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Inéquation et utilisation du calcul littéral pour résoudre et démontrer

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Définition

Une inéquation est une inégalité dans laquelle une lettre désigne un nombre inconnu, cette lettre est appelée une inconnue.

Résoudre une inéquation c’est trouver toutes ses solutions qui confirment l’inégalité lorsqu’elles sont substituées à l’inconnue.

Pour résoudre une inéquation on peut tester des valeurs dans cette inéquation :

  • on remplace alors l’inconnue séparément dans chaque membre de l’inéquation ;
  • on compare les valeurs de deux membres et on valide ou non l’inéquation.

Propriété des inégalités

  • Addition ou soustraction et inégalité

aa, bb et cc désignent trois nombres relatifs.

  • Si aba\leq b alors a+cb+ca+c\leq b+c
  • Si aba\leq b alors acbca-c\leq b-c

Lorsque l’on ajoute (ou l’on retranche) un même nombre aux deux membres d’une inégalité, on ne change pas le sens de cette inégalité.

  • Multiplication et inégalité

aa, bb et cc désignent trois nombres relatifs.

  • Si aba\leq b et cc positif alors a×cb×ca\times c\leq b\times c
  • Si aba\leq b et cc négatif alors a×cb×ca\times c\geq b\times c

Lorsque l’on multiplie par un même nombre non nul les deux membres d’une inégalité :

  • si ce nombre est positif, alors on conserve le sens de cette inégalité ;
  • si ce nombre est négatif, alors on inverse le sens de cette inégalité.

Résolution d’une inéquation du premier degré à une inconnue

  • Représentation graphique des solutions d’une inéquation :
  • on trace une droite graduée ;
  • on surligne les solutions en couleur ;
  • on place un crochet qui indique l’inclusion ou l’exclusion de la valeur limite dans les solutions :
  • pour un signe inférieur ou égal et supérieur ou égal on tourne le crochet vers les solutions ;
  • pour un signe strictement inférieur et strictement supérieur on tourne le crochet à l’opposé des solutions.
  • Résolution d’une inéquation du premier degré à une inconnue en 5 étapes :
  • choix de l’inconnue ;
  • traduction de l’énoncé par une inéquation ;
  • résolution de l’inéquation ;
  • compatibilité ;
  • conclusion.