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Inéquation et utilisation du calcul littéral pour résoudre et démontrer

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Introduction :

Nous avons appris précédemment à résoudre une équation du premier degré à une inconnue et à mettre en équation un problème afin d’en trouver la solution.

Nous allons maintenant apprendre à résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue et à mettre en inéquation un problème afin d’en trouver les solutions.

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Rappel

  • Une équation est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu désigné par une lettre et appelé l’inconnue. Une valeur de ce nombre pour laquelle l’égalité est vraie est une solution de l’équation.
  • Résoudre une équation c’est trouver toutes les valeurs qui rendent l’égalité vraie lorsqu’elles sont substituées à l’inconnue.
  • Pour résoudre une équation, il faut isoler xx en transformant l’équation proposée en équations successives ayant les mêmes solutions grâce aux propriétés du maintien de l’égalité lorsqu’on effectue la même opération sur les deux membres.
  • On la ramène ainsi à une équation d’inconnue xx de la forme ax=bax=b, et donc la solution est x=bax=\frac{b}{a} (a0a\neq0) en équation de référence.

Inéquation du premier degré à une inconnue

Définition

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Définition

Inéquation :

Une inéquation est une inégalité dans laquelle une lettre désigne un nombre inconnu, cette lettre est appelée une inconnue.
La solution d’une inéquation est un nombre qui vérifie l’inégalité, c’est-à-dire que ce dernier confirme l’inégalité lorsqu’il est substitué à l’inconnue.
Résoudre une inéquation c’est trouver toutes ses solutions.

  • a>ba>b est une inéquation qui se lit « aa est plus grand que bb ou aa est strictement supérieur à bb ».
  • aba\geq b est une inéquation qui se lit « aa est plus grand ou égal à bb ou aa est supérieur ou égal à bb ».
  • a<ba est une inéquation qui se lit « aa est plus petit que bb ou aa est strictement inférieur à bb ».
  • aba\leq b est une inéquation qui se lit « aa est plus petit ou égal à bb ou aa est inférieur ou égal à bb ».

Tester des valeurs dans une inéquation

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Exemple

Considérons l’inéquation suivante dont xx est l’inconnue :

4x1x+54x-1\leq x+5

4x14x-1 est le premier membre de l’inéquation.

x+5x+5 est le deuxième membre de l’inéquation.

  • Si x=2x=-2 alors 4x1=4×(2)1=81=94\mathbf{x}-1=4\times\mathbf{(-2)}-1=-8-1=-9
    et x+5=2+5=3\mathbf {x} +5=\mathbf{-2}+5=3
    Si x=2x=-2 alors le premier membre vaut 9-9 et le deuxième membre vaut 33, donc le premier membre est inférieur au deuxième membre.
  • x=2x=-2 vérifie l’inéquation, c’est donc une solution de l’inéquation.
  • Si x=3x=-3 alors le premier membre vaut 1111 et le deuxième membre vaut 88, donc le premier membre n’est pas inférieur au deuxième membre.
  • Donc 33 n’est pas une solution de l’inéquation.

Propriété des inégalités

  • Addition ou soustraction et inégalité
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Propriété

aa, bb et cc désignent trois nombres relatifs.

Si aba\leq b alors a+cb+ca+c\leq b+c.

Si aba\leq b alors acbca-c\leq b-c.

Lorsque l’on ajoute (ou l’on retranche) un même nombre aux deux membres d’une inégalité, on ne change pas le sens de cette inégalité.

  • Multiplication et inégalité
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Propriété

aa, bb et cc désignent trois nombres relatifs.

Si aba\leq b et cc positif alors a×cb×ca\times c\leq b\times c.

Si aba\leq b et cc négatif alors a×cb×ca\times c\geq b\times c

Lorsque l’on multiplie par un même nombre non nul les deux membres d’une inégalité :

  • si ce nombre est positif, alors on conserve le sens de cette inégalité ;
  • si ce nombre est négatif, alors on inverse le sens de cette inégalité.
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Exemple

  • x10<13x-10<13

Ajoutons 1010 aux deux membres de l’inégalité.

x10+10<13+10x<23\begin{aligned} x-10+10&<13+10 \ x&<23 \end{aligned} L’inégalité ne change pas de sens.

  • 3x123x\leq-12

Multiplions par 13\dfrac 13 les deux membres de l’inégalité.

3x×1312×13x4\begin{aligned} 3x\times \frac13&\leqslant - 12 \times \frac13 \ x&\leqslant-4 \end{aligned}

L’inégalité ne change pas de sens puisque 13\dfrac13 est un nombre positif.

  • 5x<35-5x<35

Multiplions par 15\dfrac{-1}{5} les deux membres de l’inégalité.

5x×(15)>35×(15)x>7\begin{aligned} -5x\times \left(-\frac15\right)&>35\times \left(-\frac15\right) \ x&>7 \end{aligned}

L’inégalité change de sens puisque 15\dfrac{-1}{5} est un nombre négatif.

Représentation graphique des solutions d’une inéquation

Nous représentons les solutions d’une inéquation sur une droite graduée. Elles sont surlignées en couleur.

Alt texte

Signe inférieur ou égal : le crochet est tourné vers les solutions car 7 fait partie des solutions.

Alt texte

Signe strictement supérieur : le crochet n’est pas tourné vers les solutions car -10 ne fait pas partie des solutions.

Résolution d’une inéquation du premier degré à une inconnue

Méthodologie

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À retenir

La résolution d’une inéquation comporte 5 étapes :

  • choix de l’inconnue ;
  • traduction de l’énoncé par une inéquation ;
  • résolution de l’inéquation ;
  • compatibilité : la résolution de l’inéquation donne un ensemble de solutions dans lesquelles il y en a parfois certaines qu’il faut écarter car elles sont « incompatibles » ou non plausibles pour le problème ;
  • conclusion.

Exemple

Énoncé

L’association sportive d’un collège souhaite acheter des licences pour les élèves désirant pratiquer du sport au sein de l’établissement.

Il existe deux sortes de tarifs :

  • tarif A : la licence coûte 18 euros par élève ;
  • tarif B : le collège paye un forfait de 100 euros et la licence coûte 15 euros par élève.

À partir de combien de licenciés est-il plus avantageux pour ce collège de choisir le tarif B ?

Solution

  • Choix de l’inconnue

xx est le nombre de licenciés de ce collège.

  • Traduction de l’énoncé par une inéquation

Avec le tarif A, la dépense du collège est 18×x18\times x, c’est-à-dire 18x18x. Avec le tarif B, la dépense du collège est 15×x+10015\times x+100, c’est-à-dire 15x+10015x+100.
On cherche pour quelle valeur de xx le tarif B est moins cher que le tarif A. Ce qui revient à savoir pour quelles valeurs de xx nous avons 15x+100<18x15x+100<18x.

  • Résolution de l’inéquation

15x+100<18x15x+100<18x

Nous retranchons 15x15x à chaque membre de l’inégalité :

15x+10015x<18x15x15x+100-15x<18x-15x

Nous réduisons chaque membre de l’inégalité :

100<3x100<3x

Nous multiplions chaque membre de l’inégalité par 13\dfrac13 sans changer le sens de cette inégalité (puisque 13\dfrac13 est positif) :

100×13<3x×13100\times \dfrac13<3x\times \dfrac13

Nous réduisons chaque membre de l’inégalité :

1003<x\dfrac{100}{3}

Les solutions de l’inéquation sont représentées graphiquement en rouge.

maths inéquation calcul littéral x

  • Compatibilité

xx désigne un nombre de licenciés, donc xx doit être un nombre entier positif.

Comme 100333,3\dfrac{100}{3}\approx 33,3, les nombres entiers qui conviennent doivent être strictement supérieurs à 33,333,3 donc supérieurs ou égaux à 3434.

  • Conclusion

Il est plus avantageux pour le collège de choisir le tarif B à partir de 3434 licenciés.

Conclusion :

Nous avons appris à :

  • résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue en utilisant des règles de calcul précises ;
  • représenter un ensemble de solutions d’une inéquation sur une droite graduée ;
  • interpréter un ensemble de solutions à un problème concret.