalité par sans changer le sens de cette inégalité (puisque est positif) :
Nous réduisons chaque membre de l’inégalité :
Les solutions de l’inéquation sont représentées graphiquement en rouge.
désigne un nombre de licenciés, donc doit être un nombre entier positif.
Comme , les nombres entiers qui conviennent doivent être strictement supérieurs à donc supérieurs ou égaux à .
Il est plus avantageux pour le collège de choisir le tarif B à partir de licenciés.
Conclusion :
Nous avons appris à :